12.5E : Exercices pour la section 12.5
- Page ID
- 197151
Dans les exercices 1 à 4, les points\( P\) et\( Q\) sont donnés. \( L\)Soit la ligne passant par les points\( P\) et\( Q\).
a. Trouvez l'équation vectorielle de la droite\( L\).
b. Trouvez les équations paramétriques de la droite\( L\).
c. Trouvez les équations symétriques de la droite\( L\).
d. Trouvez les équations paramétriques du segment de droite déterminées par\( P\) et\( Q\).
1)\( P(−3,5,9), \quad Q(4,−7,2)\)
- Réponse
- a.\(\vecs r=⟨−3,5,9⟩+t⟨7,−12,−7⟩, \quad t∈R;\)
b.\( x=−3+7t, \quad y=5−12t, \quad z=9−7t, \quad t∈R;\)
c.\(\dfrac{x+3}{7}=\dfrac{y−5}{−12}=\dfrac{z−9}{−7};\)
d.\(x=−3+7t, \quad y=5−12t, \quad z=9−7t, \quad 0 \le t \le 1\)
2)\( P(4,0,5), \quad Q(2,3,1)\)
3)\( P(−1,0,5), \quad Q(4,0,3)\)
- Réponse
- a.\(\vecs r=⟨−1,0,5⟩+t⟨5,0,−2⟩, \quad t∈R;\)
b.\( x=−1+5t,y=0,z=5−2t, \quad t∈R;\)
c.\(\dfrac{x+1}{5}=\dfrac{z−5}{−2}, \quad y=0;\)
d.\(x=−1+5t, \quad y=0, \quad z=5−2t, \quad t∈[0,1]\)
4)\( P(7,−2,6), \quad Q(−3,0,6)\)
Pour les exercices 5 à 8, le point\( P\) et le vecteur\(\vecs v\) sont donnés. \( L\)Soit la ligne passant par le point\( P\) avec la direction\(\vecs v\).
a. Trouvez les équations paramétriques de la droite\( L\).
b. Trouvez les équations symétriques d'une droite\( L\).
c. Trouvez l'intersection de la ligne avec le\(xy\) plan.
5)\( P(1,−2,3),\,\vecs v=⟨1,2,3⟩\)
- Réponse
- a.\(x=1+t, \quad y=−2+2t, \quad z=3+3t, \quad t∈R;\)
b.\( \dfrac{x−1}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z−3}{3};\)
c.\((0,−4,0)\)
6)\( P(3,1,5), \,\vecs v=⟨1,1,1⟩\)
7)\( P(3,1,5), \,\vecs v=\vecd{QR},\) où\( Q(2,2,3)\) et\( R(3,2,3)\)
- Réponse
- a.\(x=3+t, \quad y=1, \quad z=5, \quad t∈R;\)
b.\( y=1, \quad z=5;\)
c. La ligne n'intersecte pas le\(xy\) plan.
8)\( P(2,3,0), \,\vecs v=\vecd{QR},\) où\( Q(0,4,5)\) et\( R(0,4,6)\)
Pour les exercices 9 et 10, une ligne\( L\) est donnée.
a. Trouvez un point\( P\) qui appartient à la ligne et un vecteur\(\vecs v\) de direction de la ligne. Express\(\vecs v\) sous forme de composant.
b. Détermine la distance entre l'origine et la ligne\( L\).
9)\( x=1+t, \quad y=3+t, \quad z=5+4t, \quad t∈R\)
- Réponse
- a. Un point et un vecteur de direction possibles sont\(P(1,3,5)\) et\(\vecs v=⟨1,1,4⟩\), mais ces réponses ne sont pas uniques.
b.\( \sqrt{3} \) unités
10)\( −x=y+1, \quad z=2\)
11) Trouvez la distance entre le point\( A(−3,1,1)\) et la droite des équations symétriques
\( x=−y=−z.\)
- Réponse
- \( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \)unités
12) Trouvez la distance entre le point\( A(4,2,5)\) et la droite des équations paramétriques
\( x=−1−t, \; y=−t, \; z=2, \; t∈R.\)
Pour les exercices 13 à 14, des lignes\( L_1\) et\( L_2\) sont données.
a. Vérifiez si les lignes 1\( L_1\) et\( L_2\) 2 sont parallèles.
b. Si les lignes 1\( L_1\) et 2\( L_2\) sont parallèles, déterminez la distance qui les sépare.
13)\( L_1:x=1+t, \quad y=t, \quad z=2+t, \quad t∈R\) et\(L_2:x−3=y−1=z−3\)
- Réponse
- a. Parallèle ;
b.\( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \) unités
14)\( L_1:x=2, \quad y=1, \quad z=t, \quad t∈R\) et\( L_2:x=1, \quad y=1, \quad z=2−3t, \quad t∈R\)
15) Montrez que la droite passant par des points\( P(3,1,0)\) et\( Q(1,4,−3)\) est perpendiculaire à la droite avec l'équation\( x=3t, \quad y=-32+8t, \quad z=−9+6t, \quad t∈R.\)
- Réponse
- \( \vecd{PQ} = \langle -2, 3, -3 \rangle\)est le vecteur directeur de la ligne passant par des points\(P\) et\(Q\), et le vecteur directeur de la droite défini par les équations paramétriques ci-dessus est\(\vecs v = \langle 3, 8, 6 \rangle.\)
Puisque\(\vecs v \cdot \vecd{PQ} = -6 + 24 - 18 = 0\), les deux vecteurs de direction sont orthogonaux.
Il ne nous reste plus qu'à montrer que les deux lignes se croisent.
La ligne passe par\( P(3,1,0)\) des points et\( Q(1,4,−3)\) possède des équations paramétriques :\(x = 3 - 2u\)\(y = 1 + 3u\),, et\(z = -3u\).
En mettant les\(z\) coordonnées\(x\) - et - des deux lignes égales, nous obtenons le système d'équations : La
\[3t = 3 - 2u \quad\text{and}\quad -9 + 6t = -3u \nonumber \]
résolution de ce système par substitution nous donne,\(u = -3\) et\(t = 3\). En intégrant ces valeurs des équations paramétriques de ces deux lignes\(t\) et en les\(u\) reconnectant aux équations paramétriques de ces deux lignes, nous obtenons le point d'intersection avec\(\left(9, -8, 9\right)\) les coordonnées des deux lignes
Par conséquent, les lignes se croisent et la ligne passant par\(P\) des points et\(Q\) avec un vecteur de direction\(\vecd{PQ} \) est perpendiculaire à l'autre ligne.
16) Les lignes d'\( x=−2+2t, \quad y=−6, \quad z=2+6t, \quad t∈R\)équations sont-elles\( x=−1+t, \quad y=1+t, \quad z=t, \quad t∈R,\) perpendiculaires entre elles ?
17) Trouvez le point d'intersection des lignes d'équations\( x=−2y=3z\) et\( x=−5−t, \quad y=−1+t, \quad z=t−11, \quad t∈R.\)
- Réponse
- \( (−12,6,−4)\)
18) Trouvez le point d'intersection de l'\(x\)axe -avec la ligne d'équations paramétriques\( x=10+t, \quad y=2−2t, \quad z=−3+3t, \quad t∈R.\)
Pour les exercices 19 à 22, les lignes\( L_1\) et\( L_2\) sont données. Déterminez si les lignes sont égales, parallèles mais pas égales, inclinées ou croisées.
19)\( L_1:x=y−1=−z\) et\( L_2:x−2=−y=\dfrac{z}{2}\)
- Réponse
- Les lignes sont asymétriques.
20)\( L_1:x=2t, \quad y=0, \quad z=3, \quad t∈R\) et\( L_2:x=0, \quad y=8+s, \quad z=7+s, \quad s∈R\)
21)\( L_1:x=−1+2t, \quad y=1+3t, \quad z=7t, \quad t∈R\) et\( L_2:x−1=\frac{2}{3}(y−4)=\frac{2}{7}z−2\)
- Réponse
- Les lignes sont égales.
22)\( L_1:3x=y+1=2z\) et\( L_2:x=6+2t, \quad y=17+6t, \quad z=9+3t, \quad t∈R\)
23) Considérez la ligne\( L\) d'équations symétriques\( x−2=−y=\dfrac{z}{2}\) et le point\( A(1,1,1).\)
a. Trouvez des équations paramétriques pour une droite parallèle à\( L\) celle qui passe par un point\( A\).
b. Trouvez les équations symétriques d'une droite inclinée par rapport à un point\( L\) et passant par un point\( A\).
c. Trouvez les équations symétriques d'une droite qui se croise\( L\) et passe par un point\( A\).
- Réponse
- a.\(x=1+t, \quad y=1−t, \quad z=1+2t, \quad t∈R\)
b. Par exemple, la droite passant par le vecteur\( A\) de direction\( j:x=1,z=1\)
c. Par exemple, la ligne passant par\( A\) et le point\( (2,0,0)\) auquel appartient\( L\) est une droite qui se croise ;\( L:\frac{x−1}{−1}=y−1=z−1\)
24) Considérez la ligne\( L\) d'équations paramétriques\( x=t, \quad y=2t, \quad z=3, \quad t∈R.\)
a. Trouvez des équations paramétriques pour une droite parallèle à\( L\) celle qui passe par l'origine.
b. Trouvez les équations paramétriques d'une droite inclinée par rapport à\( L\) celle qui passe par l'origine.
c. Trouvez les équations symétriques d'une droite qui croise\( L\) et traverse l'origine.
Pour les exercices 25 à 28, le point\( P\) et le vecteur\(\vecs n\) sont donnés.
a. Détermine l'équation scalaire du plan qui le traverse\( P\) et dont le vecteur est normal\(\vecs n\).
b. Déterminez la forme générale de l'équation du plan qui le traverse\( P\) et dont le vecteur est normal\(\vecs n\).
25)\( P(0,0,0), \quad \vecs n=3\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat j}+4\mathbf{\hat k}\)
- Réponse
- a.\(3x−2y+4z=0\)
b.\(3x−2y+4z=0\)
(26)\( P(3,2,2), \quad \vecs n=2\mathbf{\hat i}+3\mathbf{\hat j}−\mathbf{\hat k}\)
(27)\( P(1,2,3), \quad \vecs n=⟨1,2,3⟩\)
- Réponse
- a.\((x−1)+2(y−2)+3(z−3)=0\)
b.\(x+2y+3z−14=0\)
(28)\( P(0,0,0), \quad \vecs n=⟨−3,2,−1⟩\)
Pour les exercices 29 à 32, l'équation d'un plan est donnée.
a. Trouvez le vecteur normal par rapport\(\vecs n\) au plan. Exprimez\(\vecs n\) en utilisant des vecteurs unitaires standard.
b. Trouvez les intersections du plan avec chacun des axes de coordonnées (ses intersections).
c. Esquissez l'avion.
29) [T]\( 4x+5y+10z−20=0\)
- Réponse
- a.\(\vecs n=4\mathbf{\hat i}+5\mathbf{\hat j}+10\mathbf{\hat k}\)
b.\((5,0,0), \,(0,4,0),\) et\( (0,0,2)\)c.
(30)\( 3x+4y−12=0\)
31)\( 3x−2y+4z=0\)
- Réponse
- a.\(\vecs n=3\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat j}+4\mathbf{\hat k}\)
b.\((0,0,0)\)c.
32)\( x+z=0\)
33) Point\( P(1,2,3)\) et vecteur donnés\(\vecs n=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}\), trouvez le point\( Q\) sur l'\(x\)axe -de telle sorte que\( \vecd{PQ}\) et\(\vecs n\) soient orthogonaux.
- Réponse
- \( (3,0,0)\)
34) Montrez qu'il n'y a aucun plan perpendiculaire\(\vecs n=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}\) qui passe par\( P(1,2,3)\) des points et\( Q(2,3,4)\).
35) Trouvez des équations paramétriques de la droite passant par un point\( P(−2,1,3)\) perpendiculaire au plan de l'équation\( 2x−3y+z=7.\)
- Réponse
- \( x=−2+2t, \quad y=1−3t, \quad z=3+t, \quad t∈R\)
36) Trouvez des équations symétriques de la droite passant par un point\( P(2,5,4)\) perpendiculaire au plan de l'équation\( 2x+3y−5z=0.\)
37) Montrez que la ligne\( \dfrac{x−1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z−2}{4}\) est parallèle au plan\( x−2y+z=6\).
38) Trouvez le nombre réel de\( α\) telle sorte que la ligne d'équations paramétriques\( x=t, \quad y=2−t, \quad z=3+t, \quad t∈R\) soit parallèle au plan de l'équation\( αx+5y+z−10=0.\)
Pour les exercices 39 à 42, les équations de deux plans sont données.
a. Déterminez si les plans sont parallèles, orthogonaux ou aucun des deux.
b. Si les plans ne sont ni parallèles ni orthogonaux, trouvez la mesure de l'angle entre les plans. Exprime la réponse en degrés arrondis à l'entier le plus proche.
c. Si les plans se croisent, trouvez la ligne d'intersection des plans en fournissant les équations paramétriques de cette droite.
39) [T]\( x+y+z=0, \quad 2x−y+z−7=0\)
- Réponse
- a. Les plans ne sont ni parallèles ni orthogonaux.
b.\(62°\)
c.\(x = -1 + 2t\)
\(y = -4 + t\)
\(z = 5 - 3t\)
40)\( 5x−3y+z=4, \quad x+4y+7z=1\)
41)\( x−5y−z=1, \quad 5x−25y−5z=−3\)
- Réponse
- a. Les plans sont parallèles.
42) [T]\( x−3y+6z=4, \quad 5x+y−z=4\)
Pour les exercices 43 à 46, déterminez si la ligne donnée croise le plan donné. S'ils se croisent, indiquez le point d'intersection.
43) Plan :\(2x + y - z = 11\) Ligne :\(x = 1 + t, \quad y = 3 - 2t, \quad z = 2 +4t\)
- Réponse
- Ils se croisent en un point\( (-1, 7, -6) \).
44) Plan :\(-x + 2y + z = 2\) Ligne :\(x = 1 + 2t, \quad y = -2 + t, \quad z = 5 - 3t\)
- Réponse
- Ils se croisent en un point\( \left(-\frac{1}{3}, \, -\frac{8}{3}, \, 7\right) \).
45) Plan :\(x - 3y + 2z = 4\) Ligne :\(x = 2 - t, \quad y = t, \quad z = 4 +2t\)
- Réponse
- La ligne n'intersecte pas ce plan.
46) Plan :\(x - 3y + 2z = 10\) Ligne :\(x = 2 - t, \quad y = t, \quad z = 4 +2t\)
- Réponse
- La ligne est en fait entièrement contenue dans ce plan, de sorte que chaque point de la ligne se trouve sur le plan. Par exemple, lorsque\(t = 0\) nous avons raison,\((2, 0, 4)\).
47) Montrez que les lignes des équations\( x=t, \quad y=1+t, \quad z=2+t, \quad t∈R,\) et\( \dfrac{x}{2}=\dfrac{y−1}{3}=z−3\) sont inclinées et trouvez la distance qui les sépare.
- Réponse
- \( \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}\)unités
48) Montrez que les lignes des équations\( x=−1+t, \quad y=−2+t, \quad z=3t, \quad t∈R,\) et\( x=5+s, \quad y=−8+2s, \quad z=7s, \quad s∈R\) sont inclinées et trouvez la distance qui les sépare.
49) Considérez le point\( C(−3,2,4)\) et le plan de l'équation\( 2x+4y−3z=8\).
a. Détermine le rayon de la sphère dont le centre\(C\) est tangent au plan donné.
b. Déterminez le point\(P\) de tangence.
- Réponse
- a.\(r = \frac{18}{\sqrt{29}} = \frac{18\sqrt{29}}{29}\)
b.\(P\left(−\frac{51}{29},\frac{130}{29},\frac{62}{29}\right)\)
50) Considérez le plan de l'équation\( x−y−z−8=0.\)
a. Trouvez l'équation de la sphère dont le centre est\(C\) à l'origine et qui est tangente au plan donné.
b. Trouvez des équations paramétriques de la droite passant par l'origine et le point de tangence.
51) Deux enfants jouent avec un ballon. La fille lance la balle au garçon. La balle se déplace dans les airs, tourne à\( 3\) pieds vers la droite et tombe à\( 5\) pieds de la fille (voir la figure suivante). Si le plan qui contient la trajectoire de la balle est perpendiculaire au sol, trouvez son équation.
- Réponse
- \( 4x−3y=0\)
52) [T] John alloue des\( d\) dollars à la consommation mensuelle de trois biens de prix\( a,b\), et\( c\). Dans ce contexte, l'équation budgétaire est définie comme\( ax+by+cz=d,\) où\( x≥0,\, y≥0\) et\( z≥0\) représente le nombre d'articles achetés pour chacun des biens. L'ensemble de budget est donné par\( \big\{(x,y,z)\,|\,ax+by+cz≤d,\;x≥0,\;y≥0,\;z≥0\big\},\) et le plan budgétaire est la partie du plan d'équation\( ax+by+cz=d\) pour laquelle\( x≥0,\,y≥0\), et\( z≥0\). Considérez\( a=$8, \,b=$5, \,c=$10,\) et\( d=$500.\)
a. Utilisez un CAS pour représenter graphiquement le budget défini et le plan budgétaire.
b. Pour\( z=25,\) trouver la nouvelle équation budgétaire et représenter graphiquement le budget défini dans le même système de coordonnées.
53) [T] Considérez\(\vecs r(t)=⟨\sin t,\cos t,2t⟩\) le vecteur de position d'une particule à la fois\( t∈[0,3]\), où les composantes de\(\vecs r\) sont exprimées en centimètres et le temps est mesuré en secondes. \( \vecd{OP}\)Soit le vecteur de position de la particule après une\( 1\) seconde.
a. Déterminez le vecteur\(\vecs v(1)\) de vitesse de la particule après une\( 1\) seconde
b. Déterminez l'équation scalaire du plan perpendiculaire au point\( v(1)\) et passant par celui-ci\( P\). Ce plan est appelé le plan normal de la trajectoire de la particule au point\( P\).
c. Utilisez un CAS pour visualiser la trajectoire de la particule ainsi que le vecteur de vitesse et le plan normal au point\( P\).
- Réponse
- a.\(\vecs v(1)=⟨\cos 1,−\sin 1, 2⟩\)
b.\( (\cos 1)(x−\sin 1)−(\sin 1)(y−\cos 1)+2(z−2)=0\)
c.
54) [T] Un panneau solaire est monté sur le toit d'une maison. Le panneau peut être considéré comme étant positionné aux points de coordonnées (en mètres)\( A(8,0,0), \, B(8,18,0), \, C(0,18,8),\) et\( D(0,0,8)\) (voir la figure suivante).
a. Trouvez la forme générale de l'équation du plan qui contient le panneau solaire en utilisant des points\( A, \, B,\) et\( C\), et montrez que son vecteur normal est équivalent à\( \vecd{AB}×\vecd{AD}.\)
b. Trouvez des équations paramétriques de la droite\( L_1\) qui passe par le centre du panneau solaire et\(\vecs s=\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat k},\) dont le vecteur de direction pointe vers la position du Soleil à une heure donnée de la journée.
c. Trouvez des équations symétriques de la droite\( L_2\) qui passe par le centre du panneau solaire et qui est perpendiculaire à celui-ci.
d. Déterminez l'angle d'élévation du Soleil au-dessus du panneau solaire en utilisant l'angle entre les lignes\( L_1\) et\( L_2\).