12.3 : Le produit Dot

Objectifs d'apprentissage

• Calculez le produit scalaire de deux vecteurs donnés.
• Déterminez si deux vecteurs donnés sont perpendiculaires.
• Détermine la direction des cosinus d'un vecteur donné.
• Expliquez ce que signifie la projection vectorielle d'un vecteur sur un autre vecteur et décrivez comment la calculer.
• Calculez le travail effectué par une force donnée.

Si nous appliquons une force à un objet pour que l'objet se déplace, nous disons que le travail est effectué par la force. Auparavant, nous avons examiné une force constante et nous avons supposé que la force était appliquée dans le sens du mouvement de l'objet. Dans ces conditions, le travail peut être exprimé comme le produit de la force agissant sur un objet et de la distance parcourue par l'objet. Dans ce chapitre, cependant, nous avons vu que la force et le mouvement d'un objet peuvent être représentés par des vecteurs.

Dans cette section, nous développons une opération appelée produit scalaire, qui nous permet de calculer le travail dans le cas où le vecteur de force et le vecteur de mouvement ont des directions différentes. Le produit scalaire nous indique essentiellement la part du vecteur de force appliquée dans la direction du vecteur de mouvement. Le produit scalaire peut également nous aider à mesurer l'angle formé par une paire de vecteurs et la position d'un vecteur par rapport aux axes de coordonnées. Il fournit même un test simple pour déterminer si deux vecteurs se rencontrent à angle droit.

Le produit Dot et ses propriétés

Nous avons déjà appris comment additionner et soustraire des vecteurs. Dans ce chapitre, nous étudions deux types de multiplication vectorielle. Le premier type de multiplication vectorielle est appelé produit scalaire, selon la notation que nous utilisons pour cela, et il est défini comme suit :

Définition : produit scalaire

Le produit scalaire des vecteurs\(\vecs{ u}=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) et\(\vecs{ v}=⟨v_1,v_2,v_3⟩\) est donné par la somme des produits des composants

\[\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3. \nonumber \]

Notez que si\(u\) et\(v\) sont des vecteurs bidimensionnels, nous calculons le produit scalaire de la même manière. Ainsi, si\(\vecs{ u}=⟨u_1,u_2⟩\) et\(\vecs{ v}=⟨v_1,v_2⟩,\) alors

\[\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=u_1v_1+u_2v_2. \nonumber \]

Lorsque deux vecteurs sont combinés par addition ou soustraction, le résultat est un vecteur. Lorsque deux vecteurs sont combinés à l'aide du produit scalaire, le résultat est un scalaire. Pour cette raison, le produit scalaire est souvent appelé produit scalaire. Il peut également être appelé produit intérieur.

Exemple\(\PageIndex{1}\): Calculating Dot Products

1. Trouvez le produit scalaire de\(\vecs{ u}=⟨3,5,2⟩\) et\(\vecs{ v}=⟨−1,3,0⟩\).
2. Trouvez le produit scalaire de\(\vecs{ p}=10\hat{\textbf i}−4 \hat{\textbf j}+7 \hat{\textbf k}\) et\(\vecs{ q}=−2\hat{\textbf i}+\hat{\textbf j}+6\hat{\textbf k}.\)

Solution :

a. Substituez les composantes vectorielles dans la formule du produit scalaire :

\[ \begin{align*} \vecs{ u}⋅\vecs{ v} &=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 \\[4pt] &=3(−1)+5(3)+2(0) \\[4pt] &=−3+15+0 \\[4pt] &=12. \end{align*}\]

b. Le calcul est le même si les vecteurs sont écrits à l'aide de vecteurs unitaires standard. Nous avons encore trois composantes pour chaque vecteur à substituer dans la formule du produit scalaire :

\[ \begin{align*} \vecs{ p}⋅\vecs{ q} &=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3 \\[4pt] &=10(−2)+(−4)(1)+(7)(6) \\[4pt] &=−20−4+42 \\[4pt] &=18.\end{align*}\]

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Trouvez\(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}\), où\(\vecs{ u}=⟨2,9,−1⟩\) et\(\vecs{ v}=⟨−3,1,−4⟩.\)

Allusion

Multipliez les composants correspondants, puis ajoutez leurs produits.

Réponse

\(7\)

Tout comme l'addition et la soustraction de vecteurs, le produit scalaire possède plusieurs propriétés algébriques. Nous prouvons trois de ces propriétés et laissons le reste sous forme d'exercices.

Propriétés du produit Dot

Soit\(\vecs{ u}\)\(\vecs{ v}\), et\(\vecs{ w}\) soient des vecteurs, et\(c\) soit un scalaire.

1. Propriété commutative\[\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=\vecs{ v}⋅\vecs{ u} \nonumber \]
2. Propriété distributive\[\vecs{ u}⋅(\vecs{ v}+\vecs{ w})=\vecs{ u}⋅\vecs{ v}+\vecs{ u}⋅\vecs{ w} \nonumber \]
3. Propriété associative\[c(\vecs{ u}⋅\vecs{ v})=(c\vecs{ u})⋅\vecs{ v}=\vecs{ u}⋅(c\vecs{ v}) \nonumber \]
4. Propriété de magnitude\[\vecs{ v}⋅\vecs{ v}=\|\vecs{ v}\|^2 \nonumber \]

Une preuve

Laissez\(\vecs{ u}=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) et\(\vecs{ v}=⟨v_1,v_2,v_3⟩.\) puis

\[ \begin{align*} \vecs{ u}⋅\vecs{ v} &=⟨u_1,u_2,u_3⟩⋅⟨v_1,v_2,v_3⟩ \\[4pt] &=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 \\[4pt] &= v_1u_1+v_2u_2+v_3u_3 \\[4pt] &= ⟨v_1,v_2,v_3⟩⋅⟨u_1,u_2,u_3⟩ \\[4pt] &=\vecs{ v}⋅\vecs{ u}.\end{align*}\]

La propriété associative ressemble à la propriété associative pour la multiplication de nombres réels, mais faites très attention à la différence entre les objets scalaires et les objets vectoriels :

\[ \begin{align*} c(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}) &=c(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3) \\[4pt] &=c(u_1v_1)+c(u_2v_2)+c(u_3v_3) \\[4pt] &=(cu_1)v_1+(cu_2)v_2+(cu_3)v_3 \\[4pt] &=⟨cu_1,cu_2,cu_3⟩⋅⟨v_1,v_2,v_3⟩ \\[4pt] &=c⟨u_1,u_2,u_3⟩⋅⟨v_1,v_2,v_3⟩ \\[4pt] &=(c\vecs{ u})⋅\vecs{ v}.\end{align*}\]

La preuve qui\(c(\vecs{ u}⋅\vecs{ v})=\vecs{ u}⋅(c\vecs{ v})\) est similaire.

La quatrième propriété montre la relation entre l'amplitude d'un vecteur et son produit scalaire avec lui-même :

\[ \begin{align*} \vecs{ v}⋅\vecs{ v} &=⟨v_1,v_2,v_3⟩⋅⟨v_1,v_2,v_3⟩\\[4pt] &=(v_1)^2+(v_2)^2+(v_3)^2 \\[4pt] &=\left[\sqrt{(v_1)^2+(v_2)^2+(v_3)^2}\right]^2 \\[4pt] &=\|\vecs{ v}\|^2.\end{align*}\]

□

Notez que la définition du produit scalaire donne\(\vecs{ 0}⋅\vecs{ v}=0.\) By property iv.\(\vecs{ v}⋅\vecs{ v}=0,\) si\(\vecs{ v}=\vecs{ 0}.\)

Exemple\(\PageIndex{2}\): Using Properties of the Dot Product

Laissez\(\vecs{ a}=⟨1,2,−3⟩\)\(\vecs{ b}=⟨0,2,4⟩\), et\( \vecs{ c} =⟨5,−1,3⟩\).

Trouvez chacun des produits suivants.

1. \(( \vecs{ a} ⋅ \vecs{ b}) \vecs{ c} \)
2. \(\vecs{ a}⋅(2\vecs{ c})\)
3. \(\|\vecs{ b}\|^2\)

Solution

a. Notez que cette expression demande le multiple scalaire de\(\vecs{ c}\) by\(\vecs{ a}⋅\vecs{ b}\) :

\[ \begin{align*} (\vecs{ a}⋅\vecs{ b})\vecs{ c} &=(⟨1,2,−3⟩⋅⟨0,2,4⟩)⟨5,−1,3⟩ \\[4pt] &=(1(0)+2(2)+(−3)(4))⟨5,−1,3⟩ \\[4pt] &=−8⟨5,−1,3⟩ \\[4pt] &= ⟨−40,8,−24⟩.\end{align*}\]

b. Cette expression est un produit scalaire du vecteur\(\vecs{ a}\) et du multiple scalaire 2\(\vecs{ c}\) :

\[ \begin{align*} \vecs{ a}⋅(2\vecs{ c}) &=2(\vecs{ a}⋅\vecs{ c}) \\[4pt] &=2(⟨1,2,−3⟩⋅⟨5,−1,3⟩) \\[4pt] &=2(1(5)+2(−1)+(−3)(3)) \\[4pt] &=2(−6)=−12.\end{align*}\]

c. Pour simplifier cette expression, il suffit d'appliquer le produit scalaire :

\[ \begin{align*} \|\vecs{ b}\|^2 &=\vecs{ b}⋅\vecs{ b} \\[4pt] &=⟨0,2,4⟩⋅⟨0,2,4⟩\\[4pt] &=0^2+2^2+4^2\\[4pt] &=0+4+16\\[4pt] &=20.\end{align*}\]

Exercice\(\PageIndex{2}\)

Trouvez les produits suivants pour\(\vecs{ p}=⟨7,0,2⟩\)\(\vecs{ q}=⟨−2,2,−2⟩\), et\(\vecs{ r}=⟨0,2,−3⟩\).

1. \((\vecs{ r}⋅\vecs{ p})\vecs{ q}\)
2. \(\|\vecs{ p}\|^2\)

Allusion

\(\vecs{ r}⋅\vecs{ p}\)est un scalaire.

Réponse

\(a. \quad (\vecs{ r}⋅\vecs{ p})\vecs{ q}=⟨12,−12,12⟩; \quad b. \quad \|\vecs{ p}\|^2=53\)

Utilisation du produit scalaire pour déterminer l'angle entre deux vecteurs

Lorsque deux vecteurs non nuls sont placés en position standard, que ce soit en deux dimensions ou en trois dimensions, ils forment un angle entre eux (Figure\(\PageIndex{1}\)). Le produit scalaire permet de déterminer la mesure de cet angle. Cette propriété est le résultat du fait que nous pouvons exprimer le produit scalaire en termes de cosinus de l'angle formé par deux vecteurs.

Figure\(\PageIndex{1}\) :\(θ\) Soit l'angle entre deux vecteurs non nuls\(\vecs{ u}\) et\(\vecs{ v}\) tel que \(0≤θ≤π\).

Évaluation d'un produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs est le produit de la magnitude de chaque vecteur et du cosinus de l'angle qui les sépare :

\[\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ. \label{evaldot} \]

Une preuve

Placez\(\vecs{ u}\) les vecteurs et\(\vecs{ v}\) dans une position standard et considérez le vecteur\(\vecs{ v}−\vecs{ u}\) (Figure\(\PageIndex{2}\)). Ces trois vecteurs forment un triangle avec des longueurs latérales\(‖\vecs{ u}‖,‖\vecs{ v}‖\), et\(‖\vecs{ v}−\vecs{ u}‖\).

Figure\(\PageIndex{2}\) : Les longueurs des côtés du triangle sont données par les magnitudes des vecteurs qui forment le triangle.

Rappelons, d'après la trigonométrie, que la loi des cosinus décrit la relation entre les longueurs latérales du triangle et l'angle\(θ\). L'application de la loi des cosinus donne ici

\[‖\vecs{ v}−\vecs{ u}‖^2=‖\vecs{ u}‖^2+‖\vecs{ v}‖^2−2‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ. \label{eq20} \]

Le produit scalaire permet de réécrire le côté gauche de l'équation \ ref {eq20} :

\[ \begin{align*} ‖\vecs{ v}−\vecs{ u}‖^2 &=(\vecs{ v}−\vecs{ u})⋅(\vecs{ v}−\vecs{ u}) \\[4pt] &=(\vecs{ v}−\vecs{ u})⋅\vecs{ v}−(\vecs{ v}−\vecs{ u})⋅\vecs{ u} \\[4pt] &=\vecs{ v}⋅\vecs{ v}−\vecs{ u}⋅\vecs{ v}−\vecs{ v}⋅\vecs{ u}+\vecs{ u}⋅\vecs{ u} \\[4pt] &=\vecs{ v}⋅\vecs{ v}−\vecs{ u}⋅\vecs{ v}−\vecs{ u}⋅\vecs{ v}+\vecs{ u}⋅\vecs{ u} \\[4pt] &=‖\vecs{ v}‖^2−2\vecs{ u}⋅\vecs{ v}+‖\vecs{ u}‖^2.\end{align*}\]

La substitution à la loi des cosinus donne

\[ \begin{align*} ‖\vecs{ v}−\vecs{ u}‖^2 &=‖\vecs{ u}‖^2+‖\vecs{ v}‖^2−2‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ \\[4pt] ‖\vecs{ v}‖^2−2\vecs{ u}⋅\vecs{ v}+‖\vecs{ u}‖^2 &= ‖\vecs{ u}‖^2+‖\vecs{ v}‖^2−2‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ \\[4pt] −2\vecs{ u}⋅\vecs{ v} &=−2‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ \\[4pt] \vecs{ u}⋅\vecs{ v} &=‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ. \end{align*}\]

□

Nous pouvons utiliser la forme du produit scalaire dans l'équation \ ref {evaldot} pour trouver la mesure de l'angle entre deux vecteurs non nuls en réorganisant l'équation \ ref {evaldot} pour résoudre le cosinus de l'angle :

\[\cos θ=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖}. \label{dot2} \]

À l'aide de cette équation, nous pouvons trouver le cosinus de l'angle entre deux vecteurs non nuls. Puisque nous considérons le plus petit angle entre les vecteurs, nous supposons\(0°≤θ≤180°\) (ou\(0≤θ≤π\) si nous travaillons en radians). Le cosinus inverse étant unique sur cette plage, nous sommes alors en mesure de déterminer la mesure de l'angle\(θ\).

Exemple\(\PageIndex{3}\): Finding the Angle between Two Vectors

Détermine la mesure de l'angle entre chaque paire de vecteurs.

1. \(\mathbf{\hat i} + \mathbf{\hat j} + \mathbf{\hat k}\)et\(2\mathbf{\hat i} – \mathbf{\hat j} – 3\mathbf{\hat k}\)
2. \(⟨2,5,6⟩\)et\(⟨−2,−4,4⟩\)

Solution

a. Pour trouver le cosinus de l'angle formé par les deux vecteurs, remplacez les composantes des vecteurs par l'équation \ ref {dot2} :

\[ \begin{align*} \cos θ &=\dfrac{(\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k})⋅(2\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j}−3\mathbf{\hat k})}{∥\mathbf{\hat i}+\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}∥⋅∥2\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j}−3\mathbf{\hat k}∥} \\[4pt] &=\dfrac{1(2)+(1)(−1)+(1)(−3)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\sqrt{2^2+(−1)^2+(−3)^2}} \\[4pt] &=\dfrac{−2}{\sqrt{3}\sqrt{14}} =\dfrac{−2}{\sqrt{42}}. \end{align*}\]

Donc,\(θ=\arccos\dfrac{−2}{\sqrt{42}}\) rad.

b. Commencez par déterminer la valeur du cosinus de l'angle entre les vecteurs :

\[ \begin{align*} \cos θ &=\dfrac{⟨2,5,6⟩⋅⟨−2,−4,4⟩}{∥⟨2,5,6⟩∥⋅∥⟨−2,−4,4⟩∥} \\[4pt] &=\dfrac{2(−2)+(5)(−4)+(6)(4)}{\sqrt{2^2+5^2+6^2}\sqrt{(−2)^2+(−4)^2+4^2}} \\[4pt] &=\dfrac{0}{\sqrt{65}\sqrt{36}}=0.\end{align*}\]

Maintenant\(0≤θ≤π\),\(\cos θ=0\) et donc\(θ=π/2\).

Exercice\(\PageIndex{3}\)

Détermine la mesure de l'angle, en radians, formé par des vecteurs\(\vecs{ a}=⟨1,2,0⟩\) et\(\vecs{ b}=⟨2,4,1⟩\). Arrondir au centième le plus proche.

Allusion

Utilisez l'équation \ ref {dot2}.

Réponse

\(θ≈0.22\)rad

L'angle entre deux vecteurs peut être aigu\((−1<\cos θ<0)\),\((0<\cos θ<1),\) obtus ou droit\((\cos θ=−1)\). Si\(\cos θ=1\), alors les deux vecteurs ont la même direction. Si\(\cos θ=0\), alors les vecteurs, lorsqu'ils sont placés en position standard, forment un angle droit (Figure\(\PageIndex{3}\)). Nous pouvons formaliser ce résultat dans un théorème concernant les vecteurs orthogonaux (perpendiculaires).

Figure\(\PageIndex{3}\) : (a) Un angle aigu a\(0<\cos θ<1\). (b) Un angle obtus a\(−1<\cos θ<0.\) (c) Une ligne droite a\(\cos θ=−1\). (d) Si les vecteurs ont la même direction,\(\cos θ=1\). (e) Si les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires),\(\cos θ=0.\)

Vecteurs orthogonaux

Les vecteurs non nuls\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\) sont des vecteurs orthogonaux si et seulement si\(\vecs{u}⋅\vecs{v}=0.\)

Une preuve

\(\vecs{v}\)Soit\(\vecs{u}\) des vecteurs non nuls, et\(θ\) notons l'angle qui les sépare. D'abord, supposons\(\vecs{u}⋅\vecs{v}=0.\) ensuite

\[‖\vecs{u}‖‖\vecs{v}‖\cos θ=0. \nonumber \]

Cependant,\(‖\vecs{u}‖≠0\) et\(‖\vecs{v}‖≠0,\) c'est ce que nous avons dû faire\(\cos θ=0\). Par conséquent\(θ=90°\), et les vecteurs sont orthogonaux.

Supposons maintenant\(\vecs{u}\) et\(\vecs{v}\) sont orthogonaux. Ensuite,\(θ=90°\) et nous avons

\[ \begin{align*} \vecs{u}⋅\vecs{v} &=‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ \\[4pt] &=‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos 90° \\[4pt] &=‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖(0) \\[4pt] &=0. \end{align*}\]

□

Les termes orthogonal, perpendiculaire et normal indiquent chacun que les objets mathématiques se croisent à angle droit. L'utilisation de chaque terme est principalement déterminée par son contexte. Nous disons que les vecteurs sont orthogonaux et les lignes sont perpendiculaires. Le terme normal est utilisé le plus souvent pour mesurer l'angle formé avec un plan ou une autre surface.

Exemple\(\PageIndex{4}\): Identifying Orthogonal Vectors

Déterminez si\(\vecs{p}=⟨1,0,5⟩\) et\(\vecs{q}=⟨10,3,−2⟩\) sont des vecteurs orthogonaux.

Solution

À l'aide de la définition, il suffit de vérifier le produit scalaire des vecteurs :

\[ \vecs{ p}⋅\vecs{ q}=1(10)+(0)(3)+(5)(−2)=10+0−10=0. \nonumber \]

Parce que\(\vecs{p}⋅\vecs{q}=0,\) les vecteurs sont orthogonaux (Figure\(\PageIndex{4}\)).

Figure\(\PageIndex{4}\) : Vecteurs\(\vecs{ p}\) et\(\vecs{ q}\) forme un angle droit lorsque leurs points initiaux sont alignés.

Exercice\(\PageIndex{4}\)

Pour quelle valeur de\(x\) est\(\vecs{ p}=⟨2,8,−1⟩\) orthogonale à\(\vecs{ q}=⟨x,−1,2⟩\) ?

Allusion

Les vecteurs\(\vecs{ p}\) et\(\vecs{ q}\) sont orthogonaux si et seulement si\(\vecs{ p}⋅\vecs{ q}=0\).

Réponse

\(x=5\)

Exemple\(\PageIndex{5}\): Measuring the Angle Formed by Two Vectors

\(\vecs{ v}=⟨2,3,3⟩.\)Trouve les mesures des angles formés par les vecteurs suivants.

1. \(\vecs{ v}\)et\(\mathbf{\hat i}\)
2. \(\vecs{ v}\)et\(\mathbf{\hat j}\)
3. \(\vecs{ v}\)et\(\mathbf{\hat k}\)

Solution

a.Soit α l'angle formé par\(\vecs{ v}\) et\(\mathbf{\hat i}\) :

\[ \begin{align*} \cos{α} &=\dfrac{\vecs{ v}⋅\mathbf{\hat i}}{‖\vecs{ v}‖⋅\|\mathbf{\hat i}\|}=\dfrac{⟨2,3,3⟩⋅⟨1,0,0⟩}{\sqrt{2^2+3^2+3^2}\sqrt{1}}=\dfrac{2}{\sqrt{22}} \\[4pt] α &=\arccos\dfrac{2}{\sqrt{22}}≈1.130\,\text{rad.} \end{align*}\]

b. Soit β l'angle formé par\(\vecs{ v}\) et\(\mathbf{\hat j}\) :

\[ \begin{align*} \cos{β} &=\dfrac{\vecs{ v}⋅\mathbf{\hat j}}{‖\vecs{ v}‖⋅\|\mathbf{\hat j}\|}=\dfrac{⟨2,3,3⟩⋅⟨0,1,0⟩}{\sqrt{2^2+3^2+3^2}\sqrt{1}}=\dfrac{3}{\sqrt{22}} \\[4pt] β &=\arccos\dfrac{3}{\sqrt{22}}≈0.877\,\text{rad.} \end{align*}\]

c. Soit γ l'angle formé par\(\vecs{ v}\) et\(\mathbf{\hat k}\) :

\[ \begin{align*} \cos{γ} &=\dfrac{\vecs{ v}⋅\mathbf{\hat k}}{‖\vecs{ v}‖⋅\|\mathbf{\hat k}\|}=\dfrac{⟨2,3,3⟩⋅⟨0,0,1⟩}{\sqrt{2^2+3^2+3^2}\sqrt{1}}=\dfrac{3}{\sqrt{22}} \\[4pt]γ &=\arccos\dfrac{3}{\sqrt{22}}≈0.877\,\text{rad.} \end{align*}\]

Exercice\(\PageIndex{5}\)

\(\vecs{ v}=⟨3,−5,1⟩.\)Détermine la mesure des angles formés par chaque paire de vecteurs.

1. \(\vecs{ v}\)et\(\mathbf{\hat i}\)
2. \(\vecs{ v}\)et\(\mathbf{\hat j}\)
3. \(\vecs{ v}\)et\(\mathbf{\hat k}\)

Allusion

\(\mathbf{\hat i}=⟨1,0,0⟩, \mathbf{\hat j}=⟨0,1,0⟩,\)et\(\mathbf{\hat k}=⟨0,0,1⟩\)

Réponse

\(a. α≈1.04\)rad ; b.\(β≈2.58\) rad ; c.\(γ≈1.40\) rad

L'angle qu'un vecteur forme avec chacun des axes de coordonnées, appelé angle de direction, est très important dans les calculs pratiques, en particulier dans un domaine tel que l'ingénierie. Par exemple, en ingénierie astronautique, l'angle de lancement d'une fusée doit être déterminé de manière très précise. Une toute petite erreur d'angle peut amener la fusée à dévier de sa trajectoire de plusieurs centaines de kilomètres. Les angles de direction sont souvent calculés en utilisant le produit scalaire et les cosinus des angles, appelés cosinus de direction. Nous définissons donc à la fois ces angles et leurs cosinus.

Définition : angles de direction

Les angles formés par un vecteur différent de zéro et les axes de coordonnées sont appelés angles de direction du vecteur (Figure\(\PageIndex{5}\)). Les cosinus de ces angles sont appelés cosinus de direction.

Figure\(\PageIndex{5}\) : L'angle\(α\) est formé par un vecteur\(\vecs{ v}\) et un vecteur unitaire\(\mathbf{\hat i}\). L'angle β est formé par un vecteur\(\vecs{ v}\) et un vecteur unitaire\(\mathbf{\hat j}\). L'angle γ est formé par un vecteur\(\vecs{ v}\) et un vecteur unitaire\(\mathbf{\hat k}\).

Dans l'exemple\(\PageIndex{5}\), les cosinus directionnels de\(\vecs{ v}=⟨2,3,3⟩\) sont\(\cos α=\dfrac{2}{\sqrt{22}}, \cos β=\dfrac{3}{\sqrt{22}},\) et\(\cos γ=\dfrac{3}{\sqrt{22}}\). Les angles de direction de\(\vecs{ v}\) sont\(α=1.130\)\(β=0.877\) rad, rad et\(γ=0.877\) rad.

Jusqu'à présent, nous nous sommes concentrés principalement sur les vecteurs liés à la force, au mouvement et à la position dans un espace physique tridimensionnel. Cependant, les vecteurs sont souvent utilisés de manière plus abstraite. Supposons, par exemple, qu'un vendeur de fruits vend des pommes, des bananes et des oranges. Chaque jour, il vend 30 pommes, 12 bananes et 18 oranges. Il peut utiliser un vecteur de quantité\(\vecs{ q}=⟨30,12,18⟩,\) pour représenter la quantité de fruits qu'il a vendus ce jour-là. De même, il pourrait utiliser un vecteur de prix,\(\vecs{ p}=⟨0.50,0.25,1⟩,\) pour indiquer qu'il vend ses pommes à 50 cents chacune, ses bananes à 25 cents chacune et ses oranges à 1 dollar pièce. Dans cet exemple, bien que nous puissions toujours représenter graphiquement ces vecteurs, nous ne les interprétons pas comme des représentations littérales de la position dans le monde physique. Nous utilisons simplement des vecteurs pour suivre des informations spécifiques sur les pommes, les bananes et les oranges.

Cette idée peut sembler un peu étrange, mais si nous considérons simplement les vecteurs comme un moyen d'ordonner et de stocker des données, nous constatons qu'ils peuvent être un outil très puissant. Pour en revenir au vendeur de fruits, pensons au produit scalaire,\(\vecs{ q}⋅\vecs{ p}\). Nous le calculons en multipliant le nombre de pommes vendues (30) par le prix par pomme (50¢), le nombre de bananes vendues par le prix par banane et le nombre d'oranges vendues par le prix par orange. Nous additionnons ensuite toutes ces valeurs. Ainsi, dans cet exemple, le produit scalaire nous indique combien d'argent le vendeur de fruits avait vendu ce jour-là.

Lorsque nous utilisons des vecteurs de cette manière plus générale, il n'y a aucune raison de limiter le nombre de composants à trois. Et si le vendeur de fruits décide de commencer à vendre du pamplemousse ? Dans ce cas, il voudrait utiliser des vecteurs quadridimensionnels de quantité et de prix pour représenter le nombre de pommes, de bananes, d'oranges et de pamplemousses vendues, ainsi que leurs prix unitaires. Comme vous pouvez vous y attendre, pour calculer le produit scalaire de vecteurs quadridimensionnels, il suffit d'ajouter les produits des composants comme précédemment, mais la somme comporte quatre termes au lieu de trois.

Exemple\(\PageIndex{6}\): Using Vectors in an Economic Context

AAA Party Supply Store vend des invitations, des cadeaux de fête, des décorations et des articles de restauration tels que des assiettes en carton et des serviettes de table. Lorsque AAA achète son inventaire, elle paie 25 cents par colis pour les invitations et les cadeaux de fête. Les décorations coûtent 50 cents AAA chacune et les articles de restauration coûtent 20 cents par colis. AAA vend des invitations pour 2,50$ par colis et des cadeaux pour 1,50$ par colis. Les décorations se vendent à 4,50$ chacune et les articles de restauration à 1,25$ par colis.

Au cours du mois de mai, AAA Party Supply Store vend 1 258 invitations, 342 cadeaux de fête, 2 426 décorations et 1 354 articles de restauration. Utilisez des vecteurs et des produits à points pour calculer combien d'argent AAA a gagné en ventes au cours du mois de mai. Combien de bénéfices le magasin a-t-il réalisés ?

Solution

Les vecteurs de coût, de prix et de quantité sont

\[ \begin{align*} \vecs{ c} &=⟨0.25,0.25,0.50,0.20⟩ \\[4pt] \vecs{ p} &=⟨2.50,1.50,4.50,1.25⟩ \\[4pt] \vecs{ q} &=⟨1258,342,2426,1354⟩. \end{align*}\]

Les ventes AAA pour le mois de mai peuvent être calculées à l'aide du produit scalaire\(\vecs{ p}⋅\vecs{ q}\). Nous avons

\[ \begin{align*} \vecs{ p}⋅\vecs{ q} &=⟨2.50,1.50,4.50,1.25⟩⋅⟨1258,342,2426,1354⟩ \\[4pt] &=3145+513+10917+1692.5 \\[4pt] &= 16267.5. \end{align*}\]

Ainsi, AAA a reçu 16 267,50$ au cours du mois de mai. Pour calculer le bénéfice, nous devons d'abord calculer combien AAA a payé pour les articles vendus. Nous utilisons le produit Dot\(\vecs{c}⋅\vecs{q}\) pour obtenir

\[ \begin{align*} \vecs{ c}⋅\vecs{ q} &=⟨0.25,0.25,0.50,0.20⟩⋅⟨1258,342,2426,1354⟩ \\[4pt] &=314.5+85.5+1213+270.8 \\[4pt] &=1883.8. \end{align*}\]

AAA a donc payé 1 883,80$ pour les articles qu'elle a vendus. Leur bénéfice est donc donné par

\[\vecs{ p}⋅\vecs{ q}−\vecs{ c}⋅\vecs{ q}=16267.5−1883.8 =14383.7. \nonumber \]

Par conséquent, AAA Party Supply Store a gagné 14 383,70$ en mai.

Exercice\(\PageIndex{6}\)

Le 1er juin, AAA Party Supply Store a décidé d'augmenter le prix des cadeaux de fête à 2 dollars par colis. Ils ont également changé de fournisseur pour leurs invitations et peuvent désormais acheter des invitations pour seulement 10 cents par colis. Tous leurs autres coûts et prix restent les mêmes. Si AAA vend 1 408 invitations, 147 cadeaux de fête, 2 112 décorations et 1 984 articles de restauration au cours du mois de juin, utilisez des vecteurs et des produits à points pour calculer ses ventes totales et ses bénéfices pour le mois de juin.

Allusion

Utilisez des vecteurs quadridimensionnels pour le coût, le prix et la quantité vendue.

Réponse

Ventes = 15 685,50$ ; bénéfice = 14 073,15$

Des projections

Comme nous l'avons vu, l'addition combine deux vecteurs pour créer un vecteur résultant. Mais que se passe-t-il si on nous donne un vecteur et que nous avons besoin de trouver ses composants ? Nous utilisons des projections vectorielles pour effectuer le processus inverse ; elles peuvent décomposer un vecteur en ses composants. L'amplitude d'une projection vectorielle est une projection scalaire. Par exemple, si un enfant tire la poignée d'un wagon à un angle de 55°, nous pouvons utiliser des projections pour déterminer dans quelle mesure la force exercée sur la poignée fait réellement avancer le chariot (\(\PageIndex{6}\)). Nous revenons à cet exemple et apprenons à le résoudre après avoir vu comment calculer des projections.

Figure\(\PageIndex{6}\) : Lorsqu'un enfant tire un chariot, seule la composante horizontale de la force propulse le chariot vers l'avant.

Définition : vecteur et projection

La projection vectorielle de\(\vecs{ v}\) onto\(\vecs{ u}\) est le vecteur étiqueté\(\text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v}\) dans la figure\(\PageIndex{7}\). Il a le même point initial\(\vecs{ u}\)\(\vecs{ v}\) et la même direction que\(\vecs{ u}\), et représente le composant\(\vecs{ v}\) qui agit dans la direction de\(\vecs{ u}\). Si\(θ\) représente l'angle entre\(\vecs{ u}\) et\(\vecs{ v}\), alors, par les propriétés des triangles, nous savons que la longueur de\(\text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v}\) est\(\|\text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v}\|=‖\vecs{ v}‖\cos θ.\) Lorsque vous l'exprimez\(\cos θ\) en termes de produit scalaire, cela devient

\[ \|\text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v}\|=‖\vecs v‖\cos θ=‖\vecs{ v}‖\left(\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖}\right)=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖.} \nonumber \]

Nous multiplions maintenant par un vecteur unitaire dans la direction de\(\vecs{ u}\) pour obtenir\(\text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v}\) :

\[\text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v}=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖}\left(\dfrac{1}{‖\vecs{ u}‖}\vecs{ u}\right)=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖^2}\vecs{ u}. \nonumber \]

La longueur de ce vecteur est également connue sous le nom de projection scalaire d'\(\vecs{ v}\)onto\(\vecs{ u}\) et est désignée par

\[\|\text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v}\|=\text{comp}_\vecs{ u}\vecs{ v}=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖.} \nonumber \]

Figure\(\PageIndex{7}\) : La projection de\(\vecs{ v}\) onto\(\vecs{ u}\) montre la composante du vecteur\(\vecs{ v}\) dans la direction de\(\vecs{ u}\).

Exemple\(\PageIndex{7}\): Finding Projections

Trouvez la projection de\(\vecs{ v}\) sur\(\vecs{ u}\).

1. \(\vecs{v}=⟨3,5,1⟩\)et\(\vecs{u}=⟨−1,4,3⟩\)
2. \(\vecs{v}=3\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat j}\)et\(\vecs{u}=\mathbf{\hat i}+6\mathbf{\hat j}\)

Solution

a. Substituez les composantes de\(\vecs{ v}\) et\(\vecs{ u}\) dans la formule de la projection :

\[\begin{align*} \text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v} &=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖^2}\vecs{ u} \\[4pt] &=\dfrac{⟨−1,4,3⟩⋅⟨3,5,1⟩}{∥⟨−1,4,3⟩∥^2}⟨−1,4,3⟩ \\[4pt] &=\dfrac{−3+20+3}{(−1)^2+4^2+3^2}⟨−1,4,3⟩ \\[4pt] &=\dfrac{20}{26}⟨−1,4,3⟩ \\[4pt] &=⟨−\dfrac{10}{13},\dfrac{40}{13},\dfrac{30}{13}⟩. \end{align*}\]

b. Pour trouver la projection bidimensionnelle, il suffit d'adapter la formule au cas bidimensionnel :

\[\begin{align*} \text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v} &=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖^2}\vecs{ u} \\[4pt] &=\dfrac{(\mathbf{\hat i}+6\mathbf{\hat j})⋅(3\mathbf{\hat i}−2\mathbf{\hat j})}{∥\mathbf{\hat i}+6\mathbf{\hat j}∥^2}(\mathbf{\hat i}+6\mathbf{\hat j}) \\[4pt] &= \dfrac{1(3)+6(−2)}{1^2+6^2}(\mathbf{\hat i}+6\mathbf{\hat j}) \\[4pt] &= −\dfrac{9}{37}(\mathbf{\hat i}+6\mathbf{\hat j}) \\[4pt] &= −\dfrac{9}{37}\mathbf{\hat i}−\dfrac{54}{37}\mathbf{\hat j}.\end{align*}\]

Il est parfois utile de décomposer des vecteurs, c'est-à-dire de séparer un vecteur en une somme. Ce processus s'appelle la résolution d'un vecteur en composantes. Les projections nous permettent d'identifier deux vecteurs orthogonaux ayant une somme souhaitée. Par exemple, let\(\vecs{ v}=⟨6,−4⟩\) et let\(\vecs{ u}=⟨3,1⟩.\) Nous voulons décomposer le vecteur\(\vecs{ v}\) en composantes orthogonales de telle sorte que l'un des vecteurs des composants ait la même direction que\(\vecs{ u}\).

On trouve d'abord le composant qui a la même direction qu'en le\(\vecs{ u}\)\(\vecs{ v}\) projetant sur\(\vecs{ u}\). Laissez\(\vecs{ p}=\text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v}\). Ensuite, nous avons

\[\begin{align*}\vecs{ p} =\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖^2}\vecs{ u} \\[4pt] = \dfrac{18−4}{9+1}\vecs{ u} \\[4pt] = \dfrac{7}{5}\vecs{ u}=\dfrac{7}{5}⟨3,1⟩=⟨\dfrac{21}{5},\dfrac{7}{5}⟩. \end{align*}\]

Maintenant, considérez le vecteur\(\vecs{ q}=\vecs{ v}−\vecs{ p}.\) que nous avons

\[\begin{align*} \vecs{ q} =\vecs{ v}−\vecs{ p} \\[4pt] = ⟨6,−4⟩−⟨\dfrac{21}{5},\dfrac{7}{5}⟩ \\[4pt] = ⟨\dfrac{9}{5},−\dfrac{27}{5}⟩. \end{align*}\]

De toute évidence, selon la façon dont nous avons défini\(\vecs{ q}\), nous avons\(\vecs{ v}=\vecs{ q}+\vecs{ p},\) et

\[\begin{align*}\vecs{ q}⋅\vecs{ p} =⟨\dfrac{9}{5},−\dfrac{27}{5}⟩⋅⟨\dfrac{21}{5},\dfrac{7}{5}⟩ \\[4pt] = \dfrac{9(21)}{25}+−\dfrac{27(7)}{25} \\[4pt] = \dfrac{189}{25}−\dfrac{189}{25}=0. \end{align*}\]

Par conséquent,\(\vecs{ q}\) et\(\vecs{ p}\) sont orthogonaux.

Exemple\(\PageIndex{8}\): Resolving Vectors into Components

Exprime\(\vecs{ v}=⟨8,−3,−3⟩\) sous la forme d'une somme de vecteurs orthogonaux de telle sorte que l'un des vecteurs ait la même direction que\(\vecs{ u}=⟨2,3,2⟩.\)

Solution

\(\vecs{ p}\)Représentent la projection de\(\vecs{ v}\) sur\(\vecs{ u}\) :

\[ \begin{align*} \vecs{ p} &=\text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v} \\[4pt] &=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖^2}\vecs{ u} \\[4pt] &=\dfrac{⟨2,3,2⟩⋅⟨8,−3,−3⟩}{∥⟨2,3,2⟩∥^2}⟨2,3,2⟩ \\[4pt] &=\dfrac{16−9−6}{2^2+3^2+2^2}⟨2,3,2⟩ \\[4pt] &=\dfrac{1}{17}⟨2,3,2⟩ \\[4pt] &=⟨\dfrac{2}{17},\dfrac{3}{17},\dfrac{2}{17}⟩. \end{align*} \nonumber \]

Ensuite,

\[ \begin{align*} \vecs{ q} &=\vecs{ v}−\vecs{ p}=⟨8,−3,−3⟩−⟨\dfrac{2}{17},\dfrac{3}{17},\dfrac{2}{17}⟩\\[4pt] &=⟨\dfrac{134}{17},−\dfrac{54}{17},−\dfrac{53}{17}⟩. \end{align*} \nonumber \]

Pour vérifier notre travail, nous pouvons utiliser le produit scalaire pour vérifier qu'il s'\(\vecs{ p}\)\(\vecs{ q}\)agit de vecteurs orthogonaux :

\[ \begin{align*}\vecs{ p}⋅\vecs{ q}&=⟨\dfrac{2}{17},\dfrac{3}{17},\dfrac{2}{17}⟩⋅⟨\dfrac{134}{17},−\dfrac{54}{17},−\dfrac{53}{17}⟩\\[4pt] &=\dfrac{268}{289}−\dfrac{162}{289}−\dfrac{106}{289}=0. \end{align*} \nonumber \]

Ensuite,

\[\vecs{ v}=\vecs{ p}+\vecs{ q}=⟨\dfrac{2}{17},\dfrac{3}{17},\dfrac{2}{17}⟩+⟨\dfrac{134}{17},−\dfrac{54}{17},−\dfrac{53}{17}⟩. \nonumber \]

Exercice\(\PageIndex{7}\)

Exprime\(\vecs{ v}=5\mathbf{\hat i}−\mathbf{\hat j}\) sous la forme d'une somme de vecteurs orthogonaux de telle sorte que l'un des vecteurs ait la même direction que\(\vecs{ u}=4\mathbf{\hat i}+2\mathbf{\hat j}\).

Allusion

Commencez par trouver la projection de\(\vecs{ v}\) sur\(\vecs{ u}\).

Réponse

\(\vecs{ v}=\vecs{ p}+\vecs{ q},\)où\(\vecs{ p}=\dfrac{18}{5}\mathbf{\hat i}+\dfrac{9}{5}\mathbf{\hat j}\) et\(\vecs{ q}=\dfrac{7}{5}\mathbf{\hat i}−\dfrac{14}{5}\mathbf{\hat j}\)

Exemple\(\PageIndex{9}\): Scalar Projection of Velocity

Un porte-conteneurs quitte le port en se dirigeant\(15°\) vers le nord est. Son moteur génère une vitesse de 20 nœuds le long de cette trajectoire (voir la figure suivante). De plus, le courant océanique déplace le navire vers le nord-est à une vitesse de 2 nœuds. Compte tenu à la fois du moteur et du courant, à quelle vitesse le navire se déplace-t-il dans la direction\(15°\) nord-est ? Arrondissez la réponse à deux décimales.

Solution

\(\vecs{ v}\)Soit le vecteur de vitesse généré par le moteur, et\(\vecs{w}\) soit le vecteur de vitesse du courant. Nous savons déjà\(‖\vecs{ v}‖=20\) quel est l'itinéraire souhaité. Nous avons juste besoin d'ajouter la projection scalaire de\(\vecs{ w}\) onto\(\vecs{ v}\). Nous obtenons

\[ \begin{align*} \text{comp}_\vecs{ v}\vecs{ w}=\dfrac{\vecs{ v}⋅\vecs{ w}}{‖\vecs{ v}‖} \\[4pt] =\dfrac{‖\vecs{ v}‖‖\vecs{ w}‖\cos(30°)}{‖\vecs{ v}‖} =‖\vecs{ w}‖\cos(30°) =2\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}≈1.73\,\text{knots.}\end{align*}\]

Le navire se déplace à 21,73 nœuds dans la direction\(15°\) nord-est.

Exercice\(\PageIndex{8}\)

Répétez l'exemple précédent, mais supposons que le courant océanique se déplace vers le sud-est plutôt que vers le nord-est, comme le montre la figure suivante.

Allusion

Calculez la projection scalaire de\(\vecs{ w}\) onto\(\vecs{ v}\).

Réponse

21 nœuds

Œuvre

Maintenant que nous comprenons les produits à points, nous pouvons voir comment les appliquer à des situations réelles. L'application la plus courante du produit scalaire de deux vecteurs concerne le calcul du travail.

Grâce à la physique, nous savons que le travail se fait lorsqu'un objet est déplacé par une force. Lorsque la force est constante et appliquée dans la même direction que l'objet se déplace, alors nous définissons le travail effectué comme le produit de la force et de la distance parcourue par l'objet :\(W=Fd\). Nous avons vu plusieurs exemples de ce type dans les chapitres précédents. Imaginez maintenant que la direction de la force est différente de la direction du mouvement, comme dans l'exemple d'un enfant tirant un chariot. Pour trouver le travail effectué, il faut multiplier la composante de la force qui agit dans le sens du mouvement par l'amplitude du déplacement. Le produit scalaire nous permet de faire exactement cela. Si nous représentons une force appliquée par un vecteur\(\vecs{ F}\) et le déplacement d'un objet par un vecteur\(\vecs{ s}\), alors le travail effectué par la force est le produit scalaire de\(\vecs{ F}\) et\(\vecs{ s}\).

Définition : Force constante

Lorsqu'une force constante est appliquée à un objet de telle sorte que l'objet se déplace en ligne droite d'un point\(P\) à l'autre\(Q\), le travail\(W\) effectué par la force\(\vecs{ F}\), agissant à un angle θ par rapport à la ligne de mouvement, est donné par

\[W=\vecs{ F}⋅\vecd{PQ}=∥\vecs{ F}∥∥\vecd{PQ}∥\cos θ. \nonumber \]

Revenons sur le problème du chariot pour enfants introduit plus tôt. Supposons qu'un enfant tire un chariot avec une force de 8 livres sur la poignée à un angle de 55°. Si l'enfant tire le chariot de 50 pieds, trouvez le travail effectué par la force (Figure\(\PageIndex{8}\)).

Figure\(\PageIndex{8}\) : La composante horizontale de la force est la\(\vecs{ F}\) projection de la force sur l'\(x\)axe positif.

Nous avons

\[W=∥\vecs{ F}∥∥\vecd{PQ}∥\cos θ=8(50)(\cos(55°))≈229\,\text{ft⋅lb.} \nonumber \]

En unités standard américaines, nous mesurons l'amplitude de la force\(∥\vecs{ F}∥\) en livres. L'amplitude du vecteur de déplacement nous\(∥\vecd{PQ}∥\) indique la distance parcourue par l'objet et elle est mesurée en pieds. L'unité de mesure habituelle du travail est donc le pied-livre. Un pied livre est la quantité de travail requise pour déplacer un objet pesant 1 livre sur une distance de 1 pied vers le haut. Dans le système métrique, l'unité de mesure de la force est le newton (N) et l'unité de mesure de grandeur du travail est le newton-mètre (N·m) ou le joule (J).

Exemple\(\PageIndex{10}\): Calculating Work

Une bande transporteuse génère une force\(\vecs{ F}=5\mathbf{\hat i}−3\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k}\) qui déplace une valise d'un point\((1,1,1)\) à un autre\((9,4,7)\) le long d'une ligne droite. Trouvez le travail effectué par le convoyeur. La distance est mesurée en mètres et la force est mesurée en newtons.

Solution

Le vecteur de déplacement\(\vecd{PQ}\) a un point initial\((1,1,1)\) et un point terminal\((9,4,7)\) :

\[\vecd{PQ}=⟨9−1,4−1,7−1⟩=⟨8,3,6⟩=8\mathbf{\hat i}+3\mathbf{\hat j}+6\mathbf{\hat k}. \nonumber \]

Le travail est le produit scalaire de la force et du déplacement :

\[\begin{align*} W &=\vecs{ F}⋅\vecd{PQ} \\[4pt] &= (5\mathbf{\hat i}−3\mathbf{\hat j}+\mathbf{\hat k})⋅(8\mathbf{\hat i}+3\mathbf{\hat j}+6\mathbf{\hat k}) \\[4pt] = 5(8)+(−3)(3)+1(6) \\[4pt] &=37\,\text{N⋅m} \\[4pt] &= 37\,\text{J} \end{align*}\]

Exercice\(\PageIndex{9}\)

Une force constante de 30 livres est appliquée à un angle de 60° pour tirer une charrette à bras de 10 pieds sur le sol. Quel est le travail effectué par cette force ?

Allusion

Utilisez la définition du travail comme le produit scalaire de la force et de la distance.

Réponse

150 pieds-livres

Concepts clés

• Le produit scalaire, ou produit scalaire, de deux vecteurs\(\vecs{ u}=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) et\(\vecs{ v}=⟨v_1,v_2,v_3⟩\) est\(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\).
• Le produit scalaire répond aux propriétés suivantes :
  • \(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=\vecs{ v}⋅\vecs{ u}\)
  • \(\vecs{ u}⋅(\vecs{ v}+\vecs{ w})=\vecs{ u}⋅\vecs{ v}+\vecs{ u}⋅\vecs{ w}\)
  • \(c(\vecs{ u}⋅\vecs{ v})=(c\vecs{ u})⋅\vecs{ v}=\vecs{ u}⋅(c\vecs{ v})\)
  • \(\vecs{ v}⋅\vecs{ v}=‖\vecs{ v}‖^2\)
• Le produit scalaire de deux vecteurs peut être exprimé, alternativement, comme\(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ.\) suit : Cette forme du produit scalaire est utile pour trouver la mesure de l'angle formé par deux vecteurs.
• Les vecteurs\(\vecs{ u}\) et\(\vecs{ v}\) sont orthogonaux si\(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=0\).
• Les angles formés par un vecteur différent de zéro et les axes de coordonnées sont appelés angles de direction du vecteur. Les cosinus de ces angles sont appelés cosinus de direction.
• La projection vectorielle de\(\vecs{ v}\) onto\(\vecs{ u}\) est le vecteur\(\text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v}=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖^2}\vecs{ u}\). L'amplitude de ce vecteur est connue sous le nom de projection scalaire de\(\vecs{ v}\) onto\(\vecs{ u}\), donnée par\(\text{comp}_\vecs{ u}\vecs{ v}=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖}\).
• Le travail est effectué lorsqu'une force est appliquée à un objet, provoquant son déplacement. Lorsque la force est représentée par le vecteur\(\vecs{ F}\) et que le déplacement est représenté par le vecteur\(\vecs{ s}\), le travail effectué\(W\) est donné par la formule\(W=\vecs{ F}⋅\vecs{ s}=∥\vecs{ F}∥‖\vecs{ s}‖\cos θ.\)

Équations clés

• Produit scalaire de\(\vecs{ u}\) et\(\vecs{ v}\)

\(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖\cos θ\)

• Cosinus de l'angle formé par\(\vecs{ u}\) et\(\vecs{ v}\)

\(\cos θ=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖‖\vecs{ v}‖}\)

• Projection vectorielle d'\(\vecs{ v}\)onto\(\vecs{ u}\)

\(\text{proj}_\vecs{ u}\vecs{ v}=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖^2}\vecs{ u}\)

• Projection scalaire d'\(\vecs{ v}\)onto\(\vecs{ u}\)

\(\text{comp}_\vecs{ u}\vecs{ v}=\dfrac{\vecs{ u}⋅\vecs{ v}}{‖\vecs{ u}‖}\)

• Travail effectué par une force\(\vecs{ F}\) pour déplacer un objet à travers un vecteur de déplacement\(\vecd{PQ}\)

\(W=\vecs{ F}⋅\vecd{PQ}=∥\vecs{ F}∥∥\vecd{PQ}∥\cos θ\)

Lexique

angles de direction

les angles formés par un vecteur différent de zéro et les axes de coordonnées

cosinus de direction

les cosinus des angles formés par un vecteur non nul et les axes de coordonnées

produit scalaire ou produit scalaire

\(\vecs{ u}⋅\vecs{ v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\)où\(\vecs{ u}=⟨u_1,u_2,u_3⟩\) et\(\vecs{ v}=⟨v_1,v_2,v_3⟩\)

projection scalaire

l'amplitude de la projection vectorielle d'un vecteur

vecteurs orthogonaux

vecteurs qui forment un angle droit lorsqu'ils sont placés en position standard

projection vectorielle

la composante d'un vecteur qui suit une direction donnée

travail effectué par une force

le travail est généralement considéré comme la quantité d'énergie nécessaire pour déplacer un objet ; si nous représentons une force appliquée par un vecteur\(\vecs{ F}\) et le déplacement d'un objet par un vecteur\(\vecs{ s}\), alors le travail effectué par la force est le produit scalaire de\(\vecs{ F}\) et\(\vecs{ s}\).

Contributeurs et attributions

• Template:ContribOpenStaxCalc
• edited for vector notation by Paul Seeburger