7.7E : Exercices pour la section 7.7

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Dans les exercices 1 à 8, évaluez les intégrales suivantes. Si l'intégrale n'est pas convergente, répondez « Elle diverge ».

1)\(\displaystyle ∫^4_2\frac{dx}{(x−3)^2}\)

Réponse: Elle diverge.

2)\(\displaystyle ∫^∞_0\frac{1}{4+x^2}\,dx\)

3)\(\displaystyle ∫^2_0\frac{1}{\sqrt{4−x^2}}\,dx\)

Réponse: Converge vers\(\frac{π}{2}\)

4)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{x\ln x}\,dx\)

5)\(\displaystyle ∫^∞_1xe^{−x}\,dx\)

Réponse: Converge vers\(\frac{2}{e}\)

6)\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{x}{x^2+1}\,dx\)

7) Sans intégration, déterminez si l'intégrale\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\,dx\) converge ou diverge en comparant la fonction\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}}\) avec\(g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^3}}\).

Réponse: Elle converge.

8) Sans intégration, déterminez si l'intégrale\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx\) converge ou diverge.

Dans les exercices 9 à 25, déterminez si les intégrales incorrectes convergent ou divergent. Si possible, déterminez la valeur des intégrales qui convergent.

9)\(\displaystyle ∫^∞_0e^{−x}\cos x\,dx\)

Réponse: Converge vers\(\frac{1}{2}\).

10)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{\ln x}{x}\,dx\)

11)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx\)

Réponse: Converge vers\(-4\).

(12)\(\displaystyle ∫^1_0\ln x\,dx\)

13)\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{1}{x^2+1}\,dx\)

Réponse: Converge vers\(π\).

(14)\(\displaystyle ∫^5_1\frac{dx}{\sqrt{x−1}}\)

15)\(\displaystyle ∫^2_{−2}\frac{dx}{(1+x)^2}\)

Réponse: Elle diverge.

16)\(\displaystyle ∫^∞_0e^{−x}\,dx\)

17)\(\displaystyle ∫^∞_0\sin x\,dx\)

Réponse: Elle diverge.

18)\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx\)

19)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}\)

Réponse: Converge vers\(1.5\).

(20)\(\displaystyle ∫^2_0\frac{dx}{x^3}\)

(21)\(\displaystyle ∫^2_{−1}\frac{dx}{x^3}\)

Réponse: Elle diverge.

(22)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\)

23)\(\displaystyle ∫^3_0\frac{1}{x−1}\,dx\)

Réponse: Elle diverge.

(24)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{5}{x^3}\,dx\)

25)\(\displaystyle ∫^5_3\frac{5}{(x−4)^2}\,dx\)

Réponse: Elle diverge.

Dans les exercices 26 et 27, déterminez la convergence de chacune des intégrales suivantes par comparaison avec l'intégrale donnée. Si l'intégrale converge, trouvez le nombre vers lequel elle converge.

26)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{x^2+4x};\) comparer avec\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{x^2}\).

27)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{\sqrt{x}+1};\) comparer avec\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{2\sqrt{x}}\).

Réponse: Les deux intégrales divergent.

Dans les exercices 28 à 38, évaluez les intégrales. Si l'intégrale diverge, répondez « Elle diverge ».

(28)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{x^e}\)

(29)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{x^π}\)

Réponse: Elle diverge.

(30)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{\sqrt{1−x}}\)

31)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{1−x}\)

Réponse: Elle diverge.

32)\(\displaystyle ∫^0_{−∞}\frac{dx}{x^2+1}\)

33)\(\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\)

Réponse: Converge vers\(π\).

34)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{\ln x}{x}\,dx\)

35)\(\displaystyle ∫^e_0\ln(x)\,dx\)

Réponse: Converge vers\(0\).

36)\(\displaystyle ∫^∞_0xe^{−x}\,dx\)

(37)\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx\)

Réponse: Converge vers\(0\).

38)\(\displaystyle ∫^∞_0e^{−x}\,dx\)

Dans les exercices 39 à 44, évaluez les intégrales incorrectes. Chacune de ces intégrales présente une discontinuité infinie soit à une extrémité, soit à un point intérieur de l'intervalle.

39)\(\displaystyle ∫^9_0\frac{dx}{\sqrt{9−x}}\)

Réponse: Converge vers\(6\).

40)\(\displaystyle ∫^1_{−27}\frac{dx}{x^{2/3}}\)

41)\(\displaystyle ∫^3_0\frac{dx}{\sqrt{9−x^2}}\)

Réponse: Converge vers\(\frac{π}{2}\).

(42)\(\displaystyle ∫^{24}_6\frac{dt}{t\sqrt{t^2−36}}\)

43)\(\displaystyle ∫^4_0x\ln(4x)\,dx\)

Réponse: Converge vers\(8\ln(16)−4\).

44)\(\displaystyle ∫^3_0\frac{x}{\sqrt{9−x^2}}\,dx\)

45) Évaluez\(\displaystyle ∫^t_{.5}\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}.\) (soyez prudent !) (Exprimez votre réponse à l'aide de trois décimales.)

Réponse: Converge vers environ\(1.047\).

46) Évaluer\(\displaystyle ∫^4_1\frac{dx}{\sqrt{x^2−1}}.\) (Exprimer la réponse sous une forme exacte.)

47) Évaluer\(\displaystyle ∫^∞_2\frac{dx}{(x^2−1)^{3/2}}.\)

Réponse: Converge vers\(−1+\frac{2}{\sqrt{3}}\).

48) Déterminez l'aire de la région dans le premier quadrant entre la courbe\(y=e^{−6x}\) et l'\(x\)axe.

49) Détermine l'aire de la région délimitée par la courbe (\(y=\dfrac{7}{x^2},\)l'\(x\)axe -) et, à gauche, par\(x=1.\)

Réponse: \(A = 7.0\)unités. ²

50) Trouvez l'aire sous la courbe\(y=\dfrac{1}{(x+1)^{3/2}},\) délimitée à gauche par\(x=3.\)

51) Trouvez la zone située\(y=\dfrac{5}{1+x^2}\) en dessous dans le premier quadrant.

Réponse: \(A = \dfrac{5π}{2}\)unités. ²

52) Trouvez le volume du solide généré en tournant autour de l'\(x\)axe -la région sous la courbe\(y=\dfrac{3}{x}\) de\(x=1\) à\(x=∞.\)

53) Déterminez le volume du solide généré en tournant autour de l'\(y\)axe -la région située sous la courbe\(y=6e^{−2x}\) dans le premier quadrant.

Réponse: \(V = 3π\,\text{units}^3\)

54) Déterminez le volume du solide généré en tournant autour de l'\(x\)axe -la zone située sous la courbe\(y=3e^{−x}\) dans le premier quadrant.

La transformée de Laplace d'une fonction continue sur l'intervalle\([0,∞)\) est définie par\(\displaystyle F(s)=∫^∞_0e^{−sx}f(x)\,dx\) (voir le Student Project). Cette définition est utilisée pour résoudre certains problèmes de valeur initiale importants dans les équations différentielles, comme nous le verrons plus loin. Le domaine de\(F\) est l'ensemble de tous les nombres réels de telle sorte que l'intégrale impropre converge. Trouvez la transformée\(F\) de Laplace de chacune des fonctions suivantes et indiquez le domaine de\(F\).

55)\(f(x)=1\)

Réponse: \(\dfrac{1}{s},\quad s>0\)

56)\(f(x)=x\)

(57)\(f(x)=\cos(2x)\)

Réponse: \(\dfrac{s}{s^2+4},\quad s>0\)

58)\(f(x)=e^{ax}\)

59) Utilisez la formule de la longueur de l'arc pour montrer que la circonférence du cercle\(x^2+y^2=1\) est\(2π\).

Réponse: Les réponses peuvent varier.

Une fonction est une fonction de densité de probabilité si elle répond à la définition suivante :\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}f(t)\,dt=1\). La probabilité qu'une variable aléatoire\(x\) se situe entre a et b est donnée par\(\displaystyle P(a≤x≤b)=∫^b_af(t)\,dt.\)

60) Montrez qu'il\(\displaystyle f(x)=\begin{cases}0,&\text{if}\,x<0\\7e^{−7x},&\text{if}\,x≥0\end{cases}\) s'agit d'une fonction de densité de probabilité.

61) Trouvez la probabilité\(x\) comprise entre\(0\) et\(0.3\). (Utilisez la fonction définie dans le problème précédent.) Utilisez une précision décimale à quatre décimales.

Réponse: 0,8775