12.2E : Exercices pour la section 12.2
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1) Considérez une boîte rectangulaire avec l'un des sommets à l'origine, comme le montre la figure suivante. Si le point\(A(2,3,5)\) est le sommet opposé à l'origine, trouvez
a. les coordonnées des six autres sommets de la boîte et
b. la longueur de la diagonale de la boîte déterminée par les sommets\(O\) et\(A\).
- Réponse
- a.\((2,0,5),(2,0,0),(2,3,0),(0,3,0),(0,3,5),(0,0,5)\) b.\(\sqrt{38}\)
2) Trouvez les coordonnées du point\(P\) et déterminez sa distance par rapport à l'origine.
Pour les exercices 3 à 6, décrivez et représentez graphiquement l'ensemble de points qui répond à l'équation donnée.
3)\((y−5)(z−6)=0\)
- Réponse
- Une union de deux plans :\(y=5\) (un plan parallèle au\(xz\) plan -) et\(z=6\) (un plan parallèle au\(xy\) plan -)
4)\((z−2)(z−5)=0\)
5)\((y−1)^2+(z−1)^2=1\)
- Réponse
- Un cylindre de rayon\(1\) centré sur la ligne\(y=1,z=1\)
6)\((x−2)^2+(z−5)^2=4\)
7) Écrivez l'équation du plan passant par un point\((1,1,1)\) parallèle au\(xy\) plan.
- Réponse
- \(z=1\)
8) Écrivez l'équation du plan passant par un point\((1,−3,2)\) parallèle au\(xz\) plan.
9) Trouvez une équation du plan passant par des points\((1,−3,−2), (0,3,−2),\) et\((1,0,−2).\)
- Réponse
- \(z=−2\)
10) Trouvez une équation du plan passant par des points\((1,9,2), (1,3,6),\) et\((1,−7,8).\)
Pour les exercices 11 à 14, trouvez l'équation de la sphère sous forme standard qui satisfait aux conditions données.
11) Centre\(C(−1,7,4)\) et rayon\(4\)
- Réponse
- \((x+1)^2+(y−7)^2+(z−4)^2=16\)
12) Centre\(C(−4,7,2)\) et rayon\(6\)
13) Diamètre\(PQ,\) où\(P(−1,5,7)\) et\(Q(−5,2,9)\)
- Réponse
- \(x+3)^2+(y−3.5)^2+(z−8)^2=\dfrac{29}{4}\)
14) Diamètre\(PQ,\) où\(P(−16,−3,9)\) et\(Q(−2,3,5)\)
Pour les exercices 15 et 16, trouvez le centre et le rayon de la sphère à l'aide de l'équation sous forme générale qui est donnée.
15)\( x^2+y^2+z^2−4z+3=0\)
- Réponse
- Centre\(C(0,0,2)\) et rayon\(1\)
16)\(x^2+y^2+z^2−6x+8y−10z+25=0\)
Pour les exercices 17 à 20, exprimez le vecteur\( \vecd{PQ} \) avec le point initial à\(P\) et le point terminal à\(Q\)
\(a.\)sous forme de composant et
\(b.\)en utilisant des vecteurs unitaires standard.
17)\(P(3,0,2)\) et\(Q(−1,−1,4)\)
- Réponse
- \(a. \vecd{PQ}=⟨−4,−1,2⟩\)
\(b. \vecd{PQ}=−4\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}+2\hat{\mathbf k}\)
18)\(P(0,10,5)\) et\(Q(1,1,−3)\)
19)\(P(−2,5,−8)\) et\(M(1,−7,4)\), où\(M\) se trouve le milieu du segment de droite\(\overline{PQ}\)
- Réponse
- \(a. \vecd{PQ}=⟨6,−24,24⟩\)
\(b. \vecd{PQ}=6\hat{\mathbf i}−24\hat{\mathbf j}+24\hat{\mathbf k}\)
20)\(Q(0,7,−6)\) et\(M(−1,3,2)\), où\(M\) se trouve le milieu du segment de droite\(\overline{PQ}\)
21) Trouvez le point terminal\(Q\) du vecteur\(\vecd{PQ}=⟨7,−1,3⟩\) avec le point initial à\(P(−2,3,5).\)
- Réponse
- \(Q(5,2,8)\)
22) Trouvez le point initial\(P\) du vecteur\(\vecd{PQ}=⟨−9,1,2⟩\) avec le point terminal à\(Q(10,0,−1).\)
Pour les exercices 23 à 26, utilisez les vecteurs donnés\(\vecs a\) et\(\vecs b\) pour trouver et exprimer les vecteurs\(\vecs a+\vecs b, \,4\vecs a\), et\(−5\vecs a+3\vecs b\) sous forme de composants.
23)\(\quad \vecs a=⟨−1,−2,4⟩,\quad \vecs b=⟨−5,6,−7⟩\)
- Réponse
- \(\vecs a+\vecs b=⟨−6,4,−3⟩, 4\vecs a=⟨−4,−8,16⟩, −5\vecs a+3\vecs b=⟨−10,28,−41⟩\)
(24)\(\quad \vecs a=⟨3,−2,4⟩,\quad \vecs b=⟨−5,6,−9⟩\)
25)\(\quad \vecs a=−\hat{\mathbf k},\quad \vecs b=−\hat{\mathbf i}\)
- Réponse
- \(\vecs a+\vecs b=⟨−1,0,−1⟩, 4\vecs a=⟨0,0,−4⟩, −5\vecs a+3\vecs b=⟨−3,0,5⟩\)
26)\(\quad \vecs a=\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}+\hat{\mathbf k},\quad \vecs b=2\hat{\mathbf i}−3\hat{\mathbf j}+2\hat{\mathbf k}\)
Pour les exercices 27-30, des vecteurs\(\vecs u\) et\(\vecs v\) sont donnés. Trouvez les magnitudes des vecteurs\(\vecs u−\vecs v\) et\(−2\vecs u\).
(27)\(\quad \vecs u=2\hat{\mathbf i}+3\hat{\mathbf j}+4\hat{\mathbf k}, \quad \vecs v=−\hat{\mathbf i}+5\hat{\mathbf j}−\hat{\mathbf k}\)
- Réponse
- \(\|\vecs u−\vecs v\|=\sqrt{38}, \quad \|−2\vecs u\|=2\sqrt{29}\)
28)\(\quad \vecs u=\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}, \quad \vecs v=\hat{\mathbf j}−\hat{\mathbf k}\)
29)\(\quad \vecs u=⟨2\cos t,−2\sin t,3⟩, \quad \vecs v=⟨0,0,3⟩,\quad\) où\(t\) est un nombre réel.
- Réponse
- \(\|\vecs u−\vecs v\|=2, \quad \|−2\vecs u\|=2\sqrt{13}\)
30)\(\quad \vecs u=⟨0,1,\sinh t⟩, \quad \vecs v=⟨1,1,0⟩,\quad\) où\(t\) est un nombre réel.
Pour les exercices 31 à 36, trouvez le vecteur unitaire dans la direction du vecteur donné\( \vecs a\) et exprimez-le à l'aide de vecteurs unitaires standard.
31)\(\quad \vecs a=3\hat{\mathbf i}−4\hat{\mathbf j}\)
- Réponse
- \(\frac{3}{5}\hat{\mathbf i}−\frac{4}{5}\hat{\mathbf j}\)
32)\(\quad \vecs a=⟨4,−3,6⟩\)
33)\(\quad \vecs a=\vecd{PQ}\), où\( P(−2,3,1)\) et\(Q(0,−4,4)\)
- Réponse
- \(\frac{\sqrt{62}}{31}\hat{\mathbf i}−\frac{7\sqrt{62}}{62}\hat{\mathbf j}+\frac{3\sqrt{62}}{62}\hat{\mathbf k}\)
34)\(\quad \vecs a=\vecd{OP},\) où\(P(−1,−1,1)\)
35)\(\quad \vecs a=\vecs u−\vecs v+\vecs w,\) où\(\vecs u=\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}−\hat{\mathbf k},\quad \vecs v=2\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}+\hat{\mathbf k}, \quad\) et\(\vecs w=−\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}+3\hat{\mathbf k}\)
- Réponse
- \(−\frac{\sqrt{6}}{3}\hat{\mathbf i}+\frac{\sqrt{6}}{6}\hat{\mathbf j}+\frac{\sqrt{6}}{6}\hat{\mathbf k}\)
36)\(\quad \vecs a=2\vecs u+\vecs v−\vecs w,\quad\) où\( \vecs u=\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf k}, \quad \vecs v=2\hat{\mathbf j} \quad\), et\( \vecs w=\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}\)
37) Déterminer si\(\vecd{AB}\) et\(\vecd{PQ}\) sont des vecteurs équivalents, où\(A(1,1,1),\,B(3,3,3),\,P(1,4,5),\) et\(Q(3,6,7).\)
- Réponse
- Vecteurs équivalents
38) Déterminez si les vecteurs\(\vecd{AB}\) et\(\vecd{PQ}\) sont équivalents, où\( A(1,4,1),\, B(−2,2,0),\, P(2,5,7),\) et\( Q(−3,2,1)\).
Pour les exercices 39 à 42, trouvez un vecteur\( \vecs u\) dont l'amplitude est donnée et qui satisfait aux conditions données.
39)\(\quad \vecs v=⟨7,−1,3⟩, \, ‖\vecs u‖=10\),\(\vecs u\) et\(\vecs v\) ont la même direction
- Réponse
- \(\vecs u=⟨\frac{70\sqrt{59}}{59},−\frac{10\sqrt{59}}{59},\frac{30\sqrt{59}}{59}⟩\)
40)\(\quad \vecs v=⟨2,4,1⟩,\, ‖\vecs u‖=15\),\(\vecs u\) et\(\vecs v\) ont la même direction
41)\(\quad \vecs v=⟨2\sin t,\, 2\cos t,1⟩, ‖\vecs u‖=2,\vecs u\) et\(\vecs v\) ont des directions opposées pour tout\(t\), où\(t\) est un nombre réel
- Réponse
- \(\vecs u=⟨−\frac{4\sqrt{5}}{5}\sin t,−\frac{4\sqrt{5}}{5}\cos t,−\frac{2\sqrt{5}}{5}⟩\)
42)\(\quad \vecs v=⟨3\sinh t,0,3⟩,\, ‖\vecs u‖=5\),\(\vecs u\) et\(\vecs v\) ont des directions opposées pour tout\(t\), où\(t\) est un nombre réel
43) Déterminer un vecteur de magnitude\(5\) dans la direction du vecteur\(\vecd{AB}\), où\(A(2,1,5)\) et\(B(3,4,−7).\)
- Réponse
- \(⟨\frac{5\sqrt{154}}{154},\frac{15\sqrt{154}}{154},−\frac{30\sqrt{154}}{77}⟩\)
44) Trouvez un vecteur de magnitude\(2\) qui pointe dans la direction opposée au vecteur\(\vecd{AB}\), où\(A(−1,−1,1)\) et\(B(0,1,1).\) Exprimez la réponse sous forme de composant.
45) Considérez les points\(A(2,α,0), \, B(0,1,β),\) et\(C(1,1,β)\), où\(α\) et\(β\) sont des nombres réels négatifs. Trouvez\(α\) et faites en\(β\) sorte que\(\|\vecd{OA}−\vecd{OB}+\vecd{OC}\|=\|\vecd{OB}\|=4.\)
- Réponse
- \(α=−\sqrt{7}, \,β=−\sqrt{15}\)
46) Considérez les points\(A(α,0,0),\,B(0,β,0),\) et les\(C(α,β,β),\) endroits où\(α\) et\(β\) sont des nombres réels positifs. Trouvez\(α\) et faites en\(β\) sorte que\(\|\overline{OA}+\overline{OB}\|=\sqrt{2}\) et\(\|\overline{OC}\|=\sqrt{3}\).
47)\(P(x,y,z)\) Soit un point situé à égale distance des points\(A(1,−1,0)\) et\(B(−1,2,1)\). Afficher que le point\(P\) se trouve sur le plan de l'équation\(−2x+3y+z=2.\)
48)\(P(x,y,z)\) Soit un point situé à égale distance de l'origine et du point\(A(4,1,2)\). Afficher que les coordonnées du point P satisfont à l'équation\(8x+2y+4z=21.\)
49) Les points A\(A,B,\) et\(C\) sont colinéaires (dans cet ordre) si la relation\({\|\vecd{AB}\|+\|\vecd{BC}\|=\|\vecd{AC}\|}\) est satisfaite. Montrez cela\(A(5,3,−1),\, B(−5,−3,1),\) et\(C(−15,−9,3)\) sont des points colinéaires.
50) Montrez que les points\(A(1,0,1), \, B(0,1,1),\) et ne\(C(1,1,1)\) sont pas colinéaires.
51) [T] Une force\(\vecs F\) d'\(50 \,N\)agit sur une particule dans la direction du vecteur\(\vecd{OP}\), où\(P(3,4,0).\)
a. Exprime la force sous forme de vecteur sous forme de composant.
b. Détermine l'angle entre la force\(\vecs F\) et la direction positive de l'\(x\)axe. Exprime la réponse en degrés arrondis à l'entier le plus proche.
- Réponse
- \(a. \vecs F=⟨30,40,0⟩; \quad b. 53°\)
52) [T] Une force\(\vecs F\) d'\(40\,N\)agit sur une boîte dans la direction du vecteur\(\vecd{OP}\), où\(P(1,0,2).\)
a. Exprimez la force sous forme de vecteur en utilisant des vecteurs unitaires standard.
b. Détermine l'angle entre la force\(\vecs F\) et la direction positive de l'\(x\)axe.
53) S'il s'\(\vecs F\)agit d'une force qui déplace un objet d'un point\(P_1(x_1,y_1,z_1)\) vers un autre point\(P_2(x_2,y_2,z_2)\), alors le vecteur de déplacement est défini comme\( \vecs D=(x_2−x_1)\hat{\mathbf i}+(y_2−y_1)\hat{\mathbf j}+(z_2−z_1)\hat{\mathbf k}\). Un récipient métallique est soulevé\(10\) verticalement par une force constante\(\vecs F\). Exprimez le vecteur de déplacement à\(\vecs D\) l'aide de vecteurs unitaires standard.
- Réponse
- \(\vecs D=10\hat{\mathbf k}\)
54) Une boîte est tirée\(4\) yd horizontalement dans la\(x\) direction -par une force constante\( \vecs F\). Trouvez le vecteur de déplacement sous forme de composant.
55) La somme des forces agissant sur un objet est appelée force résultante ou force nette. Un objet est considéré comme étant en équilibre statique si la force résultante des forces qui agissent sur lui est nulle. \(\vecs F_3=⟨10,−3,−9⟩\)Soit\(\vecs F_1=⟨10,6,3⟩, \vecs F_2=⟨0,4,9⟩\) trois forces agissant sur une boîte. Trouvez la force\(\vecs F_4\) agissant sur la boîte de telle sorte que la boîte soit en équilibre statique. Exprimez la réponse sous forme de composant.
- Réponse
- \(\vecs F_4=⟨−20,−7,−3⟩\)
56) [T]\(\vecs F_k=⟨1,k,k^2⟩, k=1,...,n\) Soit\(n\) des forces agissant sur une particule, avec\(n≥2.\)
a. Trouvez la force nette\(\vecs F=\sum_{k=1}^n\vecs F_k.\) Exprimez la réponse à l'aide de vecteurs unitaires standard.
b. Utilisez un système d'algèbre informatique (CAS) pour trouver un\(n\) tel que\(\|\vecs F\|<100.\)
57) La force de gravité\( \vecs F\) agissant sur un objet est donnée par\( \vecs F=m\vecs g\), où\(m\) est la masse de l'objet (exprimée en kilogrammes) et\(\vecs g\) son accélération résultant de la gravité, avec\( \|\vecs g\|=9.8 \,N/kg.\) une boule disco de 2 kg suspendue par une chaîne au plafond d'une pièce.
a. Déterminez la force de gravité\(\vecs F\) agissant sur la boule à facettes et déterminez son ampleur.
b. Déterminez la force de tension\(\vecs T\) dans la chaîne et son ampleur.
Exprimez les réponses à l'aide de vecteurs unitaires standard.
- Réponse
- \(a. \vecs F=−19.6\hat{\mathbf k}, \quad \|\vecs F\|=19.6 \,N\)
\(b. \vecs T=19.6\hat{\mathbf k}, \quad \|\vecs T\|=19.6 \,N\)
58) Un lustre suspendu de 5 kg est conçu de telle sorte que le bol en albâtre soit maintenu par quatre chaînes de même longueur, comme le montre la figure suivante.
a. Déterminez l'ampleur de la force de gravité agissant sur le lustre.
b. Déterminez les amplitudes des forces de tension pour chacune des quatre chaînes (supposons que les chaînes sont essentiellement verticales).
59) [T] Un bloc de ciment de 30 kg est suspendu par trois câbles de même longueur ancrés aux points\(P(−2,0,0), Q(1,\sqrt{3},0),\) et\(R(1,−\sqrt{3},0)\). La charge est située à\(S(0,0,−2\sqrt{3})\), comme le montre la figure suivante. \(\vecs F_3\)Soit\(\vecs F_1, \vecs F_2\) les forces de tension résultant de la charge dans les câbles\(RS,QS,\) et\(PS,\) respectivement.
a. Déterminez la force gravitationnelle\(\vecs F\) agissant sur le bloc de ciment qui contrebalance la somme\(\vecs F_1+\vecs F_2+\vecs F_3\) des forces de tension dans les câbles.
b. Trouvez des forces\(\vecs F_1, \vecs F_2,\) et\( \vecs F_3\). Exprimez la réponse sous forme de composant.
- Réponse
- a.\(\vecs F=−294\hat{\mathbf k}\) N ;
b.\(\vecs F_1=⟨−\frac{49\sqrt{3}}{3},49,−98⟩, \vecs F_2=⟨−\frac{49\sqrt{3}}{3},−49,−98⟩\), et\(\vecs F_3=⟨\frac{98\sqrt{3}}{3},0,−98⟩\) (chaque composante est exprimée en newtons)
60) Deux joueurs de football s'entraînent pour un prochain match. L'une d'elles court 10 m du point A au point B. Elle tourne ensuite à gauche\(90°\) et court 10 m jusqu'au point C. Ensuite, elle lance le ballon à une vitesse de 10 m/sec à un angle ascendant par rapport\(45°\) à sa coéquipière, qui se trouve au point A. Écrivez la vitesse du ballon sous forme de composante.
61)\(\vecs r(t)=⟨x(t),\, y(t), \, z(t)⟩\) Soit le vecteur de position d'une particule à l'époque\(t∈[0,T]\), où\(x,y,\) et\(z\) sont des fonctions lisses activées\([0,T]\). La vitesse instantanée de la particule dans le temps\(t\) est définie par un vecteur\(\vecs v(t)=⟨x'(t), \, y'(t), \, z'(t)⟩\), avec des composantes qui sont les dérivées par rapport à\(t\)\(x, y\), des fonctions et\(z\), respectivement. L'amplitude\(∥\vecs v(t)∥\) du vecteur de vitesse instantanée est appelée vitesse de la particule dans le temps\(t\). Vecteur\(\vecs a(t)=⟨x''(t), \, y''(t), \, z''(t)⟩\), dont les composantes sont les dérivées secondes par rapport à\(t\), des fonctions\(x,y,\) et\(z\), respectivement, donne l'accélération de la particule dans le temps\(t\). Considérez\(\vecs r(t)=⟨\cos t,\, \sin t, \, 2t⟩\) le vecteur de position d'une particule à un moment\(t∈[0,30],\) où les composants de\(\vecs r\) sont exprimés en centimètres et le temps est exprimé en secondes.
a. Déterminez la vitesse, la vitesse et l'accélération instantanées de la particule après la première seconde. Arrondissez votre réponse à deux décimales.
b. Utilisez un CAS pour visualiser la trajectoire de la particule, c'est-à-dire l'ensemble de tous les points de coordonnées\((\cos t,\sin t,2t),\) où\(t∈[0,30].\)
- Réponse
- \(a. \vecs v(1)=⟨−0.84,0.54,2⟩\)(chaque composante est exprimée en centimètres par seconde) ;\(∥\vecs v(1)∥=2.24\) (exprimée en centimètres par seconde) ;\(\vecs a(1)=⟨−0.54,−0.84,0⟩\) (chaque composante est exprimée en centimètres par seconde au carré) ;
\(b.\)
62) [T]\(\vecs r(t)=⟨t,2t^2,4t^2⟩\) Soit le vecteur de position d'une particule dans le temps\(t\) (en secondes), où\(t∈[0,10]\) (ici les composantes de\(\vecs r\) sont exprimées en centimètres).
a. Déterminez la vitesse, la vitesse et l'accélération instantanées de la particule après les deux premières secondes. Arrondissez votre réponse à deux décimales.
b. Utilisez un CAS pour visualiser la trajectoire de la particule définie par les points\((t, \, 2t^2, \, 4t^2),\) où\(t∈[0, \, 60].\)