12.7 : Coordonnées cylindriques et sphériques
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- 197106
- Convertissez des coordonnées cylindriques en coordonnées rectangulaires.
- Convertissez des coordonnées rectangulaires en coordonnées cylindriques.
- Convertissez des coordonnées sphériques en coordonnées rectangulaires.
- Convertissez des coordonnées rectangulaires en coordonnées sphériques.
Le système de coordonnées cartésien fournit un moyen simple de décrire l'emplacement des points dans l'espace. Certaines surfaces peuvent toutefois être difficiles à modéliser à l'aide d'équations basées sur le système cartésien. C'est un problème familier ; rappelons qu'en deux dimensions, les coordonnées polaires constituent souvent un système alternatif utile pour décrire la position d'un point dans le plan, en particulier dans les cas impliquant des cercles. Dans cette section, nous examinons deux manières différentes de décrire la position de points dans l'espace, toutes deux basées sur des extensions de coordonnées polaires. Comme leur nom l'indique, les coordonnées cylindriques sont utiles pour résoudre les problèmes liés aux cylindres, tels que le calcul du volume d'un réservoir d'eau rond ou de la quantité de pétrole s'écoulant dans un tuyau. De même, les coordonnées sphériques sont utiles pour résoudre les problèmes impliquant des sphères, tels que la détermination du volume des structures en forme de dôme.
Coordonnées cylindriques
Lorsque nous avons étendu le système de coordonnées cartésien traditionnel de deux à trois dimensions, nous avons simplement ajouté un nouvel axe pour modéliser la troisième dimension. En commençant par les coordonnées polaires, nous pouvons suivre le même processus pour créer un nouveau système de coordonnées tridimensionnel, appelé système de coordonnées cylindriques. De cette façon, les coordonnées cylindriques fournissent une extension naturelle des coordonnées polaires en trois dimensions.
Dans le système de coordonnées cylindriques, un point de l'espace (Figure\(\PageIndex{1}\)) est représenté par le triple ordonné\((r,θ,z)\), où
- \((r,θ)\)sont les coordonnées polaires de la projection du point dans le\(xy\) plan
- \(z\)est la coordonnée habituelle\(z\) dans le système de coordonnées cartésien
Dans le\(xy\) plan -, le triangle droit illustré sur la figure\(\PageIndex{1}\) fournit la clé de la transformation entre les coordonnées cylindriques et cartésiennes, ou rectangulaires.
Les coordonnées rectangulaires\((x,y,z)\) et les coordonnées cylindriques\((r,θ,z)\) d'un point sont liées comme suit :
Ces équations sont utilisées pour convertir des coordonnées cylindriques en coordonnées rectangulaires.
- \(x=r\cos θ\)
- \(y=r\sin θ\)
- \(z=z\)
Ces équations sont utilisées pour convertir des coordonnées rectangulaires en coordonnées cylindriques.
- \(r^2=x^2+y^2\)
- \(\tan θ=\dfrac{y}{x}\)
- \(z=z\)
Comme lorsque nous avons discuté de la conversion de coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires en deux dimensions, il convient de noter que l'équation\(\tan θ=\dfrac{y}{x}\) comporte un nombre infini de solutions. Cependant, si nous nous limitons\(θ\) aux valeurs comprises entre\(0\) et\(2π\), nous pouvons trouver une solution unique basée sur le quadrant du \(xy\)plan dans lequel se\((x,y,z)\) trouve le point d'origine. Notez que si\(x=0\), alors la valeur de\(θ\) est soit\(0\),\(\dfrac{π}{2},\dfrac{3π}{2},\) soit, selon la valeur de\(y\).
Notez que ces équations sont dérivées des propriétés des triangles droits. Pour que cela soit facile à voir, considérez un point\(P\) dans le \(xy\)plan avec des coordonnées rectangulaires\((x,y,0)\) et des coordonnées cylindriques\((r,θ,0)\), comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{2}\).
Examinons les différences entre les coordonnées rectangulaires et cylindriques en examinant les surfaces générées lorsque chacune des coordonnées est maintenue constante. Si\(c\) est une constante, alors en coordonnées rectangulaires, les surfaces de la forme\(x=c, y=c,\) ou toutes les surfaces\(z=c\) sont des plans. Les plans de ces formes sont parallèles au\(yz\) plan -, au\(xz\) plan -et au\(xy\) plan -, respectivement. Lorsque nous convertissons en coordonnées cylindriques, la\(z\) coordonnée -ne change pas. Par conséquent, en coordonnées cylindriques, les surfaces de la forme\(z=c\) sont des plans parallèles au\(xy\) plan. Maintenant, pensons aux surfaces du formulaire\(r=c\). Les points de ces surfaces se trouvent à une distance fixe de l'\(z\)axe. En d'autres termes, ces surfaces sont des cylindres circulaires verticaux. Enfin, qu'en est-il\(θ=c\) ? Les points d'une surface du formulaire\(θ=c\) forment un angle fixe par rapport à l'\(x\)axe -, ce qui nous donne un demi-plan qui part de l'\(z\)axe des -( figures\(\PageIndex{3}\) et\(\PageIndex{4}\)).
Tracez le point avec des coordonnées cylindriques\((4,\dfrac{2π}{3},−2)\) et exprimez sa position en coordonnées rectangulaires.
Solution
La conversion de coordonnées cylindriques en coordonnées rectangulaires nécessite une application simple des équations répertoriées dans Remarque :
\[\begin{align*} x &=r\cos θ=4\cos\dfrac{2π}{3}=−2 \\[4pt] y &=r\sin θ=4\sin \dfrac{2π}{3}=2\sqrt{3} \\[4pt] z &=−2 \end{align*}. \nonumber \]
Le point aux coordonnées cylindriques\((4,\dfrac{2π}{3},−2)\) possède des coordonnées rectangulaires\((−2,2\sqrt{3},−2)\) (Figure\(\PageIndex{5}\)).
\(R\)Le point possède des coordonnées cylindriques\((5,\frac{π}{6},4)\). \(R\)Tracez et décrivez sa position dans l'espace à l'aide de coordonnées rectangulaires ou cartésiennes.
- Allusion
-
Les deux premières composantes correspondent aux coordonnées polaires du point dans le \(xy\)plan.
- Réponse
-
Les coordonnées rectangulaires du point sont\((\frac{5\sqrt{3}}{2},\frac{5}{2},4).\)
Si ce processus vous semble familier, c'est pour de bonnes raisons. Il s'agit exactement du même processus que celui que nous avons suivi dans Introduction aux équations paramétriques et aux coordonnées polaires pour convertir des coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires bidimensionnelles.
Convertissez les coordonnées rectangulaires\((1,−3,5)\) en coordonnées cylindriques.
Solution
Utilisez le deuxième ensemble d'équations de Note pour convertir des coordonnées rectangulaires en coordonnées cylindriques :
\[\begin{align*} r^2 &= x^2+y^2 \\[4pt] r &=±\sqrt{1^2+(−3)^2} \\[4pt] &= ±\sqrt{10}. \end{align*}\]
Nous choisissons la racine carrée positive, donc\(r=\sqrt{10}\). Maintenant, nous appliquons la formule pour trouver\(θ\). Dans ce cas,\(y\) est négatif et\(x\) est positif, ce qui signifie que nous devons sélectionner la valeur\(θ\) comprise entre\(\dfrac{3π}{2}\) et\(2π\) :
\[\begin{align*} \tan θ &=\dfrac{y}{x} &=\dfrac{−3}{1} \\[4pt] θ &=\arctan(−3) &≈5.03\,\text{rad.} \end{align*}\]
Dans ce cas, les coordonnées z sont les mêmes en coordonnées rectangulaires et cylindriques :
\[ z=5. \nonumber \]
Le point avec des coordonnées rectangulaires\((1,−3,5)\) possède des coordonnées cylindriques approximativement égales à\((\sqrt{10},5.03,5).\)
Convertissez le point\((−8,8,−7)\) des coordonnées cartésiennes en coordonnées cylindriques.
- Allusion
-
\(r^2=x^2+y^2\)et\(\tan θ=\frac{y}{x}\)
- Réponse
-
\((8\sqrt{2},\frac{3π}{4},−7)\)
L'utilisation de coordonnées cylindriques est courante dans des domaines tels que la physique. Les physiciens qui étudient les charges électriques et les condensateurs utilisés pour stocker ces charges ont découvert que ces systèmes présentent parfois une symétrie cylindrique. Ces systèmes comportent des équations de modélisation complexes dans le système de coordonnées cartésien, ce qui les rend difficiles à décrire et à analyser. Les équations peuvent souvent être exprimées en termes plus simples à l'aide de coordonnées cylindriques. Par exemple, le cylindre décrit par une équation\(x^2+y^2=25\) dans le système cartésien peut être représenté par une équation cylindrique\(r=5\).
Décrivez les surfaces à l'aide des équations cylindriques données.
- \(θ=\dfrac{π}{4}\)
- \(r^2+z^2=9\)
- \(z=r\)
Solution
a. Lorsque l'angle\(θ\) est maintenu constant\(r\) et qu'\(z\)on le laisse varier, le résultat est un demi-plan (Figure\(\PageIndex{6}\)).
b. Remplacer\(r^2=x^2+y^2\) dans l'équation\(r^2+z^2=9\) pour exprimer la forme rectangulaire de l'équation :\(x^2+y^2+z^2=9\) Cette équation décrit une sphère centrée à l'origine avec un rayon 3 (Figure\(\PageIndex{7}\)).
c. Pour décrire la surface définie par l'équation\(z=r\), est-il utile d'examiner des traces parallèles au\(xy\) plan. Par exemple, la trace dans le plan\(z=1\) est un cercle\(r=1\), la trace dans le plan\(z=3\) est un cercle\(r=3\), etc. Chaque trace est un cercle. Lorsque la valeur de\(z\) augmente, le rayon du cercle augmente également. La surface résultante est un cône (Figure\(\PageIndex{8}\)).
Décrivez la surface avec une équation cylindrique\(r=6\).
- Allusion
-
Les\(z\) composants\(θ\) et des points de la surface peuvent prendre n'importe quelle valeur.
- Réponse
-
Cette surface est un cylindre à rayon\(6\).
Coordonnées sphériques
Dans le système de coordonnées cartésien, l'emplacement d'un point dans l'espace est décrit à l'aide d'un triple ordonné dans lequel chaque coordonnée représente une distance. Dans le système de coordonnées cylindriques, l'emplacement d'un point dans l'espace est décrit à l'aide de deux distances\((r\)\(z)\) et d'une mesure d'angle\((θ)\). Dans le système de coordonnées sphériques, nous utilisons à nouveau un triple ordonné pour décrire la position d'un point dans l'espace. Dans ce cas, le triple décrit une distance et deux angles. Les coordonnées sphériques simplifient la description d'une sphère, tout comme les coordonnées cylindriques facilitent la description d'un cylindre. Les lignes de la grille pour les coordonnées sphériques sont basées sur des mesures d'angle, comme celles pour les coordonnées polaires.
Dans le système de coordonnées sphériques, un point\(P\) de l'espace (Figure\(\PageIndex{9}\)) est représenté par le triple ordonné\((ρ,θ,φ)\) où
- \(ρ\)(la lettre grecque rho) est la distance entre\(P\) et l'origine\((ρ≠0);\)
- \(θ\)est le même angle que celui utilisé pour décrire l'emplacement en coordonnées cylindriques ;
- \(φ\)(la lettre grecque phi) est l'angle formé par l'\(z\)axe positif et le segment de droite\(\bar{OP}\), où\(O\) se situent l'origine et\(0≤φ≤π.\)
Par convention, l'origine est représentée\((0,0,0)\) en coordonnées sphériques.
Les coordonnées rectangulaires\((x,y,z)\), cylindriques\((r,θ,z),\) et sphériques\((ρ,θ,φ)\) d'un point sont liées comme suit :
Convertir des coordonnées sphériques en coordonnées rectangulaires
Ces équations sont utilisées pour convertir des coordonnées sphériques en coordonnées rectangulaires.
- \(x=ρ\sin φ\cos θ\)
- \(y=ρ\sin φ\sin θ\)
- \(z=ρ\cos φ\)
Convertir des coordonnées rectangulaires en coordonnées sphériques
Ces équations sont utilisées pour convertir des coordonnées rectangulaires en coordonnées sphériques.
- \(ρ^2=x^2+y^2+z^2\)
- \(\tan θ=\dfrac{y}{x}\)
- \(φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}).\)
Conversion de coordonnées sphériques en coordonnées cylindriques
Ces équations sont utilisées pour convertir des coordonnées sphériques en coordonnées cylindriques.
- \(r=ρ\sin φ\)
- \(θ=θ\)
- \(z=ρ\cos φ\)
Convertir des coordonnées cylindriques en coordonnées sphériques
Ces équations sont utilisées pour convertir des coordonnées cylindriques en coordonnées sphériques.
- \(ρ=\sqrt{r^2+z^2}\)
- \(θ=θ\)
- \(φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{r^2+z^2}})\)
Les formules pour convertir des coordonnées sphériques en coordonnées rectangulaires peuvent sembler complexes, mais ce sont des applications simples de la trigonométrie. En regardant la figure, il est facile de le voir\(r=ρ \sin φ\). Ensuite, en regardant le triangle dans le\(xy\) plan -avec r comme hypoténuse, nous avons\(x=r\cos θ=ρ\sin φ \cos θ\). La dérivation de la formule pour\(y\) est similaire. La figure montre également que\(ρ^2=r^2+z^2=x^2+y^2+z^2\) et\(z=ρ\cos φ\). La résolution de cette dernière équation\(φ\) puis la substitution\(ρ=\sqrt{r^2+z^2}\) (à partir de la première équation) donnent des résultats\(φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{r^2+z^2}})\). Notez également que, comme précédemment, nous devons être prudents lorsque vous utilisez la formule\(\tan θ=\dfrac{y}{x}\) pour choisir la valeur correcte de\(θ\).
Comme nous l'avons fait pour les coordonnées cylindriques, considérons les surfaces générées lorsque chacune des coordonnées est maintenue constante. \(c\)Soit une constante et considérez les surfaces du formulaire\(ρ=c\). Les points de ces surfaces se situent à une distance fixe de l'origine et forment une sphère. Les coordonnées\(θ\) du système de coordonnées sphériques sont les mêmes que celles du système de coordonnées cylindriques, de sorte que les surfaces de la forme\(θ=c\) sont des demi-plans, comme précédemment. Enfin, considérez les surfaces du formulaire\(φ=0\). Les points de ces surfaces forment un angle fixe par rapport à l'\(z\)axe Y et forment un demi-cône (Figure\(\PageIndex{11}\)).
Tracez le point avec des coordonnées sphériques\((8,\dfrac{π}{3},\dfrac{π}{6})\) et exprimez sa position en coordonnées rectangulaires et cylindriques.
Solution
Utilisez les équations de Note pour effectuer une translation entre les coordonnées sphériques et cylindriques (Figure\(\PageIndex{12}\)) :
\[ \begin{align*} x &=ρ\sin φ\cos θ \\[4pt] &=8 \sin(\dfrac{π}{6}) \cos(\dfrac{π}{3}) \\[4pt] &= 8(\dfrac{1}{2})\dfrac{1}{2} \\[4pt] &=2 \\[4pt] y &=ρ\sin φ\sin θ \\[4pt] &= 8\sin(\dfrac{π}{6})\sin(\dfrac{π}{3}) \\[4pt] &= 8(\dfrac{1}{2})\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] &= 2\sqrt{3} \\[4pt] z &=ρ\cos φ \\[4pt] &= 8\cos(\dfrac{π}{6}) \\[4pt] &= 8(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) \\[4pt] &= 4\sqrt{3} \end{align*}\]
Le point avec des coordonnées sphériques\((8,\dfrac{π}{3},\dfrac{π}{6})\) possède des coordonnées rectangulaires.\((2,2\sqrt{3},4\sqrt{3}).\)
Trouver les valeurs en coordonnées cylindriques est tout aussi simple :
\[ \begin{align*} r&=ρ \sin φ \\[4pt] &= 8\sin \dfrac{π}{6} &=4 \\[4pt] θ&=θ \\[4pt] z&=ρ\cos φ\\[4pt] &= 8\cos\dfrac{π}{6} \\[4pt] &= 4\sqrt{3} .\end{align*}\]
Ainsi, les coordonnées cylindriques du point sont\((4,\dfrac{π}{3},4\sqrt{3})\).
Tracez le point avec des coordonnées sphériques\((2,−\frac{5π}{6},\frac{π}{6})\) et décrivez sa position en coordonnées rectangulaires et cylindriques.
- Allusion
-
La conversion préalable des coordonnées peut aider à trouver plus facilement la position du point dans l'espace.
- Réponse
-
Cartésien :\((−\frac{\sqrt{3}}{2},−\frac{1}{2},\sqrt{3}),\) cylindrique :\((1,−\frac{5π}{6},\sqrt{3})\)
Convertissez les coordonnées rectangulaires\((−1,1,\sqrt{6})\) en coordonnées sphériques et cylindriques.
Solution
Commencez par convertir des coordonnées rectangulaires en coordonnées sphériques :
\[ \begin{align*} ρ^2 &=x^2+y^2+z^2=(−1)^2+1^2+(\sqrt{6})^2=8 \\[4pt] \tan θ &=\dfrac{1}{−1} \\[4pt] ρ&=2\sqrt{2} \text{ and }θ=\arctan(−1)=\dfrac{3π}{4}. \end{align*}\]
Parce que\((x,y)=(−1,1)\), alors, le bon choix pour\(θ\) est\(\frac{3π}{4}\).
Il existe en fait deux manières de s'identifier\(φ\). Nous pouvons utiliser l'équation\(φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})\). Une approche plus simple, cependant, consiste à utiliser une équation.\(z=ρ\cos φ.\) Nous le savons\(z=\sqrt{6}\) et\(ρ=2\sqrt{2}\), donc
\(\sqrt{6}=2\sqrt{2}\cos φ,\)donc\(\cos φ=\dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
et donc\(φ=\dfrac{π}{6}\). Les coordonnées sphériques du point sont\((2\sqrt{2},\dfrac{3π}{4},\dfrac{π}{6}).\)
Pour trouver les coordonnées cylindriques du point, il suffit de trouver r :
\(r=ρ\sin φ=2\sqrt{2}\sin(\dfrac{π}{6})=\sqrt{2}.\)
Les coordonnées cylindriques du point sont\((\sqrt{2},\dfrac{3π}{4},\sqrt{6})\).
Décrivez les surfaces à l'aide des équations sphériques données.
- \(θ=\dfrac{π}{3}\)
- \(φ=\dfrac{5π}{6}\)
- \(ρ=6\)
- \(ρ=\sin θ \sinφ\)
Solution
a. La variable\(θ\) représente la mesure du même angle dans les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques. Les points avec des coordonnées\((ρ,\dfrac{π}{3},φ)\) se situent sur le plan formant\(θ=\dfrac{π}{3}\) un angle avec l'\(x\)axe positif. Parce que\(ρ>0\) la surface décrite par l'équation\(θ=\dfrac{π}{3}\) est le demi-plan illustré sur la figure\(\PageIndex{13}\).
b. L'équation\(φ=\dfrac{5π}{6}\) décrit tous les points du système de coordonnées sphériques situés sur une ligne partant de l'origine et formant un angle de mesure\(\dfrac{5π}{6}\) rad avec l'\(z\)axe positif. Ces points forment un demi-cône (Figure). Comme il n'y a qu'une seule valeur mesurée à partir de l'\(z\)axe positif, nous n'obtenons pas le cône complet (avec deux pièces).\(φ\)
Pour trouver l'équation en coordonnées rectangulaires, utilisez l'équation\(φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}).\)
\[ \begin{align*} \dfrac{5π}{6} &=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}) \\[4pt] \cos\dfrac{5π}{6}&=\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\[4pt] −\dfrac{\sqrt{3}}{2}&=\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\[4pt] \dfrac{3}{4} &=\dfrac{z^2}{x^2+y^2+z^2} \\[4pt] \dfrac{3x^2}{4}+\dfrac{3y^2}{4}+\dfrac{3z^2}{4} &=z^2 \\[4pt] \dfrac{3x^2}{4}+\dfrac{3y^2}{4}−\dfrac{z^2}{4} &=0. \end{align*}\]
Il s'agit de l'équation d'un cône centré sur l'\(z\)axe.
c. L'équation\(ρ=6\) décrit l'ensemble des\(6\) unités de points éloignées de l'origine : une sphère avec un rayon\(6\) (Figure\(\PageIndex{15}\)).
d. Pour identifier cette surface, convertissez l'équation des coordonnées sphériques en coordonnées rectangulaires, à l'aide d'équations\(y=ρsinφ\sin θ\) et\(ρ^2=x^2+y^2+z^2:\)
\(ρ=\sin θ \sin φ\)
\(ρ^2=ρ\sin θ\sin φ\)Multipliez les deux côtés de l'équation par\(ρ\).
\(x^2+y^2+z^2=y\)Remplacez les variables rectangulaires en utilisant les équations ci-dessus.
\(x^2+y^2−y+z^2=0\)Soustrayez\(y\) des deux côtés de l'équation.
\(x^2+y^2−y+\dfrac{1}{4}+z^2=\dfrac{1}{4}\)Complétez le carré.
\(x^2+(y−\dfrac{1}{2})^2+z^2=\dfrac{1}{4}\). Réécrivez les termes intermédiaires sous la forme d'un carré parfait.
L'équation décrit une sphère centrée sur un point\((0,\dfrac{1}{2},0)\) ayant un rayon\(\dfrac{1}{2}\).
Décrivez les surfaces définies par les équations suivantes.
- \(ρ=13\)
- \(θ=\dfrac{2π}{3}\)
- \(φ=\dfrac{π}{4}\)
- Allusion
-
Réfléchissez à ce que représente chaque composant et à ce que signifie maintenir ce composant constant.
- Répondez à une
-
Il s'agit de l'ensemble de toutes les\(13\) unités de points depuis l'origine. Cet ensemble forme une sphère avec un rayon\(13\).
- Réponse b
-
Cet ensemble de points forme un demi-plan. L'angle entre le demi-plan et l'\(x\)axe positif est\(θ=\dfrac{2π}{3}.\)
- Réponse c
-
\(P\)Soyons un point sur cette surface. Le vecteur de position de ce point forme un angle de\(φ=\dfrac{π}{4}\) avec l'\(z\)axe positif, ce qui signifie que les points les plus proches de l'origine sont plus proches de l'axe. Ces pointes forment un demi-cône.
Les coordonnées sphériques sont utiles pour analyser des systèmes présentant un certain degré de symétrie par rapport à un point, tels que le volume de l'espace à l'intérieur d'un stade en forme de dôme ou la vitesse du vent dans l'atmosphère d'une planète. Une sphère qui possède une équation cartésienne\(x^2+y^2+z^2=c^2\) possède l'équation simple\(ρ=c\) en coordonnées sphériques.
En géographie, la latitude et la longitude sont utilisées pour décrire les emplacements à la surface de la Terre, comme le montre la figure. Bien que la forme de la Terre ne soit pas parfaite, nous utilisons des coordonnées sphériques pour communiquer l'emplacement des points sur Terre. Supposons que la Terre ait la forme d'une sphère de rayon\(4000\) mi. Nous exprimons les mesures d'angle en degrés plutôt qu'en radians, car la latitude et la longitude sont mesurées en degrés.
Supposons que le centre de la Terre soit le centre de la sphère, le rayon du centre passant par le pôle Nord représentant l'\(z\)axe positif. Le méridien principal représente la trace de la surface lorsqu'elle croise le\(xz\) plan. L'équateur est la trace de la sphère qui coupe le\(xy\) plan.
La latitude de Columbus, dans l'Ohio, est\(40°\) N et la\(83°\) longitude est O, ce qui signifie que Columbus se trouve\(40°\) au nord de l'équateur. Imaginez un rayon du centre de la Terre à travers Christophe Colomb et un rayon du centre de la Terre à travers l'équateur situé directement au sud de Christophe Colomb. La mesure de l'angle formé par les rayons est\(40°\). De la même manière, à partir du méridien principal, Christophe Colomb se trouve\(83°\) à l'ouest. Exprime la position de Columbus en coordonnées sphériques.
Solution
Le rayon de la Terre est de\(4000\) mi, donc\(ρ=4000\). L'intersection du méridien principal et de l'équateur se situe sur l'\(x\)axe positif. Le mouvement vers l'ouest est ensuite décrit avec des mesures d'angle négatives, ce qui montre que\(θ=−83°\), comme Christophe Colomb se trouve\(40°\) au nord de l'équateur, il se trouve au\(50°\) sud du pôle Nord, donc\(φ=50°\). En coordonnées sphériques, Columbus se trouve au point\((4000,−83°,50°).\)
Sydney, en Australie, se trouve à\(34°S\) et\(151°E.\) Express Sydney en coordonnées sphériques.
- Allusion
-
Comme Sydney se trouve au sud de l'équateur, nous devons ajouter\(90°\) pour trouver l'angle mesuré à partir de l'\(z\)axe positif.
- Réponse
-
\((4000,151°,124°)\)
Les coordonnées cylindriques et sphériques nous donnent la flexibilité de sélectionner un système de coordonnées adapté au problème en question. Un choix réfléchi du système de coordonnées peut faciliter la résolution d'un problème, alors qu'un mauvais choix peut entraîner des calculs inutilement complexes. Dans l'exemple suivant, nous examinons différents problèmes et expliquons comment sélectionner le meilleur système de coordonnées pour chacun d'entre eux.
Dans chacune des situations suivantes, nous déterminons quel système de coordonnées est le plus approprié et décrivons la manière dont nous orienterons les axes de coordonnées. Il peut y avoir plusieurs bonnes réponses quant à la manière dont les axes doivent être orientés, mais nous sélectionnons une orientation qui a du sens dans le contexte du problème. Remarque : Il n'y a pas assez d'informations pour configurer ou résoudre ces problèmes ; nous sélectionnons simplement le système de coordonnées (Figure\(\PageIndex{17}\)).
- Trouvez le centre de gravité d'une boule de bowling.
- Déterminez la vitesse d'un sous-marin soumis à un courant océanique.
- Calculez la pression dans un réservoir d'eau conique.
- Déterminez le volume de pétrole s'écoulant dans un pipeline.
- Déterminez la quantité de cuir requise pour fabriquer un ballon de football.
Solution
- De toute évidence, une boule de bowling est une sphère, donc les coordonnées sphériques fonctionneraient probablement mieux ici. L'origine doit être située au centre physique de la balle. Il n'existe pas de choix évident quant à la manière dont les\(z\) axes\(x\)\(y\) -, - et -doivent être orientés. Les boules de bowling ont normalement un bloc de poids au centre. L'une des options possibles consiste à aligner l'\(z\)axe -sur l'axe de symétrie du bloc de poids.
- Un sous-marin se déplace généralement en ligne droite. Aucune symétrie rotationnelle ou sphérique ne s'applique dans cette situation. Les coordonnées rectangulaires constituent donc un bon choix. L'\(z\)axe -doit probablement pointer vers le haut. Les\(y\) axes \(x\)- et -peuvent être alignés de manière à pointer vers l'est et le nord, respectivement. L'origine doit être un lieu physique pratique, tel que la position de départ du sous-marin ou l'emplacement d'un port particulier.
- Un cône possède plusieurs types de symétrie. En coordonnées cylindriques, un cône peut être représenté par une équation\(z=kr,\) où\(k\) est une constante. En coordonnées sphériques, nous avons vu que les surfaces de la forme\(φ=c\) sont des demi-cônes. Enfin, en coordonnées rectangulaires, les cônes elliptiques sont des surfaces quadriques et peuvent être représentés par des équations de la forme.\(z^2=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}.\) Dans ce cas, nous pouvons choisir l'une des trois. Cependant, l'équation de la surface est plus compliquée en coordonnées rectangulaires que dans les deux autres systèmes. Il est donc préférable d'éviter ce choix. De plus, nous parlons d'un réservoir d'eau, et la profondeur de l'eau peut entrer en ligne de compte à un moment donné dans nos calculs. Il serait donc intéressant d'avoir un composant qui représente directement la hauteur et la profondeur. Sur la base de ce raisonnement, les coordonnées cylindriques peuvent être le meilleur choix. Choisissez l'\(z\)axe -pour l'aligner sur l'axe du cône. L'orientation des deux autres axes est arbitraire. L'origine doit être le point le plus bas du cône.
- Un pipeline est un cylindre, donc les coordonnées cylindriques seraient le meilleur choix. Dans ce cas, cependant, nous choisirons probablement d'orienter notre \(z\)axe -avec l'axe central du pipeline. L'\(x\)axe -peut être choisi pour pointer directement vers le bas ou vers une autre direction logique. L'origine doit être choisie en fonction de l'énoncé du problème. Notez que cela place l'\(z\)axe -dans une orientation horizontale, ce qui est un peu différent de ce que nous faisons habituellement. Il peut être judicieux de choisir une orientation inhabituelle pour les axes si cela est pertinent pour le problème.
- Un ballon de football possède une symétrie de rotation autour d'un axe central, de sorte que les coordonnées cylindriques conviennent mieux. L'\(z\)axe -doit être aligné sur l'axe de la balle. L'origine peut être le centre de la balle ou peut-être l'une des extrémités. La position de l'\(x\)axe -est arbitraire.
Quel système de coordonnées est le plus approprié pour créer une carte des étoiles, vue depuis la Terre (voir la figure suivante) ?
Comment orienter les axes de coordonnées ?
- Allusion
-
Quels types de symétrie sont présents dans cette situation ?
- Réponse
-
Coordonnées sphériques avec l'origine située au centre de la Terre, l'\(z\)axe -aligné avec le pôle Nord et l'\(x\)axe -aligné avec le méridien principal
Concepts clés
- Dans le système de coordonnées cylindriques, un point de l'espace est représenté par le triple ordonné\((r,θ,z),\) où\((r,θ)\) représente les coordonnées polaires de la projection du point dans le\(xy\) plan et z représente la projection du point sur l'\(z\)axe.
- Pour convertir un point de coordonnées cylindriques en coordonnées cartésiennes, utilisez des équations\(x=r\cos θ, y=r\sin θ,\) et\(z=z.\)
- Pour convertir un point de coordonnées cartésiennes en coordonnées cylindriques, utilisez des équations\(r^2=x^2+y^2, \tan θ=\dfrac{y}{x},\) et\(z=z.\)
- Dans le système de coordonnées sphériques, un point\(P\) de l'espace est représenté par le triple ordonné\((ρ,θ,φ)\), où\(ρ\) est la distance entre\(P\) et l'origine\((ρ≠0), θ\) est le même angle que celui utilisé pour décrire l'emplacement en coordonnées cylindriques, et\(φ\) est l'angle formé par \(z\)axe positif et segment de ligne\(\bar{OP}\), où\(O\) est l'origine et\(0≤φ≤π.\)
- Pour convertir un point de coordonnées sphériques en coordonnées cartésiennes, utilisez des équations\(x=ρ\sin φ\cos θ, y=ρ\sin φ\sin θ,\) et\(z=ρ\cos φ.\)
- Pour convertir un point de coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques, utilisez des équations\(ρ^2=x^2+y^2+z^2, \tan θ=\dfrac{y}{x},\) et\(φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})\).
- Pour convertir un point de coordonnées sphériques en coordonnées cylindriques, utilisez des équations\(r=ρ\sin φ, θ=θ,\) et\(z=ρ\cos φ.\)
- Pour convertir un point de coordonnées cylindriques en coordonnées sphériques, utilisez des équations\(ρ=\sqrt{r^2+z^2}, θ=θ,\) et\(φ=\arccos(\dfrac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}).\)
Lexique
- système de coordonnées cylindriques
- une façon de décrire un emplacement dans l'espace avec un triple ordonné\((r,θ,z),\) où\((r,θ)\) représente les coordonnées polaires de la projection du point dans le\(xy\) plan et z représente la projection du point sur l'\(z\)axe
- système de coordonnées sphériques
- une façon de décrire un emplacement dans l'espace avec un triple ordonné\((ρ,θ,φ),\) où\(ρ\) est la distance entre\(P\) et l'origine\((ρ≠0), θ\) est le même angle que celui utilisé pour décrire l'emplacement en coordonnées cylindriques, et\(φ\) est l'angle formé par l'\(z\)axe positif et la ligne segment\(\bar{OP}\), où\(O\) est l'origine et\(0≤φ≤π\)
Contributeurs et attributions
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