6.7E : Exercices pour la section 6.7

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Dans les exercices 1 à 3, trouvez la dérivée$\dfrac{dy}{dx}$.

1)$y=\ln(2x)$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x}$

2)$y=\ln(2x+1)$

3)$y=\dfrac{1}{\ln x}$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = −\dfrac{1}{x(\ln x)^2}$

Dans les exercices 4 à 5, trouvez l'intégrale indéfinie.

4)$\displaystyle ∫\frac{dt}{3t}$

5)$\displaystyle ∫\frac{dx}{1+x}$

Réponse: $\displaystyle ∫\frac{dx}{1+x} = \ln|x+1|+C$

Dans les exercices 6 à 15, trouvez la dérivée$\dfrac{dy}{dx}.$ (vous pouvez utiliser une calculatrice pour tracer la fonction et la dérivée pour confirmer qu'elle est correcte.)

6) [T]$y=\dfrac{\ln x}{x}$

7) [T]$y=x\ln x$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = \ln(x)+1$

8) [T]$y=\log_{10}x$

9) [T]$y=\ln(\sin x)$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = \cot x$

10) [T]$y=\ln(\ln x)$

11) [T]$y=7\ln(4x)$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = \frac{7}{x}$

12) [T]$y=\ln\big((4x)^7\big)$

13) [T]$y=\ln(\tan x)$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = \csc x\sec x$

14) [T]$y=\ln(\tan 3x)$

15) [T]$y=\ln(\cos^2x)$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = −2\tan x$

Dans les exercices 16 à 25, trouvez l'intégrale définie ou indéfinie.

16)$\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{3+x}$

17)$\displaystyle ∫^1_0\frac{dt}{3+2t}$

Réponse: $\displaystyle ∫^1_0\frac{dt}{3+2t} = \tfrac{1}{2}\ln\left(\tfrac{5}{3}\right)$

18)$\displaystyle ∫^2_0\frac{x}{x^2+1}\, dx$

19)$\displaystyle ∫^2_0\frac{x^3}{x^2+1}\,dx$

Réponse: $\displaystyle ∫^2_0\frac{x^3}{x^2+1}\,dx = 2−\tfrac{1}{2}\ln(5)$

(20)$\displaystyle ∫^e_2\frac{dx}{x\ln x}$

(21)$\displaystyle ∫^e_2\frac{dx}{(x\ln x)^2}$

Réponse: $\displaystyle ∫^e_2\frac{dx}{(x\ln x)^2} = \frac{1}{\ln(2)}−1$

(22)$\displaystyle ∫\frac{\cos x}{\sin x}\, dx$

23)$\displaystyle ∫^{π/4}_0\tan x\,dx$

Réponse: $\displaystyle ∫^{π/4}_0\tan x\,dx = \tfrac{1}{2}\ln(2)$

(24)$\displaystyle ∫\cot(3x)\,dx$

25)$\displaystyle ∫\frac{(\ln x)^2}{x}\, dx$

Réponse: $\displaystyle ∫\frac{(\ln x)^2}{x}\, dx = \tfrac{1}{3}(\ln x)^3$

Dans les exercices 26 à 35, calculez$\dfrac{dy}{dx}$ en différenciant$\ln y$.

(26)$y=\sqrt{x^2+1}$

(27)$y=\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2−1}$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x^3}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2−1}}$

(28)$y=e^{\sin x}$

(29)$y=x^{−1/x}$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = x^{−2−(1/x)}(\ln x−1)$

(30)$y=e^{ex}$

31)$y=x^e$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = ex^{e−1}$

32)$y=x^{(ex)}$

33)$y=\sqrt{x}\sqrt[3]{x}\sqrt[6]{x}$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = 1$

34)$y=x^{−1/\ln x}$

35)$y=e^{−\ln x}$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = −\dfrac{1}{x^2}$

Dans les exercices 36 à 40, évaluez par n'importe quelle méthode.

36)$\displaystyle ∫^{10}_5\dfrac{dt}{t}−∫^{10x}_{5x}\dfrac{dt}{t}$

(37)$\displaystyle ∫^{e^π}_1\dfrac{dx}{x}+∫^{−1}_{−2}\dfrac{dx}{x}$

Réponse: $π−\ln(2)$

38)$\dfrac{d}{dx}\left[\displaystyle ∫^1_x\dfrac{dt}{t}\right]$

39)$\dfrac{d}{dx}\left[\displaystyle ∫^{x^2}_x\dfrac{dt}{t}\right]$

Réponse: $\dfrac{1}{x}$

40)$\dfrac{d}{dx}\Big[\ln(\sec x+\tan x)\Big]$

Dans les exercices 41 à 44, utilisez la fonction$\ln x$. Si vous ne parvenez pas à trouver des points d'intersection de manière analytique, utilisez une calculatrice.

41) Trouvez la zone de la région délimitée par$x=1$ et$y=5$ au-dessus$y=\ln x$.

Réponse: $(e^5−6)\text{ units}^2$

42) [T] Détermine la longueur de l'arc$\ln x$ de$x=1$ à$x=2$.

43) Trouvez la zone comprise entre$\ln x$ et l'$x$axe -de$x=1$ à$x=2$.

Réponse: $\ln(4)−1) \text{ units}^2$

44) Déterminez le volume de la forme créée lorsque vous faites pivoter cette courbe$x=1$ de et$x=2$ autour de l'$x$axe Y, comme illustré ici.

$Cette figure est une surface. Elle a été générée en faisant tourner la courbe ln x autour de l'axe x. La surface se trouve à l'intérieur d'un cube, ce qui indique qu'il est tridimensionnel.$

45) [T] Détermine la surface de la forme créée lors de la rotation de la courbe dans l'exercice précédent de$x=1$ vers$x=2$ autour de l'$x$axe.

Réponse: $2.8656 \text{ units}^2$

Si vous ne parvenez pas à trouver des points d'intersection de manière analytique dans les exercices suivants, utilisez une calculatrice.

46) Détermine l'aire du quart de cercle hyperbolique délimité par$x=2$ et$y=2$ au-dessus$y=1/x.$

47) [T] Détermine la longueur de l'arc$y=1/x$ de$x=1$ à$x=4$.

Réponse: $s = 3.1502$unités

48) Trouvez la zone située sous$y=1/x$ et au-dessus de l'$x$axe -de$x=1$ à$x=4$.

Dans les exercices 49 à 53, vérifiez les dérivés et les antidérivés.

49)$\dfrac{d}{dx}\Big[\ln(x+\sqrt{x^2+1})\Big]=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

50)$\dfrac{d}{dx}\Big[\ln\left(\frac{x−a}{x+a}\right)\Big]=\dfrac{2a}{(x^2−a^2)}$

51)$\dfrac{d}{dx}\Big[\ln\left(\frac{1+\sqrt{1−x^2}}{x}\right)\Big]=−\dfrac{1}{x\sqrt{1−x^2}}$

52)$\dfrac{d}{dx}\Big[\ln(x+\sqrt{x^2−a^2})\Big]=\dfrac{1}{\sqrt{x^2−a^2}}$

53)$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\ln(x)\ln(\ln x)}=\ln|\ln(\ln x)|+C$

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