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12.3E : Exercices pour la section 12.3

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    197128
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Pour les exercices 1 à 4, les vecteurs\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\) sont donnés. Calculez le produit scalaire\(\vecs{u}\cdot\vecs{v}\).

    1)\(\quad \vecs{u}=⟨3,0⟩, \quad \vecs{v}=⟨2,2⟩\)

    Réponse
    \(\vecs{u}\cdot\vecs{v}=6\)

    2)\(\quad \vecs{u}=⟨3,−4⟩, \quad \vecs{v}=⟨4,3⟩\)

    3)\(\quad \vecs{u}=⟨2,2,−1⟩, \quad \vecs{v}=⟨−1,2,2⟩\)

    Réponse
    \(\vecs{u}\cdot\vecs{v}=0\)

    4)\(\quad \vecs{u}=⟨4,5,−6⟩, \quad \vecs{v}=⟨0,−2,−3⟩\)

    Pour les exercices 5 à 8, les vecteurs\(\vecs{a}, \,\vecs{b}\), et\(\vecs{c}\) sont donnés. Déterminez les vecteurs\((\vecs{a}\cdot\vecs{b})\vecs{c}\) et\((\vecs{a}⋅\vecs{c})\vecs{b}.\) exprimez les vecteurs sous forme de composants.

    5)\(\quad \vecs{a}=⟨2,0,−3⟩, \quad \vecs{b}=⟨−4,−7,1⟩, \quad \vecs{c}=⟨1,1,−1⟩\)

    Réponse
    \( (\vecs a⋅\vecs b)\vecs c=⟨−11,−11,11⟩; (\vecs a⋅\vecs c)\vecs b=⟨−20,−35,5⟩\)

    6)\(\quad \vecs{a}=⟨0,1,2⟩, \quad \vecs{b}=⟨−1,0,1⟩, \quad \vecs{c}=⟨1,0,−1⟩\)

    7)\(\quad \vecs{a}=\mathbf{\hat i} +\mathbf{\hat j} , \quad \vecs{b}=\mathbf{\hat i} −\mathbf{\hat k} , \quad \vecs{c}=\mathbf{\hat i} −2\mathbf{\hat k} \)

    Réponse
    \( (\vecs a⋅\vecs b)\vecs c=⟨1,0,−2⟩; (\vecs a⋅\vecs c)\vecs b=⟨1,0,−1⟩\)

    8)\(\quad \vecs{a}=\mathbf{\hat i} −\mathbf{\hat j} +\mathbf{\hat k} , \quad \vecs{b}=\mathbf{\hat j} +3\mathbf{\hat k} , \quad \vecs{c}=−\mathbf{\hat i} +2\mathbf{\hat j} −4\mathbf{\hat k} \)

    Pour les exercices 9 à 12, deux vecteurs sont donnés.

    a. Détermine la mesure de l'angle\(θ\) entre ces deux vecteurs. Exprime la réponse en radians arrondis à deux décimales, s'il n'est pas possible de l'exprimer exactement.

    b. Est-ce\(θ\) un angle aigu ?

    9) [T]\(\quad \vecs{a}=⟨3,−1⟩, \quad \vecs{b}=⟨−4,0⟩\)

    Réponse
    \( a. θ=2.82\)Rad ; n'\( b. θ\)est pas aigu.

    10) [T]\(\quad \vecs{a}=⟨2,1⟩, \quad \vecs{b}=⟨−1,3⟩\)

    11)\(\quad \vecs{u}=3\mathbf{\hat i}, \quad \vecs{v}=4\mathbf{\hat i} +4\mathbf{\hat j} \)

    Réponse
    \( a. θ=\frac{π}{4}\)Rad ;\( b. θ\) est aigu.

    (12)\(\quad \vecs{u}=5\mathbf{\hat i}, \quad \vecs{v}=−6\mathbf{\hat i} +6\mathbf{\hat j} \)

    Pour les exercices 13 à 18, trouvez la mesure de l'angle entre les vecteurs tridimensionnels\(\vecs{a}\) et\(\vecs{b}\). Exprime la réponse en radians arrondis à deux décimales, s'il n'est pas possible de l'exprimer exactement.

    13)\(\quad \vecs{a}=⟨3,−1,2⟩, \quad \vecs{b}=⟨1,−1,−2⟩\)

    Réponse
    \( θ=\frac{π}{2}\)

    (14)\(\quad \vecs{a}=⟨0,−1,−3⟩, \quad \vecs{b}=⟨2,3,−1⟩\)

    15)\(\quad \vecs{a}=\mathbf{\hat i} +\mathbf{\hat j} , \quad \vecs{b}=\mathbf{\hat j} −\mathbf{\hat k} \)

    Réponse
    \( θ=\frac{π}{3}\)

    16)\(\quad \vecs{a}=\mathbf{\hat i} −2\mathbf{\hat j} +\mathbf{\hat k} , \quad \vecs{b}=\mathbf{\hat i} +\mathbf{\hat j} −2\mathbf{\hat k} \)

    17) [T]\(\quad \vecs{a}=3\mathbf{\hat i} −\mathbf{\hat j} −2\mathbf{\hat k} , \quad \vecs{b}=\vecs v+\vecs w,\)\(\quad \vecs{v}=−2\mathbf{\hat i} −3\mathbf{\hat j} +2\mathbf{\hat k} \) et\(\vecs{w}=\mathbf{\hat i} +2\mathbf{\hat k} \)

    Réponse
    \( θ=2\)rad

    18) [T]\(\quad \vecs{a}=3\mathbf{\hat i} −\mathbf{\hat j} +2\mathbf{\hat k} , \quad \vecs{b}=\vecs v−\vecs w,\)\(\quad \vecs{v}=2\mathbf{\hat i} +\mathbf{\hat j} +4\mathbf{\hat k} \) et\(\vecs{w}=6\mathbf{\hat i} +\mathbf{\hat j} +2\mathbf{\hat k} \)

    Pour les exercices 19 à 22, déterminez si les vecteurs donnés sont orthogonaux.

    19)\(\quad \vecs{a}=⟨x,y⟩, \quad \vecs{b}=⟨−y, x⟩\), où\(x\) et\(y\) sont des nombres réels non nuls

    Réponse
    Orthogonal

    20)\(\quad \vecs{a}=⟨x, x⟩, \quad \vecs{b}=⟨−y, y⟩\), où\(x\) et\(y\) sont des nombres réels non nuls

    (21)\(\quad \vecs{a}=3\mathbf{\hat i} −\mathbf{\hat j} −2\mathbf{\hat k} , \quad \vecs{b}=−2\mathbf{\hat i} −3\mathbf{\hat j} +\mathbf{\hat k} \)

    Réponse
    Non orthogonal

    22)\(\quad \vecs{a}=\mathbf{\hat i} −\mathbf{\hat j} , \quad \vecs{b}=7\mathbf{\hat i} +2\mathbf{\hat j} −\mathbf{\hat k} \)

    23) Trouvez tous les vecteurs bidimensionnels\(\vecs a\) orthogonaux au vecteur\( \vecs b=⟨3,4⟩.\) Exprimez la réponse sous forme de composant.

    Réponse
    \( \vecs a=⟨−\frac{4α}{3},α⟩,\)\( α≠0\) est un vrai nombre

    24) Trouvez tous les vecteurs bidimensionnels\( \vecs a\) orthogonaux au vecteur\( \vecs b=⟨5,−6⟩.\) Exprimez la réponse en utilisant des vecteurs unitaires standard.

    25) Déterminez tous les vecteurs tridimensionnels\( \vecs u\) orthogonaux au vecteur\( \vecs v=⟨1,1,0⟩.\) Exprimez la réponse en utilisant des vecteurs unitaires standard.

    Réponse
    \( \vecs u=−α\mathbf{\hat i} +α\mathbf{\hat j} +β\mathbf{\hat k} ,\)\( α\) et\( β\) sont des nombres réels tels que\( α^2+β^2≠0\)

    26) Déterminez tous les vecteurs tridimensionnels\(\vecs u\) orthogonaux au vecteur\(\vecs v=\mathbf{\hat i} −\mathbf{\hat j} −\mathbf{\hat k} \). Exprimez la réponse sous forme de composant.

    27) Déterminez le nombre réel de\(α\) telle sorte que les vecteurs\(\vecs a=2\mathbf{\hat i} +3\mathbf{\hat j} \) et\(\vecs b=9\mathbf{\hat i} +α\mathbf{\hat j} \) soient orthogonaux.

    Réponse
    \(α=−6\)

    28) Déterminez le nombre réel de\(α\) telle sorte que les vecteurs\(\vecs a=−3\mathbf{\hat i} +2\mathbf{\hat j} \) et\(\vecs b=2\mathbf{\hat i} +α\mathbf{\hat j} \) soient orthogonaux.

    29) [T] Considérez les points\(P(4,5)\) et\(Q(5,−7)\) notez qui\(O\) représente l'origine.

    a. Déterminer les vecteurs\(\vecd{OP}\) et\(\vecd{OQ}\). Exprimez la réponse à l'aide de vecteurs unitaires standard.

    b. Déterminez la mesure de l'angle\(O\) dans un triangle\(OPQ\). Exprime la réponse en degrés arrondis à la deuxième décimale.

    Réponse
    \(a. \vecd{OP}=4\mathbf{\hat i} +5\mathbf{\hat j} , \quad \vecd{OQ}=5\mathbf{\hat i} −7\mathbf{\hat j} ; \quad b. 105.8°\)

    30) [T] Considérez les points\( A(1,1), B(2,−7),\) et\(C(6,3)\).

    a. Déterminer les vecteurs\( \vecd{BA}\) et\(\vecd{BC}\). Exprimez la réponse sous forme de composant.

    b. Déterminez la mesure de l'angle\(B\) dans un triangle\(ABC\). Exprime la réponse en degrés arrondis à la deuxième décimale.

    31) Déterminez la mesure de l'angle\(A\) en triangle\(ABC\), où\(A(1,1,8), B(4,−3,−4),\) et\(C(−3,1,5).\) exprimez votre réponse en degrés arrondis à deux décimales.

    Réponse
    \(68.33°\)

    32) Considérez les points\(P(3,7,−2)\) et\(Q(1,1,−3).\) déterminez l'angle entre les vecteurs\(\vecd{OP}\) et\(\vecd{OQ}\). [N'oubliez pas que cela\(O\) représente l'origine.] Exprime la réponse en degrés arrondis à la deuxième décimale.

    Pour les exercices 33 à 34, déterminez quelles paires (le cas échéant) des vecteurs suivants sont orthogonales.

    33)\(\quad\vecs u=⟨3,7,−2⟩, \quad \vecs v=⟨5,−3,−3⟩, \quad \vecs w=⟨0,1,−1⟩\)

    Réponse
    \(\vecs u\)et\(\vecs v\) sont orthogonaux ;\(\vecs v\) et\(\vecs w\) sont orthogonaux, mais\(\vecs u\) et ne\(\vecs w\) sont pas orthogonaux.

    34)\(\quad\vecs u=\mathbf{\hat i} −\mathbf{\hat k} , \quad \vecs v=5\mathbf{\hat j} −5\mathbf{\hat k} , \quad \vecs w=10\mathbf{\hat j} \)

    35) Utilisez des vecteurs pour montrer qu'un parallélogramme avec des diagonales égales est un rectangle.

    36) Utilisez des vecteurs pour montrer que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

    37) Montrez que\(\vecs u⋅(\vecs v+\vecs w)=\vecs u⋅\vecs v+\vecs u⋅\vecs w\) c'est vrai pour tous les vecteurs\(\vecs u, \vecs v\), et\(\vecs w\).

    38) Vérifiez l'identité\(\vecs u⋅(\vecs v+\vecs w)=\vecs u⋅\vecs v+\vecs u⋅\vecs w\) des vecteurs\(\vecs u=⟨1,0,4⟩, \vecs v=⟨−2,3,5⟩,\) et\(\vecs w=⟨4,−2,6⟩\).

    Pour les exercices 39 à 41, déterminez\(\vecs u\cdot\vecs v\) en utilisant les informations données.

    39)\(\quad\|\vecs u\| = 5\)\(\quad\|\vecs v\| = 3\), et l'angle entre\(\vecs u\) et\(\vecs v\) est\(\pi/6\) nul.

    Réponse
    \(\vecs u \cdot \vecs v = (5)(3)\cos \frac{\pi}{6} = 15\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2} \)

    40)\(\quad\|\vecs u\| = 20\)\(\quad\|\vecs v\| = 15\), et l'angle entre\(\vecs u\) et\(\vecs v\) est\(5\pi/4\) nul.

    41)\(\quad\|\vecs u\| = 7\)\(\quad\|\vecs v\| = 12\), et l'angle entre\(\vecs u\) et\(\vecs v\) est\(\pi/2\) nul.

    Réponse
    \(\vecs u \cdot \vecs v = (7)(12)\cos \frac{\pi}{2} = 84\cdot0 = 0 \)

    42) Compte tenu de la définition du produit scalaire\(\vecs u\cdot\vecs v = \|\vecs u\|\|\vecs v\|\cos \theta\), où\(\theta\) est l'angle entre\(\vecs u\) et\(\vecs v\), que pouvez-vous dire de l'angle\(\theta\) entre deux vecteurs non nuls\(\vecs u\) et\(\vecs v\) si :

    un.\(\quad\vecs u \cdot \vecs v > 0\) ?

    b.\(\quad\vecs u \cdot \vecs v < 0\) ?

    c.\(\quad\vecs u \cdot \vecs v = 0\) ?

    Dans les exercices 43 à 45, on vous donne les sommets d'un triangle. Utilisez des produits scalaires pour déterminer si chaque triangle est aigu, obtus ou droit.

    43)\(\quad (2, 3, 0), \, (3, 1, -2), \, (-1, 4, 5)\)

    Réponse
    Étiquetez les points\(P\),\(Q\) et\(R\). Déterminez ensuite les vecteurs\(\vecd{PQ}\) et\(\vecd{PR}\).
    Ici, nous voyons que, si\(P = (2, 3, 0), \, Q = (3, 1, -2)\) et\(R = (-1, 4, 5)\), donc, nous avons\(\vecd{PQ} = <1,-2,-2>\) et\(\vecd{PR} = <-3,1,5>\).
    Alors\(\vecd{PQ} \cdot \vecd{PR} = -15 < 0\), l'angle\(QPR\) est obtus. Ce triangle doit donc être un triangle obtus.

    44)\(\quad (5, 1, 0), \, (7, 1, 1), \, (6, 3, 2)\)

    45)\(\quad (6, 1, 4), \, (3, 2, -1), \, (2, 3, 1)\)

    Solution :
    Étiquetez les points\(P\),\(Q\) et\(R\). Déterminez ensuite les vecteurs\(\vecd{PQ}\) et\(\vecd{PR}\).
    Ici, nous voyons que, si\(P = (6, 1, 4), \, Q = (3, 2, -1)\) et\(R = (2, 3, 1)\), donc, nous avons\(\vecd{PQ} = <-3,1,-5>\) et\(\vecd{PR} = <-4,2,-3>\).
    Alors\(\vecd{PQ} \cdot \vecd{PR} = 29 > 0\), l'angle\(QPR\) est aigu. Ce triangle peut toujours être de l'un des trois types, nous devons donc vérifier un autre angle.
    Compte tenu de l'angle\(PQR\) que nous trouvons\(\vecd{QP} = <3,-1,5>\) et\(\vecd{QR} = <-1,1,2>\)\(\vecd{QP} \cdot \vecd{QR} = 6 > 0\), par conséquent, montrer l'angle\(PQR\) est également aigu.
    Nous devons ensuite vérifier le troisième angle pour déterminer s'il s'agit d'un triangle droit ou d'un triangle aigu.
    Pour vérifier l'angle\(\vecd{RQ} = <1,-1,-2>\),\(PRQ\) nous trouvons\(\vecd{RP} = <4,-2,3>\) et nous donnons\(\vecd{RP} \cdot \vecd{RQ} = 0\). L'angle\(PRQ\) est donc un angle droit.
    Ce triangle est donc un triangle droit.

    46) Lesquelles des opérations suivantes sont autorisées pour les vecteurs non nuls\(\vecs u\)\(\vecs v\)\(\vecs w\), et lesquelles ne le sont pas. Expliquez votre raisonnement.

    a.\(\vecs u + \left(\vecs v \cdot \vecs w\right)\) b.\(\left(\vecs u \cdot \vecs v\right) \cdot \vecs w\) c.\(\left(\vecs u \cdot \vecs v\right) \vecs w\)
    d.\(\left(\vecs u + \vecs v\right) \cdot \vecs w\) e.\(\left(\vecs u + \vecs v\right) \cdot \|\vecs w\|\) f.\(\|\vecs u + \vecs v\| \|\vecs w\|\)

    Des projections

    Pour les exercices 47-50, avec les vecteurs\(\vecs u\) et\(\vecs v\) :

    a. Trouvez la projection vectorielle\(\text{Proj}_\vecs{u}\vecs v\) d'un vecteur\(\vecs v\) sur un vecteur\(\vecs u\) et\(\vecs v\) dont la composante est orthogonale à\(\vecs u\), c'est-à-dire\(\vecs v_\text{perp}\). Exprimez vos réponses sous forme de composants.

    b. Détermine la projection scalaire\(\text{comp}_\vecs{u}\vecs v = \| \text{Proj}_\vecs{u}\vecs v \|\) d'un vecteur\(\vecs v\) sur un vecteur\(\vecs u\).

    c. Trouvez la projection vectorielle\(\text{Proj}_\vecs{v}\vecs u\) d'un vecteur\(\vecs u\) sur un vecteur\(\vecs v\) et\(\vecs u\) dont la composante est orthogonale à\(\vecs v\), c'est-à-dire\(\vecs u_\text{perp}\). Exprimez vos réponses sous forme vectorielle unitaire.

    d. Détermine la projection scalaire\(\text{comp}_\vecs{v}\vecs u\) d'un vecteur\(\vecs u\) sur un vecteur\(\vecs v\).

    47)\(\quad\vecs u=5\mathbf{\hat i} +2\mathbf{\hat j} , \quad \vecs v=2\mathbf{\hat i} +3\mathbf{\hat j} \)

    Réponse
    a.\(\text{Proj}_\vecs{u}\vecs v =⟨\frac{80}{29},\frac{32}{29}⟩\) et\(\vecs v_\text{perp} = <-\frac{22}{29}, \frac{55}{29}>\) ; b.\(\text{comp}_\vecs{u}\vecs v=\frac{16}{\sqrt{29}} = \frac{16\sqrt{29}}{29};\)
    c.\(\text{Proj}_\vecs{v}\vecs u = \frac{32}{13}\mathbf{\hat i} + \frac{48}{13}\mathbf{\hat j} \) et\(\vecs u_\text{perp} = \frac{33}{13}\mathbf{\hat i} - \frac{22}{13}\mathbf{\hat j} \) d.\(\text{comp}_\vecs{v}\vecs u=\frac{16}{\sqrt{13}}=\frac{16\sqrt{13}}{13}\)

    48)\(\quad\vecs u=⟨−4,7⟩,\quad \vecs v=⟨3,5⟩\)

    49)\(\quad\vecs u=3\mathbf{\hat i} +2\mathbf{\hat k} , \quad \vecs v=2\mathbf{\hat j} +4\mathbf{\hat k} \)

    Réponse
    a.\(\text{Proj}_\vecs{u}\vecs v =⟨\frac{24}{13},0,\frac{16}{13}⟩\) et\(\vecs v_\text{perp} = <-\frac{24}{13}, 2, \frac{36}{13}>\) ; b.\(\text{comp}_\vecs{u}\vecs v=\frac{8}{\sqrt{13}}=\frac{8\sqrt{13}}{13}\)
    c.\(\text{Proj}_\vecs{v}\vecs u =\frac{4}{5}\mathbf{\hat j} + \frac{8}{5}\mathbf{\hat k} \) et\(\vecs u_\text{perp} = 3\mathbf{\hat i} - \frac{4}{5}\mathbf{\hat j} + \frac{2}{5}\mathbf{\hat k} \) d.\(\text{comp}_\vecs{v}\vecs u=\frac{\sqrt{80}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5};\)

    50)\(\quad\vecs u=⟨4,4,0⟩, \quad \vecs v=⟨0,4,1⟩\)

    51) Considérez les vecteurs\(\vecs u=4\mathbf{\hat i} −3\mathbf{\hat j} \) et\(\vecs v=3\mathbf{\hat i} +2\mathbf{\hat j} .\)

    a. Trouvez la forme constitutive du vecteur\(\text{Proj}_\vecs{u}\vecs v\) qui représente la projection de\(\vecs v\) sur\(\vecs u\).

    b. Écrivez la décomposition\(\vecs v=\vecs w+\vecs q\) du vecteur\(\vecs v\) en composantes orthogonales\(\vecs w\) et\(\vecs q\), où\(\vecs w\) est la\(\vecs v\) projection sur\(\vecs u\) et\(\vecs q\) est la composante vectorielle\(\vecs v\) orthogonale à la direction de\(\vecs u\). C'est-à-dire,\( \vecs q = \vecs v_\text{perp}\).

    Réponse
    a.\(\text{Proj}_\vecs{u}\vecs v=⟨\frac{24}{25},−\frac{18}{25}⟩\) ; b.\(\vecs q = \vecs v_\text{perp} =⟨\frac{51}{25},\frac{68}{25}⟩\), Nous avons
    \(\vecs v =\vecs w+\vecs q= \text{Proj}_\vecs{u}\vecs v + \vecs v_\text{perp} =⟨\frac{24}{25},−\frac{18}{25}⟩+⟨\frac{51}{25},\frac{68}{25}⟩\)
    donc cela,\(\vecs v = ⟨\frac{24}{25},−\frac{18}{25}⟩+⟨\frac{51}{25},\frac{68}{25}⟩\).

    52) Considérez les vecteurs\(\vecs u=2\mathbf{\hat i} +4\mathbf{\hat j} \) et\(\vecs v=4\mathbf{\hat j} +2\mathbf{\hat k} .\)

    a. Trouvez la forme constitutive du vecteur\(\vecs w=\text{Proj}_\vecs{u}\vecs v\) qui représente la projection de\(\vecs v\) sur\(\vecs u\).

    b. Écrivez la décomposition\(\vecs v=\vecs w+\vecs q\) du vecteur\(\vecs v\) en composantes orthogonales\(\vecs w\) et\(\vecs q\), où\(\vecs w\) est la\(\vecs v\) projection sur\(\vecs u\) et\(\vecs q\) est un vecteur orthogonal à la direction de\(\vecs u\).

    53) Un camion\(50,000\) d'une livre est garé sur une colline avec une\(5°\) pente au-dessus de l'horizontale (dans le\(x\) sens positif). En ne tenant compte que de la force due à la gravité, trouvez

    a. la composante du poids du camion qui tire le camion vers le bas de la colline (alignée sur la route)

    b. la composante du poids du camion qui est perpendiculaire à la route.

    c. l'ampleur de la force nécessaire pour empêcher le camion de dévaler la colline

    d. l'ampleur de la force perpendiculaire à la route.

    Solution :
    \(\vecs F\)Soit la force due à la gravité sur le camion (son poids) et\(\vecs r\) soit le vecteur unitaire pointant vers le haut de la colline vers la droite.

    Alors
    a. la composante du poids du camion qui tire le camion vers le bas de la colline est\(\text{Proj}_\vecs{r}\vecs F\).
    Maintenant\(\vecs F = -50,000\mathbf{\hat j} \quad\text{and}\quad \vecs r = \cos 5°\,\mathbf{\hat i} + \sin 5°\,\mathbf{\hat j} \) et\(\vecs F\cdot\vecs r = -50,000\sin 5° \approx -4357.78714\)
    notez que\(\|\vecs r\| = 1\).
    Ensuite :\(\quad\,\text{Proj}_\vecs{r}\vecs F = \left(\frac{\vecs F\cdot\vecs r}{\|\vecs r\|^2}\right)\vecs r \quad = \left(-50,000\sin 5°\right)\vecs r \quad=\quad -50000\sin 5° \cos 5° \,\mathbf{\hat i} - 50000\sin^2 5° \,\mathbf{\hat j} \).
    En utilisant l'identité\(\sin 2\theta = 2\cos \theta \sin \theta\), nous pouvons simplifier cela comme suit
    \(\text{Proj}_\vecs{r}\vecs F = -25000\sin 10° \,\mathbf{\hat i} - 50000\sin^2 5°\, \mathbf{\hat j} \quad\approx\quad -4341.2\,\mathbf{\hat i} - 379.8\,\mathbf{\hat j} \) :

    b. la composante du poids du camion qui est perpendiculaire à la route est\(\vecs F_\text{perp}\).
    Puisque nous le savons\(\vecs F = \text{Proj}_\vecs{r}\vecs F+\vecs F_\text{perp}\), nous l'avons\(\vecs F_\text{perp} = \vecs F - \text{Proj}_\vecs{r}\vecs F\).
    Donc\(\quad \vecs F_\text{perp} = -50000\mathbf{\hat j} - \left( -25000\sin 10° \,\mathbf{\hat i} - 50000\sin^2 5°\, \mathbf{\hat j} \right)\)
    \(= 25000\sin 10° \,\mathbf{\hat i} + \left(50000\sin^2 5° - 50000\right)\mathbf{\hat j} = 25000\sin 10° \,\mathbf{\hat i} - 50000\cos^2 5° \,\mathbf{\hat j} \quad\approx\quad 4341.2\,\mathbf{\hat i} - 49620.2\,\mathbf{\hat j} \).

    c. l'amplitude de la force nécessaire pour empêcher le camion de dévaler la colline est de\(\| \text{Proj}_\vecs{r}\vecs F \| = 50,000\sin 5°\) livres\(\approx 4357.8\) livres. Notez que cette force est en fait la valeur négative du vecteur de projection, mais que son amplitude est la même.

    d. l'amplitude du poids du camion perpendiculaire à la route est en\( \| \vecs F_\text{perp} \| \approx 49809.7\) livres.

    54) Étant donné les vecteurs\(\vecs u\) et\(\vecs v\) illustrés dans chaque diagramme ci-dessous, dessinez\(\text{Proj}_\vecs{v}\vecs u\) et\( \vecs u_\text{perp} \).

    acuteAngle.pngobtuseAngle.png

    Travail

    55) Déterminez le travail effectué par la force\(\vecs F=⟨5,6,−2⟩\) (mesuré en newtons) qui déplace une particule d'un point\(P(3,−1,0)\) à un autre\(Q(2,3,1)\) le long d'une ligne droite (la distance est mesurée en mètres).

    Réponse
    \(17\,\text{N⋅m}\)

    56) [T] Un traîneau est tiré en exerçant une force de 100 N sur une corde formant un angle égal\(25°\) à l'horizontale. Déterminez le travail effectué en tirant le traîneau de 40 m. (arrondissez la réponse à une décimale.)

    57) [T] Un père tire son fils sur un traîneau incliné par rapport à l'horizontale avec une force de 25 livres (voir l'image suivante).\(20°\) Il tire le traîneau sur une trajectoire droite de 50 pieds. Combien de travail a été effectué par l'homme qui tirait le traîneau ? (Arrondissez la réponse à l'entier le plus proche.)

    Réponse
    175 pi⋅lb

    58) [T] Une voiture est remorquée à l'aide d'une force de 1600 N. La corde utilisée pour tirer la voiture fait un angle de 25° avec l'horizontale. Trouvez le travail effectué en remorquant la voiture sur 2 km. Exprime la réponse en joules (\(1\)J\(=1\) N⋅m) arrondis à l'entier le plus proche.

    59) [T] Un bateau navigue vers le nord aidé par un vent soufflant dans une direction\( N30°E\) d'une magnitude de 500 livres. Combien de travail le vent effectue-t-il lorsque le bateau se déplace à 100 pieds ? (Arrondissez la réponse à deux décimales.)

    Réponse
    \(25000\sqrt{3}\)ft-lbs\(\approx 43,301.27\) ft-lbs
    Solution :
    Vecteur représentant le vent :\(\vecs w = 500\cos 60^{\circ} \mathbf{\hat i} + 500\sin 60^{\circ} \mathbf{\hat j}\)
    Vecteur représentant le déplacement vers le nord :\(\vecs d = 100 \mathbf{\hat j}\)
    Travail effectué par le vent :\(W = \vecs w \cdot \vecs d = 25000\sqrt{3}\) ft-lbs\(\approx 43,301.27\) ft-lbs

    Autres applications du produit Dot

    60) [T] Trouvez les vecteurs qui joignent le centre d'une horloge aux heures 1h00, 2h00 et 3h00. Supposons que l'horloge soit circulaire avec un rayon de 1 unité.

    61) Une molécule de méthane possède un atome de carbone situé à l'origine et quatre atomes d'hydrogène situés aux points\(P(1,1,−1),Q(1,−1,1),R(−1,1,1),\) et\(S(−1,−1,−1)\) (voir figure).

    a. Détermine la distance entre les atomes d'hydrogène situés à\(P\) et\(R\).

    b. Déterminez l'angle entre les vecteurs\(\vecd{OS}\) et\(\vecd{OR}\) qui relient l'atome de carbone aux atomes d'hydrogène situés à\(S\) et\(R\), également appelé angle de liaison. Exprime la réponse en degrés arrondis à la deuxième décimale.

    Réponse
    \(a. 2\sqrt{2}; \quad b. 109.47°\)

    62) Le vecteur\(\vecs p=⟨150,225,375⟩\) représente le prix de certains modèles de vélos vendus par un magasin de vélos. Le vecteur\(\vecs n=⟨10,7,9⟩\) représente le nombre de vélos vendus pour chaque modèle, respectivement. Calculez le produit scalaire\(\vecs p⋅\vecs n\) et indiquez sa signification.

    63) [T] Deux forces\(\vecs F_1\) et\(\vecs F_2\) sont représentées par des vecteurs dont les points initiaux se trouvent à l'origine. La première force a une magnitude de 20 livres et passe par la pointe\(P(1,1,0)\). La deuxième force a une magnitude de 40 livres et passe par la pointe\(Q(0,1,1)\). \(\vecs F\)Soyons la force résultante des forces\(\vecs F_1\) et\(\vecs F_2\).

    a. Déterminez l'ampleur de\(\vecs F\). (Arrondissez la réponse à une décimale.)

    b. Déterminez les angles de direction de\(\vecs F\). (Exprimez la réponse en degrés arrondis à une décimale.)

    Réponse
    \( a. ∥\vecs F_1+\vecs F_2∥=52.9\)lb ; b. Les angles de direction sont\(α=74.5°,\,β=36.7°,\) et\( γ=57.7°.\)

    64) [T] Considérez\(\vecs r(t)=⟨\cos t,\sin t,2t⟩\) le vecteur de position d'une particule à la fois\(t∈[0,30]\), où les composantes de\(\vecs r\) sont exprimées en centimètres et le temps en secondes. \(\vecd{OP}\)Soit le vecteur de position de la particule après 1 sec.

    a. Montrez que tous les vecteurs\(\vecd{PQ}\), où se\(Q(x,y,z)\) trouve un point arbitraire, orthogonal au vecteur\(\vecs v(1)\) de vitesse instantanée de la particule après 1 seconde, peuvent être exprimés comme\( \vecd{PQ}=⟨x−\cos 1,y−\sin 1,z−2⟩\) suit :\(x\sin 1−y\cos 1−2z+4=0.\) L'ensemble de points\(Q\) décrit un plan appelé plan normal par rapport au trajectoire de la particule au point\(P\).

    b. Utilisez un CAS pour visualiser le vecteur de vitesse instantané et le plan normal au point\(P\) ainsi que la trajectoire de la particule.

    Contributeurs

    Template:ContribOpenStaxCalc

    Les problèmes 39-46 et 53 et 54 ont été créés par Paul Seeburger (Monroe Community College).
    La solution au problème 59 a également été ajoutée par Paul Seeburger.