6.4E : Exercices pour la section 6.4
- Page ID
- 197262
Pour les exercices 1 à 3, déterminez la durée des fonctions sur l'intervalle donné.
1)\( y=5x\) du\( x=0\) au\( x=2\)
- Réponse
- \(s = 2\sqrt{26}\)unités
2)\( y=−\frac{1}{2}x+25\) du\( x=1\) au\( x=4\)
3)\( x=4y\) du\( y=−1\) au\( y=1\)
- Réponse
- \( s = 2\sqrt{17}\)unités
4) Choisissez une fonction linéaire arbitraire\( x=g(y)\) sur l'intervalle de votre choix\( (y_1,y_2).\) Déterminez la longueur de la fonction, puis prouvez que la longueur est correcte en utilisant la géométrie.
5) Déterminez la surface du volume généré lorsque la courbe\( y=\sqrt{x}\) tourne autour de l'\(x\)axe -de\( (1,1)\) à\( (4,2)\), comme indiqué ici.
- Réponse
- \(A = \frac{π}{6}(17\sqrt{17}−5\sqrt{5})\)unités 2
6) Trouvez la surface du volume généré lorsque la courbe\( y=x^2\) tourne autour de l'\(y\)axe -de\( (1,1)\) à\( (3,9)\).
Pour les exercices 7 à 16, trouvez la longueur des fonctions de\(x\) sur l'intervalle donné. Si vous ne pouvez pas évaluer exactement l'intégrale, utilisez la technologie pour l'approximer.
7)\( y=x^{3/2}\) du\( (0,0)\) au\( (1,1)\)
- Réponse
- \(s= \frac{13\sqrt{13}−8}{27}\)unités
8)\( y=x^{2/3}\) du\( (1,1)\) au\( (8,4)\)
9)\( y=\frac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}\) du\( x=0\) au\( x=1\)
- Réponse
- \(s= \frac{4}{3}\)unités
10)\( y=\frac{1}{3}(x^2−2)^{3/2}\) du\( x=2\) au\( x=4\)
11) [T]\( y=e^x\)\( x=0\) sur\( x=1\)
- Réponse
- \(s \approx 2.0035\)unités
12)\( y=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{4x}\) du\( x=1\) au\( x=3\)
13)\( y=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{8x^2}\) du\( x=1\) au\( x=2\)
- Réponse
- \(s= \frac{123}{32}\)unités
14)\( y=\dfrac{2x^{3/2}}{3}−\dfrac{x^{1/2}}{2}\) du\( x=1\) au\( x=4\)
15)\( y=\frac{1}{27}(9x^2+6)^{3/2}\) du\( x=0\) au\( x=2\)
- Réponse
- \(s=10\)unités
16) [T]\( y=\sin x\)\( x=0\) sur\( x=π\)
Pour les exercices 17 à 26, trouvez la longueur des fonctions de\(y\) sur l'intervalle donné. Si vous ne pouvez pas évaluer exactement l'intégrale, utilisez la technologie pour l'approximer.
17)\( y=\dfrac{5−3x}{4}\) du\( y=0\) au\( y=4\)
- Réponse
- \(s= \frac{20}{3}\)unités
18)\( x=\frac{1}{2}(e^y+e^{−y})\) du\( y=−1\) au\( y=1\)
19)\( x=5y^{3/2}\) du\( y=0\) au\( y=1\)
- Réponse
- \(s= \frac{1}{675}(229\sqrt{229}−8)\)unités
20) [T]\( x=y^2\) du\( y=0\) au\( y=1\)
21)\( x=\sqrt{y}\) du\( y=0\) au\( y=1\)
- Réponse
- \(s= \frac{1}{8}(4\sqrt{5}+\ln(9+4\sqrt{5}))\)unités
22)\( x=\frac{2}{3}(y^2+1)^{3/2}\) du\( y=1\) au\( y=3\)
23) [T]\( x=\tan y\) du\( y=0\) au\( y=\frac{3}{4}\)
- Réponse
- \(s \approx 1.201\)unités
24) [T]\( x=\cos^2y\) du\( y=−\frac{π}{2}\) au\( y=\frac{π}{2}\)
25) [T]\( x=4^y\) du\( y=0\) au\( y=2\)
- Réponse
- \(s \approx 15.2341\)unités
26) [T]\( x=\ln(y)\)\( y=\dfrac{1}{e}\) sur\( y=e\)
Pour les exercices 27 à 34, déterminez la surface du volume généré lorsque les courbes suivantes tournent autour de l'\(x\)axe. Si vous ne pouvez pas évaluer exactement l'intégrale, utilisez votre calculatrice pour l'approximer.
27)\( y=\sqrt{x}\) du\( x=2\) au\( x=6\)
- Réponse
- \(A= \frac{49π}{3}\)unités 2
28)\( y=x^3\) du\( x=0\) au\( x=1\)
29)\( y=7x\) du\( x=−1\) au\( x=1\)
- Réponse
- \(A = 70π\sqrt{2}\)unités 2
30) [T]\( y=\frac{1}{x^2}\) du\( x=1\) au\( x=3\)
31)\( y=\sqrt{4−x^2}\) du\( x=0\) au\( x=2\)
- Réponse
- \(A = 8π\)unités 2
32)\( y=\sqrt{4−x^2}\) du\( x=−1\) au\( x=1\)
33)\( y=5x\) du\( x=1\) au\( x=5\)
- Réponse
- \(A = 120π\sqrt{26}\)unités 2
34) [T]\( y=\tan x\) du\( x=−\frac{π}{4}\) au\( x=\frac{π}{4}\)
Pour les exercices 35 à 42, déterminez la surface du volume généré lorsque les courbes suivantes tournent autour de l'\(y\)axe. Si vous ne pouvez pas évaluer exactement l'intégrale, utilisez votre calculatrice pour l'approximer.
35)\( y=x^2\) du\( x=0\) au\( x=2\)
- Réponse
- \(A= \frac{π}{6}(17\sqrt{17}−1)\)unités 2
36)\( y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\) du\( x=0\) au\( x=1\)
37)\( y=x+1\) du\( x=0\) au\( x=3\)
- Réponse
- \(A = 9\sqrt{2}π\)unités 2
38) [T]\( y=\dfrac{1}{x}\) du\( x=\dfrac{1}{2}\) au\( x=1\)
39)\( y=\sqrt[3]{x}\) du\( x=1\) au\( x=27\)
- Réponse
- \(A = \frac{10\sqrt{10}π}{27}(73\sqrt{73}−1)\)unités 2
40) [T]\( y=3x^4\) du\( x=0\) au\( x=1\)
41) [T]\( y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) du\( x=1\) au\( x=3\)
- Réponse
- \(A \approx 25.645\)unités 2
42) [T]\( y=\cos x\) du\( x=0\) au\( x=\frac{π}{2}\)
43) La base d'une lampe est construite en faisant tourner un quart de cercle\( y=\sqrt{2x−x^2}\) autour de l'\(y\)axe -de\( x=1\) à\( x=2\), comme on le voit ici. Créez une intégrale pour la surface de cette courbe et calculez-la.
- Réponse
- \(A = 2π\)unités 2
44) Une ampoule est une sphère d'un rayon\(1/2\) intérieur dont le bas est tranché pour s'adapter exactement à un cylindre de rayon\(1/4\) et de longueur\(1/3\) en pouces, comme on le voit ici. La sphère est découpée en bas pour s'adapter exactement au cylindre, de sorte que le rayon de coupe soit\(1/4\) intégré. Déterminez la surface (sans compter le haut ou le bas du cylindre).
45) [T] Un abat-jour est construit en tournant\( y=1/x\) autour de l'\(x\)axe -de\( y=1\) à\( y=2\), comme on le voit ici. Déterminez la quantité de matériau dont vous aurez besoin pour construire cet abat-jour, c'est-à-dire la surface, avec une précision de quatre décimales.
- Réponse
- \(10.5017\)unités 2
46) [T] Une ancre traîne derrière un bateau selon la fonction\( y=24e^{−x/2}−24\), où\( y\) représente la profondeur sous le bateau et\( x\) la distance horizontale entre l'ancre et l'arrière du bateau. Si l'ancre se\( 23\) trouve à un pied sous le bateau, combien de corde devez-vous tirer pour atteindre l'ancre ? Arrondissez votre réponse à la troisième décimale.
47) [T] Vous construisez un pont qui s'étendra sur\( 10\) pieds. Vous avez l'intention d'ajouter une corde décorative en forme de\( y=5|\sin((xπ)/5)|\), où\( x\) est la distance en pieds d'une extrémité du pont. Découvrez la quantité de corde que vous devez acheter, arrondie au pied le plus proche.
- Réponse
- \( 23\)pieds
Pour l'exercice 48, déterminez la longueur exacte de l'arc pour les problèmes suivants sur l'intervalle donné.
48)\( y=\ln(\sin x)\) du\( x=\frac{π}{4}\) au\( x=\frac{3π}{4}\). (Conseil : rappelez les identités trigonométriques.)
49) Dessinez des graphiques de\(y=x^2, y=x^6\), et\(y=x^{10}\). Car\( y=x^n\), à mesure qu'il\( n\) augmente, formulez une prédiction sur la longueur de l'arc de\( (0,0)\) à\( (1,1)\). Maintenant, calculez les longueurs de ces trois fonctions et déterminez si votre prédiction est correcte.
- Réponse
- \(2\)
50) Comparez les longueurs de la parabole\(x=y^2\) et de la ligne\(x=by\) allant de\((0,0)\) à lorsque\((b^2,b)\) celle-ci\(b\) augmente. Qu'est-ce que tu remarques ?
51) Résolvez pour la longueur\(x=y^2\) de\((0,0)\) à\((1,1)\). Montrez que\( x=\dfrac{y^2}{2}\) de\((0,0)\) à\((2,2)\) est deux fois plus long. Représentez graphiquement les deux fonctions et expliquez pourquoi.
- Réponse
- Les réponses peuvent varier
52) [T] Lequel est le plus long entre\((1,1)\) et\(\left(2,\frac{1}{2}\right)\) : l'hyperbole\(y=\dfrac{1}{x}\) ou le graphique de\(x+2y=3\) ?
53) Expliquez pourquoi la surface est infinie lorsqu'elle\(y=1/x\) pivote autour de\(x\) l'axe\( 1≤x<∞,\) -mais que le volume est fini.
- Réponse
- Pour plus d'informations, consultez Gabriel's Horn.