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12.4E : Exercices pour la section 12.4

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Pour les exercices 1 à 4, les vecteurs\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\) sont donnés.

    a. Trouvez le produit croisé\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) des vecteurs\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\). Exprimez la réponse sous forme de composant.

    b. Esquissez les vecteurs\(\vecs{u}, \, \vecs{v}\), et\(\vecs{u}\times\vecs{v}\).

    1)\(\quad \vecs{u}=⟨2,0,0⟩, \quad \vecs{v}=⟨2,2,0⟩\)

    Réponse
    \(a. \vecs{u}\times\vecs{v}=⟨0,0,4⟩;\)

    \(b.\)

    2)\(\quad \vecs{u}=⟨3,2,−1⟩, \quad \vecs{v}=⟨1,1,0⟩\)

    3)\(\quad \vecs{u}=2\mathbf{\hat i}+3\mathbf{\hat j}, \quad \vecs{v}=\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat k}\)

    Réponse
    \( a. \vecs{u}\times\vecs{v}=⟨6,−4,2⟩;\)

    \(b.\)

    4)\(\quad \vecs{u}=2\mathbf{\hat j}+3\mathbf{\hat k}, \quad \vecs{v}=3\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat k}\)

    5) Simplifier\((\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat j}−4\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat k}+3\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat k})×\mathbf{\hat i}.\)

    Réponse
    \(−2\mathbf{\hat j}−4\mathbf{\hat k}\)

    6) Simplifier\(\mathbf{\hat j}×(\mathbf{\hat k}×\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat i}−3\mathbf{\hat j}×\mathbf{\hat j}+5\mathbf{\hat i}×\mathbf{\hat k}).\)

    Dans les exercices 7 à 10, les vecteurs\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\) sont donnés. Trouvez le vecteur unitaire\(\vecs{w}\) dans la direction du vecteur de produits croisés\(\vecs{u}×\vecs{v}.\) Exprimez votre réponse à l'aide de vecteurs unitaires standard.

    7)\(\quad \vecs{u}=⟨3,−1,2⟩, \quad \vecs{v}=⟨−2,0,1⟩\)

    Réponse
    \(\vecs{w}=−\frac{\sqrt{6}}{18}\mathbf{\hat i}−\frac{7\sqrt{6}}{18}\mathbf{\hat j}−\frac{\sqrt{6}}{9}\mathbf{\hat k}\)

    8)\(\quad \vecs{u}=⟨2,6,1⟩, \quad \vecs{v}=⟨3,0,1⟩\)

    9)\(\quad \vecs{u}=\vecd{AB}, \quad \vecs{v}=\vecd{AC},\) où\(A(1,0,1),\, B(1,−1,3)\), et\(C(0,0,5)\)

    Réponse
    \(\vecs{w}=−\frac{4\sqrt{21}}{21}\mathbf{\hat i}−\frac{2\sqrt{21}}{21}\mathbf{\hat j}−\frac{\sqrt{21}}{21}\mathbf{\hat k}\)

    10)\(\quad \vecs{u}=\vecd{OP}, \quad \vecs{v}=\vecd{PQ},\) où\(P(−1,1,0)\) et\(Q(0,2,1)\)

    11) Déterminez le nombre réel de\(α\) telle sorte que\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) et\(\mathbf{\hat i}\) soient orthogonaux, où\(\vecs{u}=3\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}−5\mathbf{\hat k}\) et\(\vecs{v}=4\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat j}+α\mathbf{\hat k}.\)

    Réponse
    \(α=10\)

    12) Montrez que\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) et\( 2\mathbf{\hat i}−14\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat k}\) ne peut pas être orthogonal pour un nombre réel α, où\(\vecs{u}=\mathbf{\hat i}+7\mathbf{\hat j}−\mathbf{\hat k}\) et\(\vecs{v}=α\mathbf{\hat i}+5\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}\).

    13) Afficher qui\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) est orthogonal à\(\vecs{u}+\vecs{v}\) et\(\vecs{u}−\vecs{v}\), où\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\) sont des vecteurs non nuls.

    14) Afficher qui\(\vecs{v}\times\vecs{u}\) est orthogonal à\( (\vecs{u}⋅\vecs{v})(\vecs{u}+\vecs{v})+\vecs{u}\), où\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\) sont des vecteurs non nuls.

    15) Calculez le déterminant\( \begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\1&−1&7\\2&0&3\end{vmatrix}\).

    Réponse
    \( −3\mathbf{\hat i}+11\mathbf{\hat j}+2\mathbf{\hat k}\)

    16) Calculez le déterminant\( \begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\0&3&−4\\1&6&−1\end{vmatrix}\).

    Pour les exercices 17 à 18, les vecteurs\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\) sont donnés. Utilisez la notation déterminante pour trouver un vecteur\(\vecs{w}\) orthogonal aux vecteurs\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\).

    17)\(\quad \vecs{u}=⟨−1, 0, e^t⟩, \quad \vecs{v}=⟨1, e^{−t}, 0⟩,\) où\(t\) est un nombre réel

    Réponse
    \(\vecs{w}=⟨−1, e^t, −e^{−t}⟩\)

    18)\(\quad \vecs{u}=⟨1, 0, x⟩, \quad \vecs{v}=⟨\frac{2}{x},1, 0⟩,\) où\(x\) est un nombre réel non nul

    19) Trouver un vecteur\( (\vecs{a}−2\vecs{b})×\vecs{c},\) où\( \vecs{a}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\2&−1&5\\0&1&8\end{vmatrix}, \vecs{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\0&1&1\\2&−1&−2\end{vmatrix},\) et\(\vecs{c}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}.\)

    Réponse
    \( −26\mathbf{\hat i}+17\mathbf{\hat j}+9\mathbf{\hat k}\)

    20) Trouver le vecteur\( \vecs{c}×(\vecs{a}+3\vecs{b}),\) où\( \vecs{a}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\5&0&9\\0&1&0\end{vmatrix}, \vecs{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\0&−1&1\\7&1&−1\end{vmatrix},\) et\(\vecs{c}=\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat k}.\)

    21) [T] Utilisez le produit croisé\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) pour trouver l'angle aigu entre les vecteurs\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\), où\(\vecs{u}=\mathbf{\hat i}+2\mathbf{\hat j}\) et\(\vecs{v}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat k}.\) Exprimez la réponse en degrés arrondis à l'entier le plus proche.

    Réponse
    \( 72°\)

    22) [T] Utilisez le produit croisé\(\vecs{u}\times\vecs{v}\) pour trouver l'angle obtus entre les vecteurs\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\), où\(\vecs{u}=−\mathbf{\hat i}+3\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}\) et\(\vecs{v}=\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat j}.\) Exprimez la réponse en degrés arrondis à l'entier le plus proche.

    23) Utilisez le sinus et le cosinus de l'angle entre deux vecteurs non nuls\(\vecs u\) et\(\vecs v\) pour prouver l'identité de Lagrange :\(\|\vecs{u}\times\vecs{v}\|^2=\|\vecs{u}\|^2\|\vecs{v}\|^2−(\vecs{u}⋅\vecs{v})^2\).

    24) Vérifier l'identité de Lagrange\(\|\vecs{u}\times\vecs{v}\|^2=\|\vecs{u}\|^2\|\vecs{v}\|^2−(\vecs{u}⋅\vecs{v})^2\) pour les vecteurs\(\vecs{u}=−\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}−2\mathbf{\hat k}\) et\(\vecs{v}=2\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j}.\)

    25) Vecteurs non nuls\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\) sont appelés colinéaires s'il existe un scalaire non nul\(α\) tel que\( \vecs{v}=α\vecs{u}\). Montrez cela\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\) êtes colinéaires si et seulement si\( \vecs{u}\times\vecs{v}=0.\)

    26) Vecteurs non nuls\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\) sont appelés colinéaires s'il existe un scalaire non nul\(α\) tel que\( \vecs{v}=α\vecs{u}\). Afficher que les vecteurs\( \vecd{AB}\) et\(\vecd{AC}\) sont colinéaires, où\(A(4,1,0), \, B(6,5,−2),\) et\(C(5,3,−1).\)

    27) Trouvez la zone du parallélogramme avec les côtés adjacents\(\vecs{u}=⟨3,2,0⟩\) et\(\vecs{v}=⟨0,2,1⟩\).

    Réponse
    \(7\)

    28) Trouvez la zone du parallélogramme avec les côtés adjacents\(\vecs{u}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}\) et\(\vecs{v}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat k}.\)

    29) Examinez les points\(A(3,−1,2),\, B(2,1,5),\) et\(C(1,−2,−2).\)

    a. Trouvez la zone du parallélogramme\(ABCD\) avec les côtés adjacents\(\vecd{AB}\) et\( \vecd{AC}\).

    b. Déterminez l'aire du triangle\(ABC\).

    c. Détermine la distance entre un point et\(A\) une ligne\(BC\).

    Réponse
    a.\(5\sqrt{6};\) b.\(\frac{5\sqrt{6}}{2};\) c.\(\frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{59}} =\frac{5\sqrt{354}}{59} \)

    30) Tenez compte des points\(A(2,−3,4),\, B(0,1,2),\) et\(C(−1,2,0).\)

    a. Trouvez la zone du parallélogramme\(ABCD\) avec les côtés adjacents\( \vecd{AB}\) et\( \vecd{AC}\).

    b. Déterminez l'aire du triangle\(ABC\).

    c. Trouvez la distance entre un point et\(B\) une ligne\(AC.\)

    Dans les exercices 31 à 32, les vecteurs\(\vecs{u}, \, \vecs{v}\) et\(\vecs{w}\) sont donnés.

    a. Trouvez le produit triple scalaire\(\vecs{u}⋅(\vecs{v}×\vecs{w}).\)

    b. Déterminez le volume du parallélépipède avec les arêtes adjacentes\(\vecs{u},\,\vecs{v}\), et\(\vecs{w}\).

    31)\(\quad \vecs{u}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}, \quad \vecs{v}=\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k},\) et\(\quad \vecs{w}=\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat k}\)

    Réponse
    \( a. 2; \quad b. 2\)unités 3

    32)\(\quad \vecs{u}=⟨−3,5,−1⟩, \quad \vecs{v}=⟨0,2,−2⟩,\) et\(\quad \vecs{w}=⟨3,1,1⟩\)

    33) Calculez les produits triples scalaires\(\vecs{v}⋅(\vecs{u}×\vecs{w})\) et\(\vecs{w}⋅(\vecs{u}×\vecs{v}),\) où\(\vecs{u}=⟨1,1,1⟩, \vecs{v}=⟨7,6,9⟩,\) et\(\vecs{w}=⟨4,2,7⟩.\)

    Réponse
    \(\vecs{v}⋅(\vecs{u}×\vecs{w})=−1, \quad \vecs{w}⋅(\vecs{u}×\vecs{v})=1\)

    34) Calculez les produits triples scalaires\(\vecs{w}⋅(\vecs{v}×\vecs{u})\) et\(\vecs{u}⋅(\vecs{w}×\vecs{v}),\) où\(\vecs{u}=⟨4,2,−1⟩, \vecs{v}=⟨2,5,−3⟩,\) et\(\vecs{w}=⟨9,5,−10⟩.\)

    35) Trouvez des vecteurs\(\vecs{a},\, \vecs{b}\), et\(\vecs{c}\) avec un produit scalaire triple donné par le déterminant\( \begin{vmatrix}1&2&3\\0&2&5\\8&9&2\end{vmatrix}\). Déterminez leur produit triple scalaire.

    Réponse
    \(\vecs{a}=⟨1,2,3⟩, \quad \vecs{b}=⟨0,2,5⟩, \quad \vecs{c}=⟨8,9,2⟩; \quad \vecs{a}⋅(\vecs{b}×\vecs{c})=−9\)

    36) Le produit scalaire triple des vecteurs\(\vecs{a},\,\vecs{b}\), et\(\vecs{c}\) est donné par le déterminant\( \begin{vmatrix}0&−2&1\\0&1&4\\1&−3&7\end{vmatrix}\). Rechercher un vecteur\(\vecs{a}−\vecs{b}+\vecs{c}.\)

    37) Considérez le parallélépipède avec des arêtes\( OA,OB,\) et\( OC\), où\( A(2,1,0),B(1,2,0),\) et\( C(0,1,α).\)

    a. Trouvez le nombre réel de\( α>0\) telle sorte que le volume du parallélépipède soit en\( 3\) unités 3.

    b. Pour\( α=1,\) trouver la hauteur\(h\) à partir\(C\) du sommet du parallélépipède. Esquissez le parallélépipède.

    Réponse
    \( a. \, α=1; \quad b. \, h=1\)unité,

    38) Considérez\( A(α,0,0),B(0,β,0),\) les points et\( C(0,0,γ)\), avec\( α, β\), et les nombres réels\( γ\) positifs.

    a. Déterminez le volume du parallélépipède avec les côtés adjacents\( \vecd{OA}, \vecd{OB},\) et\( \vecd{OC}\).

    b. Déterminez le volume du tétraèdre avec les sommets\( O,A,B,\) et\( C\). (Conseil : le volume du tétraèdre correspond\( 1/6\) au volume du parallélépipède.)

    c. Trouvez la distance entre l'origine et le plan déterminée par\( A,B,\) et\( C\). Esquissez le parallélépipède et le tétraèdre.

    39) Soyons\( u,v,\) des\( w\) vecteurs tridimensionnels et\(c\) soyez un nombre réel. Prouvez les propriétés suivantes du produit croisé.

    un.\(\vecs u×\vecs u=\vecs 0\)

    b.\(\vecs u×(\vecs v+\vecs w)=(\vecs u×\vecs v)+(\vecs u×\vecs w)\)

    c.\( c(\vecs u×\vecs v)=(c\vecs u)×\vecs v=\vecs u×(c\vecs v)\)

    d.\( \vecs u⋅(\vecs u×\vecs v)=\vecs 0\)

    40) Montrez ces vecteurs\(\vecs u=⟨1,0,−8⟩,\,\vecs v=⟨0,1,6⟩\) et\(\vecs w=⟨−1,9,3⟩\) satisfaites aux propriétés suivantes du produit croisé.

    un.\(\vecs u×\vecs u=\vecs 0\)

    b.\(\vecs u×(\vecs v+\vecs w)=(\vecs u×\vecs v)+(\vecs u×\vecs w)\)

    c.\( c(\vecs u×\vecs v)=(c\vecs u)×\vecs v=\vecs u×(c\vecs v)\)

    d.\(\vecs u⋅(\vecs u×\vecs v)=\vecs 0\)

    41) Vecteurs non nuls\(\vecs u,\,\vecs v\), et\(\vecs w\) sont considérés comme dépendant linéairement si l'un des vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres. Par exemple, il existe deux nombres réels non nuls\( α\) et\( β\) tels que\(\vecs w=α\vecs u+β\vecs v\). Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement indépendants. Montrez cela\(\vecs u,\vecs v\) et\(\vecs w\) pourraient être placés sur le même plan si et seulement s'ils sont dépendants de manière linéaire.

    42) Considérez les vecteurs\(\vecs u=⟨1,4,−7⟩,\,\vecs v=⟨2,−1,4⟩,\,\vecs w=⟨0,−9,18⟩\), et\(\vecs p=⟨0,−9,17⟩.\)

    a. Montrez cela\(\vecs u,\,\vecs v\) et\(\vecs w\) peuvent être placés sur le même plan en utilisant leur produit scalaire triple

    b. Montrez cela\(\vecs u,\,\vecs v\) et\(\vecs w\) pouvez être placé sur le même plan en utilisant la définition qu'il existe deux nombres réels non nuls\( α\) et\( β\) tels que\( w=αu+βv.\)

    c. Montrez cela\(\vecs u,\,\vecs v\) et\(\vecs p\) sont linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'aucun des vecteurs n'est une combinaison linéaire des deux autres.

    43) Considérez les points\( A(0,0,2), B(1,0,2), C(1,1,2),\)\( \vecd{AB}, \vecd{AC},\) et\( D(0,1,2).\) les vecteurs sont-ils dépendants de manière\( \vecd{AD}\) linéaire (c'est-à-dire que l'un des vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres) ?

    Réponse
    Oui,\( \vecd{AD}=α\vecd{AB}+β\vecd{AC},\) où\( α=−1\) et\( β=1.\)

    44) Montrez que les vecteurs A\( \mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}, \mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j},\) et\( \mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}\) sont linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'il existe deux nombres réels non nuls\(α\) et\(β\) tels que\(\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}=α(\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j})+β(\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j}).\)

    45) Soyons\(\vecs u=⟨u_1,u_2⟩\)\(\vecs v=⟨v_1,v_2⟩\) des vecteurs bidimensionnels. Le produit croisé des vecteurs\(\vecs u\) et n'\(\vecs v\)est pas défini. Cependant, si les vecteurs sont considérés comme des vecteurs tridimensionnels\( \tilde{\vecs u}=⟨u_1,u_2,0⟩\) et\( \tilde{\vecs v}=⟨v_1,v_2,0⟩\), respectivement, alors, dans ce cas, nous pouvons définir le produit croisé de\( \tilde{\vecs u}\) et\( \tilde{\vecs v}\). En particulier, en notation déterminante, le produit croisé de\( \tilde{\vecs u}\) et\( \tilde{\vecs v}\) est donné par

    \( \tilde{\vecs u}×\tilde{\vecs v}=\begin{vmatrix}\mathbf{\hat i}&\mathbf{\hat j}&\mathbf{\hat k}\\u_1&u_2&0\\v_1&v_2&0\end{vmatrix}\).

    Utilisez ce résultat pour calculer\( (\cos θ\,\mathbf{\hat i}+\sin θ\,\mathbf{\hat j})×(\sin θ\,\mathbf{\hat i}−\cos θ\,\mathbf{\hat j}),\) où se\( θ\) trouve un nombre réel.

    Réponse
    \( −\mathbf{\hat k}\)

    46) Examinez les points\( P(2,1), Q(4,2),\) et\( R(1,2).\)

    a. Déterminez l'aire du triangle\( PQR\).

    b. Déterminez la distance entre le\( R\) point et la ligne passant par\( P\) et\( Q\).

    47) Déterminer un vecteur de magnitude\( 10\) perpendiculaire au plan passant par l'axe x et le point\( P(1,2,4).\)

    Réponse
    \( ⟨0,±4\sqrt{5},2\sqrt{5}⟩\)

    48) Déterminer un vecteur unitaire perpendiculaire au plan passant par l'axe z et le point\( A(3,1,−2).\)

    49)\(\vecs u\) Considérez\(\vecs v\) deux vecteurs tridimensionnels. Si l'amplitude du vecteur de produit croisé\(\vecs u×\vecs v\) est\( k\) plusieurs fois supérieure à la magnitude du vecteur\(\vecs u\), montrez que l'amplitude de\(\vecs v\) est supérieure ou égale à\( k\), où\( k\) est un entier naturel.

    50) [T] Supposons que les magnitudes de deux vecteurs\(\vecs u\) non nuls\(\vecs v\) soient connues. La fonction\( f(θ)=‖\vecs u‖‖\vecs v‖\sin θ\) définit l'amplitude du vecteur de produit croisé\(\vecs u×\vecs v,\) où\( θ∈[0,π]\) est l'angle entre\(\vecs u\) et\(\vecs v\).

    a. Représentez la fonction sous forme graphique\( f\).

    b. Détermine le minimum et le maximum absolus de la fonction\( f\). Interprétez les résultats.

    c. Si\( ‖\vecs u‖=5\) et\( ‖\vecs v‖=2\), trouvez l'angle entre\(\vecs u\) et\(\vecs v\) si l'amplitude de leur vecteur de produit croisé est égale à\( 9\).

    51) Trouvez tous les vecteurs\(\vecs w=⟨w_1,w_2,w_3⟩\) qui répondent à l'\( ⟨1,1,1⟩×\vecs w=⟨−1,−1,2⟩.\)équation Conseil : Vous devriez être capable d'écrire toutes les composantes de\(\vecs w\) en termes d'une des constantes\(w_1,w_2,\) ou\(w_3\).

    Réponse
    En écrivant toutes les composantes en termes de constante\(w_3\), une façon de représenter ces vecteurs est la suivante :\(\vecs w=⟨w_3−1,w_3+1,w_3⟩,\) où\( w_3\) est un nombre réel.
    Notez que nous pouvons utiliser n'importe quel paramètre ici. Nous pourrions régler\(w_3 = a\). \(\vecs w=⟨a−1,a+1,a⟩\)Représenterait alors également ces vecteurs.

    52) Résolvez l'équation\(\vecs w×⟨1,0,−1⟩=⟨3,0,3⟩,\) où\(\vecs w=⟨w_1,w_2,w_3⟩\) est un vecteur non nul d'une magnitude de\( 3\).

    53) [T] Un mécanicien utilise une clé de 12 pouces pour faire tourner un boulon. La clé fait un\( 30°\) angle avec l'horizontale. Si le mécanicien applique une force verticale de\( 10\) lb sur le manche de la clé, quelle est l'amplitude du couple au point\( P\) (voir la figure suivante) ? Exprimez la réponse en pieds-livres arrondis à la deuxième décimale.

    Réponse
    8,66 pieds-livres

    54) [T] Un garçon freine une bicyclette en appliquant une force de 20 livres vers le bas sur la pédale lorsque la manivelle de 6 pouces forme un\( 40°\) angle avec l'horizontale (voir la figure suivante). Trouvez le couple au point\( P\). Exprimez votre réponse en pieds-livres arrondis à la deuxième décimale.

    55) [T] Déterminez l'amplitude de la force qui doit être appliquée à l'extrémité d'une clé de 20 cm située dans la direction positive de l'\(y\)axe y si la force est appliquée dans cette direction\( ⟨0,1,−2⟩\) et qu'elle produit un couple\( 100\) N·m sur le boulon situé à l'origine.

    Réponse
    \(250\sqrt{5}\)N\(\approx 559\) N

    56) [T] Quelle est l'ampleur de la force à appliquer à l'extrémité d'une clé de 1 pied à un angle de\( 35°\) pour produire un couple de\( 20\) N·m ?

    57) [T] Le vecteur de force\(\vecs F\) agissant sur un proton avec une charge électrique de\( 1.6×10^{−19}\,C\) (en coulombs) se déplaçant dans un champ magnétique\(\vecs B\) où le vecteur de vitesse\(\vecs v\) est donné par\(\vecs F=1.6×10^{−19}(\vecs v×\vecs B)\) (ici,\(\vecs v\) est exprimé en mètres par seconde,\(\vecs B\) est en tesla [T], et\(\vecs F\) est dans newtons [N]). Détermine la force qui agit sur un proton qui se déplace dans le\(xy\) plan à une vitesse\(\vecs v=10^5\mathbf{\hat i}+10^5\mathbf{\hat j}\) (en mètres par seconde) dans un champ magnétique donné par\(\vecs B=0.3\mathbf{\hat j}\).

    Réponse
    \(\vecs F=4.8×10^{−15}\,kN\)

    58) [T] Le vecteur de force\(\vecs F\) agissant sur un proton avec une charge électrique de\( 1.6×10^{−19}\,C\) déplacement dans un champ magnétique\(\vecs B\) où le vecteur de vitesse\(\vecs v\) est donné par\(\vecs F=1.6×10^{−19}(\vecs v×\vecs B)\) (ici,\(\vecs v\) est exprimé en mètres par seconde\( T\),\(\vecs B\) en et\(\vecs F\) en in\( N\)). Si l'amplitude de la force\(\vecs F\) agissant sur un proton est\( 5.9×10^{−17}\,N\) et que le proton se déplace à la vitesse de 300 m/sec dans un champ magnétique\(\vecs B\) de magnitude 2,4 T, déterminez l'angle entre le vecteur\(\vecs v\) de vitesse du proton et le champ magnétique\(\vecs B\). Exprime la réponse en degrés arrondis à l'entier le plus proche.

    59) [T] Considérez\(\vecs r(t)=⟨\cos t,\,\sin t,\,2t⟩\) le vecteur de position d'une particule à la fois\( t∈[0,30]\), où les composantes de\(\vecs r\) sont exprimées en centimètres et le temps en secondes. \( \vecd{OP}\)Soit le vecteur de position de la particule après une\( 1\) seconde.

    a. Déterminez le vecteur unitaire\(\vecs B(t)\) (appelé vecteur unitaire binormal) qui possède la direction du vecteur de produit croisé\(\vecs v(t)×\vecs a(t),\) où\(\vecs v(t)\) et\(\vecs a(t)\) sont le vecteur de vitesse instantanée et, respectivement, le vecteur d'accélération de la particule après\( t\) quelques secondes.

    b. Utilisez un CAS pour visualiser les vecteurs\(\vecs v(1),\,\vecs a(1)\), et en\(\vecs B(1)\) tant que vecteurs partant d'un point situé\( P\) le long de la trajectoire de la particule.

    Réponse

    un.\(\vecs B(t)=⟨\frac{2\sqrt{5}\sin t}{5},−\frac{2\sqrt{5}\cos t}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}⟩;\)

    b.

    60) Un panneau solaire est monté sur le toit d'une maison. Le panneau peut être considéré comme étant positionné aux points de coordonnées (en mètres)\( A(8,0,0), B(8,18,0), C(0,18,8),\) et\( D(0,0,8)\) (voir la figure suivante).

    a. Trouvez un vecteur\(\vecs n=\vecd{AB}×\vecd{AD}\) perpendiculaire à la surface des panneaux solaires. Exprimez la réponse à l'aide de vecteurs unitaires standard. Notez que la magnitude de ce vecteur doit nous donner l'aire du rectangle\(ABCD\).

    b. Supposons que le vecteur unitaire\(\vecs s=\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{\hat k}\) pointe vers le Soleil à un moment donné de la journée et que le flux d'énergie solaire est de\(\vecs F=900\vecs s\) (en watts par mètre carré [\( W/m^2\)]). Déterminez la quantité d'énergie électrique prévue que le panneau peut produire, qui est donnée par le produit scalaire des vecteurs\(\vecs F\) et\(\vecs n\) (exprimée en watts).

    c. Déterminez l'angle d'élévation du Soleil au-dessus du panneau solaire. Exprime la réponse en degrés arrondis au nombre entier le plus proche. (Conseil : L'angle entre les vecteurs\(\vecs n\)\(\vecs s\) et l'angle d'élévation sont complémentaires.)