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6.5E : Exercices pour la section 6.5

  • Page ID
    197200
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
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    Problèmes professionnels de base

    Pour les exercices 1 à 6, trouvez le travail effectué.

    1) Déterminez le travail effectué lorsqu'une force constante\( F=12\) lb déplace une chaise de\( x=0.9\) à\( x=1.1\) pieds.

    2) Combien de travail est effectué lorsqu'une personne soulève une boîte\( 50\) de bandes dessinées sur un camion qui se trouve à\( 3\) quelques pas du sol ?

    Réponse
    \(W = 150\)pi-lb

    3) Quel est le travail effectué pour soulever un enfant de\( 20\) 1 kg du sol jusqu'à une hauteur de\( 2\) m ? (Notez que\( 1\) kg équivaut à\( 9.8\) N)

    4) Trouvez le travail effectué lorsque vous poussez une boîte le long du sol\( 2\) m, lorsque vous appliquez une force constante de\( F=100\) N.

    Réponse
    \(W = 200\)J

    5) Calculez le travail effectué pour une force\( F=\dfrac{12}{x^2}\) N comprise entre\( x=1\) 0 et\( x=2\) m.

    6) Quel est le travail effectué pour déplacer une particule de\( x=0\) vers\( x=1\) m si la force qui agit sur elle est\( F=3x^2\) N ?

    Réponse
    \(W = 1\)J

    Problèmes de densité

    Dans les exercices 7 à 11, déterminez la masse de l'objet unidimensionnel.

    7) Un fil qui\(2\) mesure un pied de long (à partir de\(x=0\)) et dont la fonction de densité est de\(ρ(x)=x^2+2x\) lb/ft

    8) Une antenne de voiture qui\(3\) mesure un pied de long (à partir de\(x=0)\) et a une fonction de densité de\(ρ(x)=3x+2\) lb/ft)

    Réponse
    \( \frac{39}{2}\)

    9) Une tige métallique d'une longueur d'un\( 8\) pouce (à partir de\( x=0\)) et dont la fonction de densité est de\( ρ(x)=e^{1/2x}\) lb/in.

    10) Un crayon d'une longueur d'un pouce (à partir de\( x=2\)) et dont la fonction de densité est de\( ρ(x)=\dfrac{5}{x}\) oz/in.\( 4\)

    Réponse
    \( \ln(243)\)

    11) Une règle qui mesure\( 12\) en pouces de long (à partir de\( x=5\)) et dont la fonction de densité est de\( ρ(x)=\ln(x)+(1/2)x^2\) oz/in.

    Dans les exercices 12 à 16, déterminez la masse de l'objet bidimensionnel centré à l'origine.

    12) Une rondelle de hockey surdimensionnée d'un rayon d'un\( 2\) pouce avec fonction de densité\( ρ(x)=x^3−2x+5\)

    Réponse
    \( \frac{332π}{15}\)

    13) Un frisbee de rayon\( 6\) in. avec fonction de densité\( ρ(x)=e^{−x}\)

    14) Une plaque de rayon\( 10\) in. avec fonction de densité\( ρ(x)=1+\cos(πx)\)

    Réponse
    \( 100π\)

    15) Un couvercle de bocal de rayon\( 3\) in. avec fonction de densité\(ρ(x)=\ln(x+1)\)

    16) Un disque de rayon\(5\) cm avec fonction de densité\(ρ(x)=\sqrt{3x}\)

    Réponse
    \(20π\sqrt{15}\)

    Problèmes de travail au printemps

    17) Un ressort de\( 12\) -po est étiré jusqu'en\( 15\) pouces par une force de\( 75\) lb. Quelle est la constante du ressort ?

    18) Un ressort a une longueur naturelle de\( 10\) cm. Il faut\( 2\) J pour étirer le ressort en\( 15\) cm. Combien de travail faudrait-il pour étirer le ressort de\( 15\) cm à\( 20\) cm ?

    Réponse
    \(W = 6\)J

    19) Un ressort\( 1\) -m nécessite que\( 10\) J l'étire jusqu'à\( 1.1\) m. Combien de travail faudrait-il pour étirer le ressort de\( 1\) m à\( 1.2\) m ?

    20) Un ressort nécessite\( 5\) J pour étirer le ressort de\( 8\) cm à\( 12\) cm, et un\( 4\) J supplémentaire pour étirer le ressort de\( 12\) cm à\( 14\) cm. Quelle est la longueur naturelle du ressort ?

    Réponse
    La longueur naturelle est de\( 5\) cm.

    21) Un amortisseur est comprimé de 1 pouce par un poids de 1 tonne. Qu'est-ce que la constante du ressort ?

    22) Une force de\( F=\left(20x−x^3\right)\) N étire un ressort non linéaire de\( x\) mètres. Quels travaux sont nécessaires pour étirer le ressort de 1\( x=0\) à\( x=2\) m ?

    Réponse
    \(W = 36\)J

    Problèmes de fonctionnement des câbles et des chaînes

    23) Trouvez le travail effectué en enroulant un câble suspendu d'une longueur de\( 100\) pieds et d'une densité de poids\( 5\) lb/pi.

    24) Pour le câble de l'exercice précédent, combien de travail est effectué pour soulever le câble d'un\( 50\) pied ?

    Réponse
    \(W = 18,750\)pi-lb

    25) Pour le câble de l'exercice précédent, combien de travail supplémentaire faut-il effectuer en suspendant un\( 200\) poids d'une livre à l'extrémité du câble ?

    Problèmes liés au fonctionnement des pyramides, des satellites et

    26) [T] Une pyramide de hauteur\( 500\) ft a une base carrée\( 800\) pieds par\( 800\) pieds. Trouvez la zone\( A\) en hauteur\( h\). Si le rocher utilisé pour construire la pyramide pèse environ\( w=100\,\text{lb/ft}^3\), combien de travail a-t-il fallu pour soulever tout le rocher ?

    Réponse
    \(W= \frac{32}{3}×10^9\)pi-lb

    27) [T] Pour la pyramide de l'exercice précédent, supposons qu'il y ait\( 1000\) des travailleurs travaillant des\( 10\) heures par jour, des\( 5\) jours par semaine, des\( 50\) semaines par an. Si chacun des travailleurs soulevait en moyenne dix pierres de 100 livres à\( 2\) l'heure, combien de temps a-t-il fallu pour construire la pyramide ?

    28) [T] La force de gravité sur une masse\( m\) est de\( F=−((GMm)/x^2)\) newtons. Pour une fusée de masse\( m=1000\) kg, calculez le travail nécessaire pour soulever la fusée de\( x=6400\) à\( x=6500\) km. (Remarque :\( G=6×10^{−17}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2\) et\( M=6×10^{24}\) kg.)

    Réponse
    \(W = 8.65×10^5\)J

    29) [T] Pour la fusée de l'exercice précédent, trouvez le travail nécessaire pour soulever la fusée de\( x=6400\) à\( x=∞\).

    Force et pression hydrostatiques

    30) [T] Un barrage rectangulaire\(40\) mesure un mètre de haut et un\(60\) mètre de large. Calculez la force totale\(F\) exercée sur le barrage lorsque

    a. la surface de l'eau se trouve au sommet du barrage et

    b. la surface de l'eau se trouve à mi-chemin du barrage.

    Réponse
    a.\(3,000,000\) livre,
    b.\(749,000\) livre

    Problèmes de travail de pompage

    31) [T] Trouvez le travail requis pour pomper toute l'eau d'un cylindre dont la base circulaire a un rayon\( 5\) et une hauteur\( 200\) pieds. Tenez compte du fait que la densité de l'eau est de\( 62\) lb/ft 3.

    32) [T] Déterminez le travail requis pour pomper toute l'eau de la bouteille lors de l'exercice précédent si la bouteille n'est qu'à moitié pleine.

    Réponse
    \(W = 23.25π\)millions de pieds-livres

    33) [T] Combien de travail faut-il pour pomper une piscine si la surface de la base est\(800 \, \text{ft}^2\) telle que l'eau a une profondeur de\(4\) pieds et que le sommet se trouve à\(1\) pieds au-dessus du niveau de l'eau ? Supposons que la densité de l'eau soit de\( 62\) lb/pi3.

    34) Un cylindre de profondeur\(H\) et de section transversale\(A\) est rempli d'eau à densité élevée\(ρ\). Calculez le travail pour pomper toute l'eau vers le haut.

    Réponse
    \(W = \dfrac{AρH^2}{2}\)

    35) Pour la bouteille de l'exercice précédent, calculez le travail nécessaire pour pomper toute l'eau vers le haut si la bouteille n'est qu'à moitié pleine.

    36) Un réservoir en forme de cône a une section transversale qui augmente avec sa profondeur :\( A=\dfrac{πr^2h^2}{H^3}\). Montrez que le travail pour le vider représente la moitié du travail pour un cylindre de même hauteur et de même base.

    Réponse
    Les réponses peuvent varier.