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12.6E : Exercices pour la section 12.6

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Pour les exercices 1 à 6, esquissez et décrivez la surface cylindrique de l'équation donnée.

    1) [T]\( x^2+z^2=1\)

    Réponse

    La surface est un cylindre dont les règles sont parallèles à l'\(y\)axe.

    2) [T]\( x^2+y^2=9\)

    3) [T]\( z=\cos\left(\frac{π}{2}+x\right)\)

    Réponse

    La surface est un cylindre dont les règles sont parallèles à l'\(y\)axe.

    4) [T]\( z=e^x\)

    5) [T]\( z=9−y^2\)

    Réponse

    La surface est un cylindre dont les règles sont parallèles à l'\(x\)axe.

    6) [T]\( z=\ln x\)

    Pour les exercices 7 à 10, le graphique d'une surface quadrique est donné.

    a. Spécifiez le nom de la surface quadrique.

    b. Déterminez l'axe de symétrie de la surface quadrique.

    7)

    Réponse
    a. Cylindre ; b. L'\(x\)axe Y

    8)

    9)

    Réponse
    a. Hyperboloïde de deux feuilles ; b. L'\(x\)axe -

    10)

    Pour les exercices 11 à 16, associez la surface quadrique donnée à l'équation correspondante sous forme standard.

    un.\( \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}−\dfrac{z^2}{12}=1\)

    b.\( \dfrac{x^2}{4}−\dfrac{y^2}{9}−\dfrac{z^2}{12}=1\)

    c.\( \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{z^2}{12}=1\)

    d.\( z^2=4x^2+3y^2\)

    e.\( z=4x^2−y^2\)

    f.\( 4x^2+y^2−z^2=0\)

    11) Hyperboloïde de deux feuilles

    Réponse
    b.

    12) Ellipsoïde

    13) Paraboloïde elliptique

    Réponse
    d.

    14) Paraboloïde hyperbolique

    15) Hyperboloïde d'une feuille

    Réponse
    un.

    16) Cône elliptique

    Pour les exercices 17 à 28, réécrivez l'équation donnée de la surface quadrique sous forme standard. Identifiez la surface.

    17)\( −x^2+36y^2+36z^2=9\)

    Réponse
    \( −\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{\frac{1}{4}}+\dfrac{z^2}{\frac{1}{4}}=1,\)hyperboloïde d'une feuille avec l'\(x\)axe -comme axe de symétrie

    18)\( −4x^2+25y^2+z^2=100\)

    19)\( −3x^2+5y^2−z^2=10\)

    Réponse
    \( −\dfrac{x^2}{\frac{10}{3}}+\dfrac{y^2}{2}−\dfrac{z^2}{10}=1,\)hyperboloïde de deux feuilles avec l'\(y\)axe -comme axe de symétrie

    20)\( 3x^2−y^2−6z^2=18\)

    21)\( 5y=x^2−z^2\)

    Réponse
    \( y=−\dfrac{z^2}{5}+\dfrac{x^2}{5},\)paraboloïde hyperbolique dont l'\(y\)axe -est l'axe de symétrie

    22)\( 8x^2−5y^2−10z=0\)

    23)\( x^2+5y^2+3z^2−15=0\)

    Réponse
    \( \dfrac{x^2}{15}+\dfrac{y^2}{3}+\dfrac{z^2}{5}=1,\)ellipsoïde

    24)\( 63x^2+7y^2+9z^2−63=0\)

    25)\( x^2+5y^2−8z^2=0\)

    Réponse
    \( \dfrac{x^2}{40}+\dfrac{y^2}{8}−\dfrac{z^2}{5}=0,\)cône elliptique avec l'\(z\)axe -comme axe de symétrie

    26)\( 5x^2−4y^2+20z^2=0\)

    (27)\( 6x=3y^2+2z^2\)

    Réponse
    \( x=\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{z^2}{3},\)paraboloïde elliptique dont l'\(x\)axe -est l'axe de symétrie

    28)\( 49y=x^2+7z^2\)

    Pour les exercices 29 à 34, trouvez la trace de la surface quadrique donnée dans le plan de coordonnées spécifié et esquissez-la.

    29) [T]\( x^2+z^2+4y=0, \quad z=0\)

    Réponse

    Parabole\( y=−\frac{x^2}{4},\)

    30) [T]\( x^2+z^2+4y=0,\quad x=0\)

    31) [T]\( −4x^2+25y^2+z^2=100,\quad x=0\)

    Réponse

    Ellipse\( \dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{100}=1,\)

    32) [T]\( −4x^2+25y^2+z^2=100,\quad y=0\)

    33) [T]\( x^2+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{100}=1,\quad x=0\)

    Réponse

    Ellipse\( \dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{100}=1,\)

    34) [T]\( x^2−y−z^2=1,\quad y=0\)

    35) Utilisez le graphique de la surface quadrique donnée pour répondre aux questions.

    a. Spécifiez le nom de la surface quadrique.

    b. Laquelle des équations...\( 16x^2+9y^2+36z^2=3600, \; 9x^2+36y^2+16z^2=3600,\) ou\( 36x^2+9y^2+16z^2=3600\)... correspond au graphique ?

    c. Utilisez b. pour écrire l'équation de la surface quadrique sous forme standard.

    Réponse
    a. Ellipsoïde
    b. La troisième équation
    c.\( \dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{400}+\dfrac{z^2}{225}=1\)

    36) Utilisez le graphique de la surface quadrique donnée pour répondre aux questions.

    a. Spécifiez le nom de la surface quadrique.

    b. Laquelle des équations—\( 36z=9x^2+y^2, \; 9x^2+4y^2=36z\), ou\( −36z=−81x^2+4y^2\) —correspond au graphique ci-dessus ?

    c. Utilisez b. pour écrire l'équation de la surface quadrique sous forme standard.

    Pour les exercices 37 à 42, l'équation d'une surface quadrique est donnée.

    a. Utilisez la méthode qui consiste à compléter le carré pour écrire l'équation sous forme standard.

    b. Identifiez la surface.

    37)\( x^2+2z^2+6x−8z+1=0\)

    Réponse
    a.\(\dfrac{(x+3)^2}{16}+\dfrac{(z−2)^2}{8}=1\)
    b. Cylindre centré\( (−3,2)\) avec des gouvernes parallèles à l'\(y\)axe

    38)\( 4x^2−y^2+z^2−8x+2y+2z+3=0\)

    39)\( x^2+4y^2−4z^2−6x−16y−16z+5=0\)

    Réponse
    a.\(\dfrac{(x−3)^2}{4}+(y−2)^2−(z+2)^2=1\)
    b. Hyperboloïde d'une feuille centrée\( (3,2,−2),\) avec l'\(z\)axe -comme axe de symétrie

    40)\( x^2+z^2−4y+4=0\)

    41)\( x^2+\dfrac{y^2}{4}−\dfrac{z^2}{3}+6x+9=0\)

    Réponse
    a.\((x+3)^2+\dfrac{y^2}{4}−\dfrac{z^2}{3}=0\)
    b. Cône elliptique centré\( (−3,0,0),\) avec l'\(z\)axe -comme axe de symétrie

    42)\( x^2−y^2+z^2−12z+2x+37=0\)

    43) Écrivez la forme standard de l'équation de l'ellipsoïde centré à l'origine qui passe par les points\( A(2,0,0),\, B(0,0,1),\) et\( C\left(12,\sqrt{11},\frac{1}{2}\right).\)

    Réponse
    \( \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}+z^2=1\)

    44) Écrivez la forme standard de l'équation de l'ellipsoïde centré au point\( P(1,1,0)\) qui passe par les points\( A(6,1,0),\, B(4,2,0)\) et\( C(1,2,1)\).

    45) Déterminer les points d'intersection du cône elliptique\( x^2−y^2−z^2=0\) avec la ligne d'équations symétriques\( \dfrac{x−1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=z.\)

    Réponse
    \( (1,−1,0)\)et\( \left(\frac{13}{3},4,\frac{5}{3}\right)\)

    46) Déterminer les points d'intersection de l'hyperboloïde parabolique\( z=3x^2−2y^2\) avec la ligne d'équations paramétriques\( x=3t,\;y=2t,\;z=19t\), où\( t∈R.\)

    47) Trouvez l'équation de la surface quadrique avec des points\( P(x,y,z)\) équidistants du point\( Q(0,−1,0)\) et du plan de l'équation\( y=1.\) Identifiez la surface.

    Réponse
    \( x^2+z^2+4y=0,\)paraboloïde elliptique

    48) Trouvez l'équation de la surface quadrique avec des points\( P(x,y,z)\) équidistants du point\( Q(0,2,0)\) et du plan de l'équation\( y=−2.\) Identifiez la surface.

    49) Si la surface d'un réflecteur parabolique est décrite par une équation,\( 400z=x^2+y^2,\) trouvez le point focal du réflecteur.

    Réponse
    \( (0,0,100)\)

    50) Considérez le réflecteur parabolique décrit par l'équation\( z=20x^2+20y^2.\) Trouvez son point focal.

    51) Montrez que la surface quadrique se\( x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz+x+y+z=0\) réduit à deux plans parallèles.

    52) Montrez que la surface quadrique se\( x^2+y^2+z^2−2xy−2xz+2yz−1=0\) réduit à deux plans parallèles passant.

    53) [T] L'intersection entre le cylindre\( (x−1)^2+y^2=1\) et la sphère\( x^2+y^2+z^2=4\) est appelée courbe de Viviani.

    a. Résolvez le système composé des équations des surfaces pour trouver l'équation de la courbe d'intersection. (Astuce : Trouvez\( x\) et\( y\) en termes de\( z\).)

    b. Utilisez un système d'algèbre informatique (CAS) ou CalcPlot3D pour visualiser la courbe d'intersection sur une sphère\( x^2+y^2+z^2=4\).

    Réponse

    a.\(x=2−\dfrac{z^2}{2}, \quad y=±\dfrac{z}{2}\sqrt{4−z^2},\) où\( z∈[−2,2];\)

    b.

    54) L'hyperboloïde d'une feuille\( 25x^2+25y^2−z^2=25\) et d'un cône elliptique\( −25x^2+75y^2+z^2=0\) sont représentés dans la figure suivante avec leurs courbes d'intersection. Identifiez les courbes d'intersection et trouvez leurs équations (Conseil : Trouvez y à partir du système composé des équations des surfaces.)

    55) [T] Utilisez un CAS ou un CalcPlot3D pour créer l'intersection entre le cylindre\( 9x^2+4y^2=18\) et l'ellipsoïde\( 36x^2+16y^2+9z^2=144\) et trouver les équations des courbes d'intersection.

    Réponse

    deux ellipses d'équations\( \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{\frac{9}{2}}=1\) dans des plans\( z=±2\sqrt{2}\)

    56) [T] Un sphéroïde est un ellipsoïde avec deux demi-axes égaux. Par exemple, l'équation d'un sphéroïde dont l'axe z est l'axe de symétrie est donnée par\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\), où\( a\) et\( c\) sont des nombres réels positifs. Le sphéroïde est appelé oblate si\( c<a\), et prolate pour\( c>a\).

    a. La cornée oculaire est approximée sous la forme d'un sphéroïde allongé dont l'axe est l'œil, où\( a=8.7mm\) et\( c=9.6mm\) .Écrivez l'équation du sphéroïde qui modélise la cornée et esquissez la surface.

    b. Donnez deux exemples d'objets ayant des formes de sphéroïdes allongées.

    57) [T] En cartographie, la Terre est approximée par un sphéroïde oblat plutôt que par une sphère. Les rayons à l'équateur et aux pôles sont d'environ\( 3963\) mi et\( 3950\) mi, respectivement.

    a. Écrivez l'équation sous forme standard de l'ellipsoïde qui représente la forme de la Terre. Supposons que le centre de la Terre se trouve à l'origine et que la trace formée par le plan\( z=0\) correspond à l'équateur.

    b. Esquissez le graphique.

    c. Trouvez l'équation de la courbe d'intersection de la surface avec un plan\( z=1000\) parallèle au\(xy\) plan. La courbe d'intersection est appelée parallèle.

    d. Trouvez l'équation de la courbe d'intersection de la surface avec le plan\( x+y=0\) qui passe par l'\(z\)axe. La courbe d'intersection est appelée méridienne.

    Réponse

    un.\(\dfrac{x^2}{3963^2}+\dfrac{y^2}{3963^2}+\dfrac{z^2}{3950^2}=1\)

    b.

    c. La courbe d'intersection est l'ellipse de l'équation\( \dfrac{x^2}{3963^2}+\dfrac{y^2}{3963^2}=\dfrac{(2950)(4950)}{3950^2}\), et l'intersection est une ellipse.
    d. La courbe d'intersection est l'ellipse de l'équation\( \dfrac{2y^2}{3963^2}+\dfrac{z^2}{3950^2}=1.\)

    58) [T] Un ensemble d'aimants cascadeurs (ou « œufs de serpent à sonnettes ») comprend deux aimants en forme de sphéroïde brillants, polis et super puissants, bien connus pour le divertissement des enfants. Chaque aimant mesure un\( 1.625\) pouce de long et un\( 0.5\) pouce de large au milieu. En les projetant en l'air, ils émettent un bourdonnement en s'attirant l'un l'autre.

    a. Écrivez l'équation du sphéroïde allongé centré à l'origine qui décrit la forme de l'un des aimants.

    b. Écrivez les équations des sphéroïdes allongés qui modélisent la forme des aimants acrobatiques qui bourdonnent. Utilisez un CAS ou un CalcPlot3D pour créer les graphes.

    59) [T] Une surface en forme de cœur est donnée par l'équation\( (x^2+\frac{9}{4}y^2+z^2−1)^3−x^2z^3−\frac{9}{80}y^2z^3=0.\)

    a. Utilisez un CAS ou un CalcPlot3D pour représenter graphiquement la surface qui modélise cette forme.

    b. Déterminez et esquissez la trace de la surface en forme de cœur sur le\(xz\) plan.

    Réponse

    un.

    b. La courbe d'intersection est\( (x^2+z^2−1)^3−x^2z^3=0.\)

    60) [T] Le tore annulaire symétrique par rapport à l'\(z\)axe -est un type spécial de surface en topologie et son équation est donnée par\( (x^2+y^2+z^2+R^2−r^2)^2=4R^2(x^2+y^2)\), où\( R>r>0\). Les nombres\( R\) et\( r\) sont appelés sont les rayons principaux et mineurs, respectivement, de la surface. La figure suivante montre un tore annulaire pour lequel\( R=2\) et\( r=1\).

    a. Écrivez l'équation du tore en anneau avec\( R=2\) et\( r=1\), et utilisez un CAS ou un CalcPlot3D pour représenter graphiquement la surface. Comparez le graphique avec le chiffre indiqué.

    b. Déterminez l'équation et tracez la trace du tore de l'anneau à partir de a. sur le\(xy\) plan.

    c. Donnez deux exemples d'objets ayant la forme d'un tore en anneau.