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12.1E : Exercices pour la section 12.1

  • Page ID
    197168
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Pour les exercices 1 à 10, considérez les points\(P(−1,3), Q(1,5),\) et\(R(−3,7)\). Déterminez les vecteurs demandés et exprimez chacun d'eux

    a. sous forme de composant et

    b. en utilisant des vecteurs unitaires standard.

    1)\( \vecd{PQ}\)

    Réponse
    a.\(\vecd{PQ}=⟨2,2⟩\)
    b.\(\vecd{PQ}=2\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}\)

    2)\(\vecd{PR}\)

    3)\(\vecd{QP}\)

    Réponse
    a.\(\vecd{QP}=⟨−2,−2⟩\)
    b.\(\vecd{QP}=−2\hat{\mathbf i}−2\hat{\mathbf j}\)

    4)\(\vecd{RP}\)

    5)\(\vecd{PQ}+\vecd{PR}\)

    Réponse
    a.\(\vecd{PQ}+\vecd{PR}=⟨0,6⟩\)
    b.\(\vecd{PQ}+\vecd{PR}=6\hat{\mathbf j}\)

    6)\(\vecd{PQ}−\vecd{PR}\)

    7)\(2\vecd{PQ}−2\vecd{PR}\)

    Réponse
    a.\(2\vecd{PQ}→−2\vecd{PR}=⟨8,−4⟩\)
    b.\(2\vecd{PQ}−2\vecd{PR}=8\hat{\mathbf i}−4\hat{\mathbf j}\)

    8)\(2\vecd{PQ}+\frac{1}{2}\vecd{PR}\)

    9) Le vecteur unitaire dans la direction de\(\vecd{PQ}\)

    Réponse
    a.\(\left\langle\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right\rangle\)
    b.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{\mathbf j}\)

    10) Le vecteur unitaire dans la direction de\(\vecd{PR}\)

    11) Un vecteur\({\overset{\scriptstyle\rightharpoonup}{\mathbf v}}\) possède un point initial\((−1,−3)\) et un point terminal\((2,1)\). Trouvez le vecteur unitaire dans la direction de\(\vecs v\). Exprimez la réponse sous forme de composant.

    Réponse
    \(⟨\frac{3}{5},\frac{4}{5}⟩\)

    12) Un vecteur\(\vecs v\) possède un point initial\((−2,5)\) et un point terminal\((3,−1)\). Trouvez le vecteur unitaire dans la direction de\(\vecs v\). Exprimez la réponse sous forme de composant.

    13) Le vecteur\(\vecs v\) possède un point initial\(P(1,0)\) et un point\(Q\) terminal situés sur l'\(y\)axe -et au-dessus du point initial. Trouvez les coordonnées du point terminal de\(Q\) telle sorte que l'amplitude du vecteur\(\vecs v\) soit\(\sqrt{5}\).

    Réponse
    \(Q(0,2)\)

    14) Le vecteur\(\vecs v\) a un point initial\(P(1,1)\) et un point terminal\(Q\) qui se trouvent sur l'\(x\)axe -et à gauche du point initial. Trouvez les coordonnées du point terminal de\(Q\) telle sorte que l'amplitude du vecteur\(\vecs v\) soit\(\sqrt{10}\).

    Pour les exercices 15 et 16, utilisez les vecteurs\(\vecs a\) et\(\vecs b\).

    a. Déterminez la somme des vecteurs\(\vecs a+\vecs b\) et exprimez-la à la fois sous forme de composante et en utilisant les vecteurs unitaires standard.

    b. Trouvez la différence vectorielle\(\vecs a −\vecs b\) et exprimez-la à la fois sous la forme du composant et en utilisant les vecteurs unitaires standard.

    c. Vérifiez que les vecteurs\(\vecs a, \; \vecs b,\) et\(\vecs a+\vecs b\), respectivement\(\vecs a, \, \vecs b\), et\(\vecs a−\vecs b\) satisfont à l'inégalité du triangle.

    d. Déterminez les vecteurs\(2\vecs a, \;−\vecs b,\) et\(2\vecs a−\vecs b.\) exprimez les vecteurs à la fois sous la forme de composants et en utilisant des vecteurs unitaires standard.

    15)\(\vecs a=2\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}, \quad \vecs b=\hat{\mathbf i}+3\hat{\mathbf j}\)

    Réponse
    \(a.\, \vecs a+\vecs b=⟨3,4⟩, \quad \vecs a+\vecs b=3\hat{\mathbf i}+4\hat{\mathbf j}\)
    \(b.\, \vecs a−\vecs b=⟨1,−2⟩, \quad \vecs a−\vecs b=\hat{\mathbf i}−2\hat{\mathbf j}\)
    \(c.\)Les réponses peuvent varier
    \(d.\, 2\vecs a=⟨4,2⟩, \quad 2\vecs a=4\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}, \quad −\vecs b=⟨−1,−3⟩, \quad −\vecs b=−\hat{\mathbf i}−3\hat{\mathbf j}, \quad 2\vecs a−\vecs b=⟨3,−1⟩, \quad 2\vecs a−\vecs b=3\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}\)

    16)\(\vecs a=2\hat{\mathbf i}, \quad \vecs b=−2\hat{\mathbf i}+2\hat{\mathbf j}\)

    17)\(\vecs a\) Soit un vecteur de position standard avec point terminal\((−2,−4)\). \(\vecs b\)Soit un vecteur avec un point initial\((1,2)\) et un point terminal\((−1,4)\). Trouvez la magnitude du vecteur\(−3\vecs a+\vecs b−4\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}.\)

    Réponse
    \(15\)

    18)\(\vecs a\) Soit un vecteur de position standard avec le point terminal à\((2,5)\). \(\vecs b\)Soit un vecteur avec un point initial\((−1,3)\) et un point terminal\((1,0)\). Trouvez la magnitude du vecteur\(\vecs a−3\vecs b+14\hat{\mathbf i}−14\hat{\mathbf j}.\)

    19)\(\vecs v\) Soit\(\vecs u\) deux vecteurs non nuls qui ne sont pas équivalents. Considérez les vecteurs\(\vecs a=4\vecs u+5\vecs v\) et\(\vecs b=\vecs u+2\vecs v\) définissez-les en termes de\(\vecs u\) et\(\vecs v\). Trouvez le scalaire de\(λ\) telle sorte que les vecteurs\(\vecs a+λ\vecs b\) et\(\vecs u−\vecs v\) soient équivalents.

    Réponse
    \(λ=−3\)

    20)\(\vecs v\) Soit\(\vecs u\) deux vecteurs non nuls qui ne sont pas équivalents. Considérez les vecteurs\(\vecs a=2\vecs u−4\vecs v\) et\(\vecs b=3\vecs u−7\vecs v\) définissez-les en termes de\(\vecs u\) et\(\vecs v\). Trouvez les scalaires\(α\) et les vecteurs\(α\vecs a+β\vecs b\) de ce\(β\) type qui\(\vecs u−\vecs v\) sont équivalents.

    21) Considérez le vecteur\(\vecs a(t)=⟨\cos t, \sin t⟩\) avec des composantes qui dépendent d'un nombre réel\(t\). À mesure que le nombre\(t\) varie, les composants\(\vecs a(t)\) changent également, en fonction des fonctions qui les définissent.

    a. Écrivez les vecteurs\(\vecs a(0)\) et\(\vecs a(π)\) sous forme de composants.

    b. Montrez que l'amplitude\(∥\vecs a(t)∥\) du vecteur\(\vecs a(t)\) reste constante pour n'importe quel nombre réel\(t\).

    c. Comme\(t\) variable, montrez que le point terminal du vecteur\(\vecs a(t)\) décrit un cercle centré à l'origine du rayon\(1\).

    Réponse
    \(a.\, \vecs a(0)=⟨1,0⟩, \quad \vecs a(π)=⟨−1,0⟩\)
    \(b.\)Les réponses peuvent varier Les
    \(c.\) réponses peuvent varier

    22) Considérez un vecteur\(\vecs a(x)=⟨x,\sqrt{1−x^2}⟩\) dont les composantes dépendent d'un nombre réel\(x∈[−1,1]\). À mesure que le nombre\(x\) varie, les composants\(\vecs a(x)\) changent également, en fonction des fonctions qui les définissent.

    a. Écrivez les vecteurs\(\vecs a(0)\) et\(\vecs a(1)\) sous forme de composants.

    b. Montrez que l'amplitude\(∥\vecs a(x)∥\) du vecteur\(\vecs a(x)\) reste constante pour n'importe quel nombre réel\(x\).

    c. Comme\(x\) variable, montrez que le point terminal du vecteur\(\vecs a(x)\) décrit un cercle centré à l'origine du rayon\(1\).

    23) Afficher que les vecteurs\(\vecs a(t)=⟨\cos t, \sin t⟩\) et\(\vecs a(x)=⟨x,\sqrt{1−x^2}⟩\) sont équivalents pour\(x=1\) et\(t=2kπ\), où\(k\) est un entier.

    Réponse Les réponses peuvent varier

    24) Afficher que les vecteurs\(\vecs a(t)=⟨\cos t, \sin t⟩\) et\(\vecs a(x)=⟨x,\sqrt{1−x^2}⟩\) sont opposés à\(x=1\) et\(t=π+2kπ\), où\(k\) est un entier.

    Pour les exercices 25 à 28, trouvez un vecteur\(\vecs v\) avec la magnitude donnée et dans la même direction que le vecteur\(\vecs u\).

    25)\(\|\vecs v\|=7, \quad \vecs u=⟨3,4⟩\)

    Réponse
    \(\vecs v=⟨\frac{21}{5},\frac{28}{5}⟩\)

    (26)\(‖\vecs v‖=3,\quad \vecs u=⟨−2,5⟩\)

    (27)\(‖\vecs v‖=7,\quad \vecs u=⟨3,−5⟩\)

    Réponse
    \(\vecs v=⟨\frac{21\sqrt{34}}{34},−\frac{35\sqrt{34}}{34}⟩\)

    (28)\(‖\vecs v‖=10,\quad \vecs u=⟨2,−1⟩\)

    Pour les exercices 29 à 34, trouvez la forme constitutive du vecteur\(\vecs u\), compte tenu de sa magnitude et de l'angle que le vecteur fait avec l'\(x\)axe positif. Donnez des réponses exactes lorsque cela est possible.

    (29)\(‖\vecs u‖=2, θ=30°\)

    Réponse
    \(\vecs u=⟨\sqrt{3},1⟩\)

    (30)\(‖\vecs u‖=6, θ=60°\)

    31)\(‖\vecs u‖=5, θ=\frac{π}{2}\)

    Réponse
    \(\vecs u=⟨0,5⟩\)

    32)\(‖\vecs u‖=8, θ=π\)

    33)\(‖\vecs u‖=10, θ=\frac{5π}{6}\)

    Réponse
    \(\vecs u=⟨−5\sqrt{3},5⟩\)

    34)\(‖\vecs u‖=50, θ=\frac{3π}{4}\)

    Pour les exercices 35 et 36, un vecteur\(\vecs u\) est donné. Détermine l'angle\(θ∈[0,2π)\) que\(\vecs u\) fait le vecteur avec la direction positive de l'\(x\)axe -, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

    35)\(\vecs u=5\sqrt{2}\hat{\mathbf i}−5\sqrt{2}\hat{\mathbf j}\)

    Réponse
    \(θ=\frac{7π}{4}\)

    36)\(\vecs u=−\sqrt{3}\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}\)

    37)\(\vecs a=⟨a_1,a_2⟩, \vecs b=⟨b_1,b_2⟩\)\(\vecs c =⟨c_1,c_2⟩\) Soit trois vecteurs non nuls. Si\(a_1b_2−a_2b_1≠0\), alors montrez qu'il y a deux scalaires,\(α\) et\(β\), tels que\(\vecs c=α\vecs a+β\vecs b.\)

    Réponse Les réponses peuvent varier

    38) Considérez\(\vecs a=⟨2,−4⟩, \vecs b=⟨−1,2⟩,\) les vecteurs et\(\vecs c =\vecs 0\) déterminez les scalaires\(α\) et\(β\) tels que\(\vecs c=α\vecs a+β\vecs b\).

    39)\(P(x_0,f(x_0))\) Soit un point fixe sur le graphe de la fonction dérivable\(f\) avec un domaine qui est l'ensemble des nombres réels.

    a. Déterminez le nombre réel de\(z_0\) telle sorte que le point\(Q(x_0+1,z_0)\) soit situé sur la droite tangente\(f\) au graphe du point\(P\).

    b. Déterminez le vecteur unitaire\(\vecs u\) avec le point initial\(P\) et le point terminal\(Q\).

    Réponse
    \(a. \quad z_0=f(x_0)+f′(x_0); \quad b. \quad \vecs u=\frac{1}{\sqrt{1+[f′(x_0)]^2}}⟨1,f′(x_0)⟩\)

    40) Considérez la fonction\(f(x)=x^4,\)\(x∈R\).

    a. Déterminez le nombre réel de\(z_0\) telle sorte que le point\(Q(2,z_0)\) soit situé sur la droite tangente\(f\) au graphe du point\(P(1,1)\).

    b. Déterminez le vecteur unitaire\(\vecs u\) avec le point initial\(P\) et le point terminal\(Q\).

    41) Considérez\(f\) et\(g\) deux fonctions définies sur le même ensemble de nombres réels\(D\). \(\vecs b=⟨x,g(x)⟩\)Soit\(\vecs a=⟨x,f(x)⟩\) deux vecteurs qui décrivent les graphes des fonctions, où\(x∈D\). Montrez que si les graphes des fonctions\(f\) et B\(g\) ne se croisent pas, alors les vecteurs\(\vecs a\) et ne\(\vecs b\) sont pas équivalents.

    42) Trouvez\(x∈R\) des vecteurs\(\vecs a=⟨x, \sin x⟩\) et\(\vecs b=⟨x, \cos x⟩\) des équivalents.

    43) Calculez les coordonnées du point de\(D\) telle sorte qu'\(ABCD\)il s'agisse d'un parallélogramme\(A(1,1), B(2,4)\), avec et\(C(7,4)\).

    Réponse
    \(D(6,1)\)

    44) Considérez les points\(A(2,1), B(10,6), C(13,4)\), et\(D(16,−2)\). Déterminez la forme du composant du vecteur\(\vecd{AD}\).

    45) La vitesse d'un objet est l'amplitude de son vecteur de vitesse associé. Un ballon de football lancé par un quarterback a une vitesse initiale de\(70\) mph et un angle d'élévation de\(30°\). Déterminez le vecteur de vitesse en mph et exprimez-le sous forme de composante. (Arrondir à deux décimales.)

    Réponse
    \(⟨60.62,35⟩\)

    46) Un joueur de baseball lance une balle de baseball à un angle égal\(30°\) à l'horizontale. Si la vitesse initiale de la balle est de\(100\) mph, trouvez les composantes horizontale et verticale du vecteur de vitesse initial de la balle de baseball. (Arrondir à deux décimales.)

    47) Une balle est tirée à une vitesse initiale de\(1500\) pieds/seconde à un angle égal\(60°\) à l'horizontale. Déterminez les composantes horizontale et verticale du vecteur de vitesse de la balle. (Arrondir à deux décimales.)

    Réponse
    Les composantes horizontale et verticale sont respectivement en\(750\) pieds par seconde et\(1299.04\) en pieds par seconde.

    48) [T] Un sprinteur de 65 kg exerce une force de\(798\) N\(19°\) inclinée par rapport au sol sur le bloc de départ au moment où une course commence. Déterminez la composante horizontale de la force. (Arrondir à deux décimales.)

    49) [T] Deux forces, une force horizontale de\(45\) lb et une autre de\(52\) lb, agissent sur le même objet. L'angle entre ces forces est\(25°\). Détermine l'amplitude et l'angle de direction à partir de\(x\) l'axe positif de la force résultante qui agit sur l'objet. (Arrondir à deux décimales.)

    Réponse
    L'amplitude de la force résultante est\(94.71\) lb ; l'angle de direction est\(13.42°\).

    50) [T] Deux forces, une force verticale de\(26\) lb et une autre de\(45\) lb, agissent sur le même objet. L'angle entre ces forces est\(55°\). Détermine l'amplitude et l'angle de direction à partir de\(x\) l'axe positif de la force résultante qui agit sur l'objet. (Arrondir à deux décimales.)

    51) [T] Trois forces agissent sur l'objet. Deux des forces ont les magnitudes\(58\) N et\(27\) N et forment des angles\(53°\) et\(152°\), respectivement, avec l'\(x\)axe positif. Détermine l'amplitude et l'angle de direction à partir de l'\(x\)axe positif de la troisième force de telle sorte que la force résultante agissant sur l'objet soit nulle. (Arrondir à deux décimales.)

    Réponse
    L'amplitude du troisième vecteur est\(60.03\) N ; l'angle de direction est\(259.38°\).

    52) Trois forces d'une magnitude de 80 livres, 120 livres et 60 livres agissent sur un objet à des angles\(45°, 60°\) et\(30°\), respectivement, avec l'\(x\)axe positif. Détermine l'amplitude et l'angle de direction à partir de\(x\) l'axe positif de la force résultante. (Arrondir à deux décimales.)

    53) [T] Un avion vole dans la direction de\(43°\) l'est ou du nord (également abrégé\(N43E\) en\(550\) mi/h). Un vent avec une vitesse\(25\) mph vient du sud-ouest à une altitude de\(N15E\). Quelles sont la vitesse au sol et la nouvelle direction de l'avion ?

    Réponse
    La nouvelle vitesse au sol de l'avion est de\(572.19\) mph ; la nouvelle direction est\(N41.82E.\)

    54) [T] Un bateau se déplace dans l'eau à\(30\) mi/h dans la direction de\(N20E\) (c'est-à-dire de l'est du\(20°\) nord). Un fort courant se déplace à\(15\) mph dans la direction de\(N45E\). Quelles sont la nouvelle vitesse et la nouvelle direction du bateau ?

    55) [T] Un poids de 50 livres est suspendu à un câble de telle sorte que les deux parties du câble forment des angles\(40°\) et\(53°\), respectivement, avec l'horizontale. Déterminez les amplitudes des forces de tension\(\vecs T_1\) et des forces\(\vecs T_2\) dans les câbles si la force résultante agissant sur l'objet est nulle. (Arrondir à deux décimales.)

    Réponse
    \(\|\vecs T_1\|=30.13 \, lb, \quad \|\vecs T_2\|=38.35 \, lb\)

    56) [T] Un poids de 62 livres est suspendu à une corde qui fait les angles\(29°\) et\(61°\), respectivement, avec l'horizontale. Déterminez les amplitudes des forces de tension\(\vecs T_1\) et des forces\(\vecs T_2\) dans les câbles si la force résultante agissant sur l'objet est nulle. (Arrondir à deux décimales.)

    57) [T] Un bateau de 1 500 livres est garé sur une rampe qui fait un angle\(30°\) avec l'horizontale. Le vecteur de poids du bateau pointe vers le bas et est la somme de deux vecteurs : un vecteur\(\vecs v_1\) horizontal parallèle à la rampe et un vecteur\(\vecs v_2\) vertical perpendiculaire à la surface inclinée. Les magnitudes des vecteurs\(\vecs v_1\) et\(\vecs v_2\) sont les composantes horizontale et verticale, respectivement, du vecteur de poids du bateau. Trouvez les magnitudes de\(\vecs v_1\) et\(\vecs v_2\). (Arrondir à l'entier le plus proche.)

    Réponse
    \(\|\vecs v_1\|=750 \, lb, \quad \|\vecs v_2\|=1299 \, lb\)

    58) [T] Une boîte de 85 livres repose sur une\(26°\) pente. Déterminez l'amplitude de la force parallèle à l'inclinaison nécessaire pour empêcher la boîte de glisser. (Arrondir à l'entier le plus proche.)

    59) Un hauban soutient un poteau d'un mètre\(75\) de haut. Une extrémité du fil est fixée au sommet du poteau et l'autre extrémité est ancrée au sol à\(50\) pieds de la base du poteau. Déterminez les composantes horizontale et verticale de la force de tension dans le fil si son amplitude est en\(50\) livres (arrondie à l'entier le plus proche).

    Réponse
    Les deux composantes horizontale et verticale de la force de tension sont\(28\) lb et\(42\) lb, respectivement.

    60) Le hauban d'un poteau téléphonique a un angle\(35°\) d'élévation par rapport au sol. La force de tension dans le hauban est en\(120\) livres. Déterminez les composantes horizontale et verticale de la force de tension. (Arrondir à l'entier le plus proche.)