Skip to main content
Global

12.7E : Exercices pour la section 12.7

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    197116

    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Utilisez la figure suivante pour identifier la relation entre les systèmes de coordonnées rectangulaires, cylindriques et sphériques.

    Pour les exercices 1 à 4, les coordonnées cylindriques\( (r,θ,z)\) d'un point sont données. Détermine les coordonnées rectangulaires\( (x,y,z)\) du point.

    1)\( \left(4,\frac{π}{6},3\right)\)

    Réponse
    \( (2\sqrt{3},2,3)\)

    2)\( \left(3,\frac{π}{3},5\right)\)

    3)\( \left(4,\frac{7π}{6},3\right)\)

    Réponse
    \( (−2\sqrt{3},−2,3)\)

    4)\( (2,π,−4)\)

    Pour les exercices 5 à 8, les coordonnées rectangulaires\( (x,y,z)\) d'un point sont données. Détermine les coordonnées cylindriques\( (r,θ,z)\) du point.

    5)\( (1,\sqrt{3},2)\)

    Réponse
    \( \left(2,\frac{π}{3},2\right)\)

    6)\( (1,1,5)\)

    7)\( (3,−3,7)\)

    Réponse
    \( \left(3\sqrt{2},−\frac{π}{4},7\right)\)

    8)\( (−2\sqrt{2},2\sqrt{2},4)\)

    Pour les exercices 9 à 16, l'équation d'une surface en coordonnées cylindriques est donnée. Trouvez l'équation de la surface en coordonnées rectangulaires. Identifiez et tracez la surface.

    9) [T]\( r=4\)

    Réponse

    Un cylindre d'équation\( x^2+y^2=16,\) dont le centre se trouve à l'origine et dont les règles sont parallèles à l'\(z\)axe des

    10) [T]\( z=r^2\cos^2θ\)

    11) [T]\( r^2\cos(2θ)+z^2+1=0\)

    Réponse

    Hyperboloïde de deux feuilles d'équation\( −x^2+y^2−z^2=1,\) avec l'\(y\)axe -comme axe de symétrie,

    12) [T]\( r=3\sin θ\)

    13) [T]\( r=2\cos θ\)

    Réponse

    Cylindre d'équation\( x^2−2x+y^2=0,\) avec un centre\( (1,0,0)\) et un rayon\( 1\), avec des règles parallèles à l'\(z\)axe des

    14) [T]\( r^2+z^2=5\)

    15) [T]\( r=2\sec θ\)

    Réponse

    Plan de l'équation\( x=2,\)

    16) [T]\( r=3\csc θ\)

    Pour les exercices 17 à 22, l'équation d'une surface en coordonnées rectangulaires est donnée. Trouvez l'équation de la surface en coordonnées cylindriques.

    17)\( z=3\)

    Réponse
    \( z=3\)

    18)\( x=6\)

    19)\( x^2+y^2+z^2=9\)

    Réponse
    \( r^2+z^2=9\)

    20)\( y=2x^2\)

    21)\( x^2+y^2−16x=0\)

    Réponse
    \( r=16\cos θ,\quad r=0\)

    22)\( x^2+y^2−3\sqrt{x^2+y^2}+2=0\)

    Pour les exercices 23 à 26, les coordonnées sphériques\( (ρ,θ,φ)\) d'un point sont données. Détermine les coordonnées rectangulaires\( (x,y,z)\) du point.

    23)\( (3,0,π)\)

    Réponse
    \( (0,0,−3)\)

    24)\( \left(1,\frac{π}{6},\frac{π}{6}\right)\)

    25)\( \left(12,−\frac{π}{4},\frac{π}{4}\right)\)

    Réponse
    \( (6,−6,\sqrt{2})\)

    26)\( \left(3,\frac{π}{4},\frac{π}{6}\right)\)

    Pour les exercices 27 à 30, les coordonnées rectangulaires\( (x,y,z)\) d'un point sont données. Détermine les coordonnées sphériques\( (ρ,θ,φ)\) du point. Exprime la mesure des angles en degrés arrondis à l'entier le plus proche.

    (27)\( (4,0,0)\)

    Réponse
    \( (4,0,90°)\)

    28)\( (−1,2,1)\)

    29)\( (0,3,0)\)

    Réponse
    \( (3,90°,90°)\)

    30)\( (−2,2\sqrt{3},4)\)

    Pour les exercices 31 à 36, l'équation d'une surface en coordonnées sphériques est donnée. Trouvez l'équation de la surface en coordonnées rectangulaires. Identifiez et tracez la surface.

    31) [T]\( ρ=3\)

    Réponse

    Sphère d'équation\( x^2+y^2+z^2=9\) centrée à l'origine avec un rayon\( 3\),

    32) [T]\( φ=\frac{π}{3}\)

    33) [T]\( ρ=2\cos φ\)

    Réponse

    Sphère de l'équation\( x^2+y^2+(z−1)^2=1\) centrée sur\( (0,0,1)\) un rayon\( 1\),

    34) [T]\( ρ=4\csc φ\)

    35) [T]\( φ=\frac{π}{2}\)

    Réponse

    Le\(xy\) plan de l'équation\( z=0,\)

    36) [T]\( ρ=6\csc φ\sec θ\)

    Pour les exercices 37 à 40, l'équation d'une surface en coordonnées rectangulaires est donnée. Trouvez l'équation de la surface en coordonnées sphériques. Identifiez la surface.

    (37)\( x^2+y^2−3z^2=0, \quad z≠0\)

    Réponse
    \( φ=\frac{π}{3}\)ou cône\( φ=\frac{2π}{3};\) elliptique

    38)\( x^2+y^2+z^2−4z=0\)

    39)\( z=6\)

    Réponse
    \( ρ\cos φ=6;\)Avion à\( z=6\)

    40)\( x^2+y^2=9\)

    Pour les exercices 41 à 44, les coordonnées cylindriques d'un point sont données. Détermine ses coordonnées sphériques associées, la mesure de l'angle φ en radians étant arrondie à quatre décimales.

    41) [T]\( \left(1,\frac{π}{4},3\right)\)

    Réponse
    \( \left(\sqrt{10},\frac{π}{4},0.3218\right)\)

    42) [T]\( (5,π,12)\)

    43)\( \left(3,\frac{π}{2},3\right)\)

    Réponse
    \( (3\sqrt{2},\frac{π}{2},\frac{π}{4})\)

    44)\( \left(3,−\frac{π}{6},3\right)\)

    Pour les exercices 45 à 48, les coordonnées sphériques d'un point sont données. Trouvez ses coordonnées cylindriques associées.

    45)\( \left(2,−\frac{π}{4},\frac{π}{2}\right)\)

    Réponse
    \( \left(2,−\frac{π}{4},0\right)\)

    46)\( \left(4,\frac{π}{4},\frac{π}{6}\right)\)

    47)\( \left(8,\frac{π}{3},\frac{π}{2}\right)\)

    Réponse
    \( \left(8,\frac{π}{3},0\right)\)

    48)\( \left(9,−\frac{π}{6},\frac{π}{3}\right)\)

    Pour les exercices 49 à 52, trouvez le système de coordonnées le plus approprié pour décrire les solides.

    49) Le solide situé dans le premier octant avec un sommet à l'origine et entouré par un cube de longueur d'arête\( a\), où\( a>0\)

    Réponse
    système cartésien,\( \big\{(x,y,z)\,|\,0≤x≤a,\;0≤y≤a,\;0≤z≤a\big\}\)

    50) Une coque sphérique déterminée par la région entre deux sphères concentriques centrées à l'origine, de rayons de\( a\) et\( b\), respectivement, où\( b>a>0\)

    51) Une sphère intérieure solide\( x^2+y^2+z^2=9\) et un cylindre extérieur\( \left(x−\frac{3}{2}\right)^2+y^2=\frac{9}{4}\)

    Réponse
    Système cylindrique,\( \big\{(r,θ,z)\,|\,r^2+z^2≤9,\;r≥3\cos θ,\;0≤θ≤2π\big\}\)

    52) Une coque cylindrique dont la hauteur\( 10\) est déterminée par la région entre deux cylindres ayant le même centre, des règles parallèles et des rayons de\( 2\) et\( 5\), respectivement

    53) [T] Utilisez un CAS ou un CalcPlot3D pour représenter graphiquement en coordonnées cylindriques la région entre le paraboloïde elliptique\( z=x^2+y^2\) et le cône\( x^2+y^2−z^2=0.\)

    Réponse

    La région est décrite par l'ensemble de points\( \big\{(r,θ,z)\,|\,0≤r≤1,\;0≤θ≤2π,\;r^2≤z≤r\big\}.\)

    54) [T] Utilisez un CAS ou un CalcPlot3D pour représenter graphiquement en coordonnées sphériques la « région du cône de crème glacée » située au-dessus du plan xy entre la sphère\( x^2+y^2+z^2=4\) et le cône elliptique\( x^2+y^2−z^2=0.\)

    55) Washington, DC, est situé au nord et\( 39°\) à\( 77°\) l'ouest (voir la figure suivante). Supposons que le rayon de la Terre soit de\( 4000\) mi. Exprime la position de Washington, DC, en coordonnées sphériques.

    Réponse
    \( (4000,−77°,51°)\)

    56) San Francisco est située à\( 37.78°N\) et\( 122.42°W.\) supposons que le rayon de la Terre est de\( 4000\) mi. Exprime la position de San Francisco en coordonnées sphériques.

    57) Détermine la latitude et la longitude de Rio de Janeiro si ses coordonnées sphériques sont\( (4000,−43.17°,102.91°).\)

    Réponse
    \( 43.17°W, 22.91°S\)

    58) Détermine la latitude et la longitude de Berlin si ses coordonnées sphériques sont\( (4000,13.38°,37.48°).\)

    59) [T] Considérez le tore de l'équation\( \big(x^2+y^2+z^2+R^2−r^2\big)^2=4R^2(x^2+y^2),\) où\( R≥r>0.\)

    a. Écrivez l'équation du tore en coordonnées sphériques.

    b. Si\( R=r,\) la surface est appelée tore en corne. Montrez que l'équation d'un tore de corne en coordonnées sphériques est\( ρ=2R\sin φ.\)

    c. Utilisez un CAS ou un CalcPlot3D pour représenter graphiquement le tore de la corne\( R=r=2\) en coordonnées sphériques.

    Réponse

    un.\(ρ=0, \quad ρ+R^2−r^2−2R\sin φ=0\)

    c.

    60) [T] La « sphère cahoteuse » avec une équation en coordonnées sphériques est\( ρ=a+b\cos(mθ)\sin(nφ)\), avec\( θ∈[0,2π]\) et\( φ∈[0,π]\), où\( a\) et\( b\) sont des nombres positifs\( m\) et\( n\) des entiers positifs, peut être utilisée en mathématiques appliquées pour modéliser la croissance tumorale.

    a. Montrez que la « sphère bosselée » est contenue dans une sphère d'équation\( ρ=a+b.\) Trouvez les valeurs de\( θ\) et\( φ\) auxquelles les deux surfaces se croisent.

    b. Utilisez un CAS ou un CalcPlot3D pour représenter graphiquement la surface pour\( a=14, b=2, m=4,\) et\( n=6\) avec la sphère\( ρ=a+b.\)

    c. Trouvez l'équation de la courbe d'intersection de la surface en b. avec le cône\( φ=\frac{π}{12}\). Tracez la courbe d'intersection dans le plan d'intersection.

    Contributeurs

    Template:ContribOpenStaxCalc

    Liens vers CalcPlot3D ajoutés par Paul Seeburger (Monroe Community College).