6.4 : Longueur de l'arc d'une courbe et surface
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- Déterminez la longueur d'une courbe\(y=f(x)\), entre deux points.
- Déterminez la longueur d'une courbe\(x=g(y)\), entre deux points.
- Déterminez la surface d'un solide de révolution.
Dans cette section, nous utilisons des intégrales définies pour déterminer la longueur d'arc d'une courbe. Nous pouvons considérer la longueur de l'arc comme la distance que vous parcourriez si vous marchiez le long de la courbe. De nombreuses applications réelles impliquent la longueur de l'arc. Si une fusée est lancée le long d'une trajectoire parabolique, nous aimerions peut-être connaître la distance parcourue par la fusée. Ou, si une courbe sur une carte représente une route, nous aimerions peut-être savoir jusqu'où nous devons parcourir pour atteindre notre destination.
Nous commençons par calculer la longueur de l'arc des courbes définies en fonction de\( x\), puis nous examinons le même processus pour les courbes définies comme des fonctions de\( y\). (Le processus est identique, avec les rôles de\( x\) et\( y\) inversés.) Les techniques que nous utilisons pour déterminer la longueur d'un arc peuvent être étendues pour déterminer la surface d'une surface de révolution, et nous terminons la section par un examen de ce concept.
Longueur de l'arc de la courbe y = f (x)
Dans les applications d'intégration précédentes, nous avions besoin que la fonction\( f(x)\) soit intégrable, ou tout au plus continue. Cependant, pour le calcul de la longueur de l'arc, nous avons une exigence plus stricte pour\( f(x)\). Ici, nous avons besoin\( f(x)\) d'être différenciable et, de plus,\( f′(x),\) nous avons besoin que sa dérivée soit continue. De telles fonctions, qui ont des dérivées continues, sont appelées lisses. (Cette propriété revient dans les chapitres suivants.)
\( f(x)\)Laissez-vous définir une fonction fluide\( [a,b]\). Nous voulons calculer la longueur de la courbe d'un point\( (a,f(a))\) à l'autre\( (b,f(b))\). Nous commençons par utiliser des segments de ligne pour approximer la longueur de la courbe. Pour\( i=0,1,2,…,n\),\( P={x_i}\) soit une partition régulière de\( [a,b]\). Ensuite, pour\( i=1,2,…,n\), construisez un segment de ligne du point\( (x_{i−1},f(x_{i−1}))\) au point\( (x_i,f(x_i))\). Bien qu'il puisse sembler logique d'utiliser des segments de ligne horizontaux ou verticaux, nous voulons que nos segments de ligne se rapprochent le plus possible de la courbe. La figure\(\PageIndex{1}\) illustre cette construction pour\( n=5\).
Pour nous aider à déterminer la longueur de chaque segment de ligne, nous examinons la variation de la distance verticale ainsi que la variation de la distance horizontale sur chaque intervalle. Comme nous avons utilisé une partition régulière, la variation de la distance horizontale sur chaque intervalle est donnée par\( Δx\). La variation de la distance verticale varie cependant d'un intervalle à l'autre. Nous l'utilisons donc\( Δy_i=f(x_i)−f(x_{i−1})\) pour représenter la variation de la distance verticale au cours de l'intervalle\( [x_{i−1},x_i]\), comme le montre la figure\(\PageIndex{2}\). Notez que certains (ou tous)\( Δy_i\) peuvent être négatifs.
Selon le théorème de Pythagore, la longueur du segment de droite est
\[ \sqrt{(Δx)^2+(Δy_i)^2}. \nonumber \]
Nous pouvons également l'écrire comme
\[ Δx\sqrt{1+((Δy_i)/(Δx))^2}. \nonumber \]
Maintenant, selon le théorème de la valeur moyenne, il existe un point\( x^∗_i∈[x_{i−1},x_i]\) tel que\( f′(x^∗_i)=(Δy_i)/(Δx)\). Ensuite, la longueur du segment de ligne est donnée par
\[ Δx\sqrt{1+[f′(x^∗_i)]^2}. \nonumber \]
En additionnant les longueurs de tous les segments de ligne, nous obtenons
\[\text{Arc Length} ≈\sum_{i=1}^n\sqrt{1+[f′(x^∗_i)]^2}Δx.\nonumber \]
Il s'agit d'une somme de Riemann. Prendre les limites comme\( n→∞,\) nous l'avons fait
\[\begin{align*} \text{Arc Length} &=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n\sqrt{1+[f′(x^∗_i)]^2}Δx \\[4pt] &=∫^b_a\sqrt{1+[f′(x)]^2}dx.\end{align*}\]
Nous résumons ces résultats dans le théorème suivant.
Que\( f(x)\) le fonctionnement se fasse en douceur sur l'intervalle\([a,b]\). Ensuite, la longueur de l'arc de la partie du graphe\( f(x)\) allant du point\( (a,f(a))\) au point\( (b,f(b))\) est donnée par
\[\text{Arc Length}=∫^b_a\sqrt{1+[f′(x)]^2}\,dx. \nonumber \]
Notez que nous intégrons une expression impliquant\( f′(x)\), nous devons donc nous assurer qu'elle\( f′(x)\) est intégrable. C'est pourquoi nous avons besoin\( f(x)\) d'être fluides. L'exemple suivant montre comment appliquer le théorème.
Laissez\( f(x)=2x^{3/2}\). Calculez la longueur de l'arc du graphe\( f(x)\) sur l'intervalle\( [0,1]\). Arrondissez la réponse à la troisième décimale.
Solution
Nous l'avons\( f′(x)=3x^{1/2},\) donc.\( [f′(x)]^2=9x.\) Alors, la longueur de l'arc est
\[\begin{align*} \text{Arc Length} &=∫^b_a\sqrt{1+[f′(x)]^2}dx \nonumber \\[4pt] &= ∫^1_0\sqrt{1+9x}dx. \nonumber \end{align*}\]
Remplacez\( u=1+9x.\) Alors,\( du=9dx.\) Quand\( x=0\), alors\( u=1\), et quand\( x=1\), alors\( u=10\). Ainsi,
\[ \begin{align*} \text{Arc Length} &=∫^1_0\sqrt{1+9x}dx \\[4pt] =\dfrac{1}{9}∫^1_0\sqrt{1+9x}9dx \\[4pt] &= \dfrac{1}{9}∫^{10}_1\sqrt{u}du \\[4pt] &=\dfrac{1}{9}⋅\dfrac{2}{3}u^{3/2}∣^{10}_1 =\dfrac{2}{27}[10\sqrt{10}−1] \\[4pt] &≈2.268units. \end{align*}\]
Laissez\(f(x)=(4/3)x^{3/2}\). Calculez la longueur de l'arc du graphe\( f(x)\) sur l'intervalle\( [0,1]\). Arrondissez la réponse à la troisième décimale.
- Allusion
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Utilisez le processus de l'exemple précédent. N'oubliez pas de modifier les limites de l'intégration.
- Réponse
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\[ \dfrac{1}{6}(5\sqrt{5}−1)≈1.697 \nonumber \]
Bien qu'il soit intéressant de disposer d'une formule pour calculer la longueur d'un arc, ce théorème particulier peut générer des expressions difficiles à intégrer. Nous étudions certaines techniques d'intégration dans Introduction aux techniques d'intégration. Dans certains cas, il se peut que nous devions utiliser un ordinateur ou une calculatrice pour approximer la valeur de l'intégrale.
Laissez\( f(x)=x^2\). Calculez la longueur de l'arc du graphe\( f(x)\) sur l'intervalle\( [1,3]\).
Solution
Nous l'avons\( f′(x)=2x,\) donc.\( [f′(x)]^2=4x^2.\) Ensuite, la longueur de l'arc est donnée par
\[\begin{align*} \text{Arc Length} &=∫^b_a\sqrt{1+[f′(x)]^2}\,dx \\[4pt] &=∫^3_1\sqrt{1+4x^2}\,dx. \end{align*}\]
En utilisant un ordinateur pour approximer la valeur de cette intégrale, nous obtenons
\[ ∫^3_1\sqrt{1+4x^2}\,dx ≈ 8.26815. \nonumber \]
Laissez\( f(x)=\sin x\). Calculez la longueur de l'arc du graphe\( f(x)\) sur l'intervalle\( [0,π]\). Utilisez un ordinateur ou une calculatrice pour obtenir une valeur approximative de l'intégrale.
- Allusion
-
Utilisez le processus de l'exemple précédent.
- Réponse
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\[ \text{Arc Length} ≈ 3.8202 \nonumber \]
Longueur de l'arc de la courbe\(x = g(y)\)
Nous venons de voir comment approximer la longueur d'une courbe avec des segments de droite. Si nous voulons trouver la longueur de l'arc du graphe d'une fonction de\(y\), nous pouvons répéter le même processus, sauf que nous partitionnons l'axe y au lieu de l'axe X. La figure\(\PageIndex{3}\) montre un segment de ligne représentatif.
La longueur du segment de ligne est alors
\[\sqrt{(Δy)^2+(Δx_i)^2}, \nonumber \]
qui peut également être écrit sous la forme
\[Δy\sqrt{1+\left(\dfrac{Δx_i}{Δy}\right)^2}. \nonumber \]
Si nous suivons maintenant le même développement que précédemment, nous obtenons une formule pour la longueur d'arc d'une fonction\(x=g(y)\).
Que\(g(y)\) le fonctionnement se fasse en douceur sur un intervalle\([c,d]\). Ensuite, la longueur de l'arc du graphe\(g(y)\) allant du point\((c,g(c))\) au point\((d,g(d))\) est donnée par
\[\text{Arc Length}=∫^d_c\sqrt{1+[g′(y)]^2}dy. \nonumber \]
\(g(y)=3y^3.\)Calculons la longueur de l'arc du graphe\(g(y)\) sur l'intervalle\([1,2]\).
Solution
Nous l'avons\(g′(y)=9y^2,\) donc.\([g′(y)]^2=81y^4.\) Alors la longueur de l'arc est
\[\begin{align*} \text{Arc Length} &=∫^d_c\sqrt{1+[g′(y)]^2}dy \\[4pt] &=∫^2_1\sqrt{1+81y^4}dy.\end{align*}\]
À l'aide d'un ordinateur pour approximer la valeur de cette intégrale, nous obtenons
\[ ∫^2_1\sqrt{1+81y^4}dy≈21.0277.\nonumber \]
Laissez\(g(y)=1/y\). Calculez la longueur de l'arc du graphe\(g(y)\) sur l'intervalle\([1,4]\). Utilisez un ordinateur ou une calculatrice pour obtenir une valeur approximative de l'intégrale.
- Allusion
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Utilisez le processus de l'exemple précédent.
- Réponse
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\[\text{Arc Length} =3.15018 \nonumber \]
L'aire d'une surface de révolution
Les concepts que nous avons utilisés pour déterminer la longueur d'arc d'une courbe peuvent être étendus pour déterminer la surface d'une surface de révolution. La surface est la surface totale de la couche extérieure d'un objet. Pour les objets tels que les cubes ou les briques, la surface de l'objet est la somme des surfaces de toutes ses faces. Pour les surfaces courbes, la situation est un peu plus complexe. \(f(x)\)Soit une fonction fluide non négative sur l'intervalle\([a,b]\). Nous souhaitons trouver la surface de la surface de révolution créée en faisant tourner le graphique\(y=f(x)\) autour de l'\(x\)axe -, comme indiqué dans la figure suivante.
Comme nous l'avons fait à de nombreuses reprises auparavant, nous allons partitionner l'intervalle\([a,b]\) et approximer la surface en calculant la surface de formes plus simples. Nous commençons par utiliser des segments de droite pour approximer la courbe, comme nous l'avons fait plus tôt dans cette section. Pour\(i=0,1,2,…,n\),\(P={x_i}\) soit une partition régulière de\([a,b]\). Ensuite, pour\(i=1,2,…,n,\) construire un segment de ligne du point\((x_{i−1},f(x_{i−1}))\) au point\((x_i,f(x_i))\). Maintenant, faites pivoter ces segments de ligne autour de l'\(x\)axe -pour générer une approximation de la surface de révolution, comme indiqué dans la figure suivante.
Notez que lorsque chaque segment de ligne tourne autour de l'axe, il produit une bande. Ces bandes sont en fait des morceaux de cônes (imaginez un cornet de crème glacée dont l'extrémité pointue est coupée). Un morceau de cône comme celui-ci s'appelle un tronc de cône.
Pour déterminer la surface de la bande, nous devons déterminer la surface latérale du tronc (la zone de la surface extérieure inclinée du tronc, à l'exclusion des zones des faces supérieure ou inférieure).\(S\) \(r_2\)Soit\(r_1\) les rayons de l'extrémité large et de l'extrémité étroite du tronc, respectivement, et\(l\) soit la hauteur inclinée du tronc, comme indiqué sur la figure suivante.
Nous savons que la surface latérale d'un cône est donnée par
\[\text{Lateral Surface Area } =πrs, \nonumber \]
où\(r\) est le rayon de la base du cône et\(s\) la hauteur de l'inclinaison (Figure\(\PageIndex{7}\)).
Comme un tronc peut être considéré comme un morceau de cône, la surface latérale du tronc est donnée par la surface latérale de l'ensemble du cône moins la surface latérale du cône plus petit (l'extrémité pointue) qui a été découpé (Figure\(\PageIndex{8}\)).
Les sections transversales du petit cône et du grand cône sont des triangles similaires, nous voyons donc que
\[ \dfrac{r_2}{r_1}=\dfrac{s−l}{s} \nonumber \]
En résolvant pour\(s\), nous obtenons =s−ls
\[\begin{align*} \dfrac{r_2}{r_1} &=\dfrac{s−l}{s} \\ r_2s &=r_1(s−l) \\ r_2s &=r_1s−r_1l \\ r_1l &=r_1s−r_2s \\ r_1l &=(r_1−r_2)s \\ \dfrac{r_1l}{r_1−r_2} =s \end{align*}\]
Ensuite, la surface latérale (SA) du tronc est
\[\begin{align*} S &= \text{(Lateral SA of large cone)}− \text{(Lateral SA of small cone)} \\[4pt] &=πr_1s−πr_2(s−l) \\[4pt] &=πr_1(\dfrac{r_1l}{r_1−r_2})−πr_2(\dfrac{r_1l}{r_1−r_2−l}) \\[4pt] &=\dfrac{πr^2_1l}{r^1−r^2}−\dfrac{πr_1r_2l}{r_1−r_2}+πr_2l \\[4pt] &=\dfrac{πr^2_1l}{r_1−r_2}−\dfrac{πr_1r2_l}{r_1−r_2}+\dfrac{πr_2l(r_1−r_2)}{r_1−r_2} \\[4pt] &=\dfrac{πr^2_1}{lr_1−r_2}−\dfrac{πr_1r_2l}{r_1−r_2} + \dfrac{πr_1r_2l}{r_1−r_2}−\dfrac{πr^2_2l}{r_1−r_3} \\[4pt] &=\dfrac{π(r^2_1−r^2_2)l}{r_1−r_2}=\dfrac{π(r_1−r+2)(r1+r2)l}{r_1−r_2} \\[4pt] &= π(r_1+r_2)l. \label{eq20} \end{align*} \]
Utilisons maintenant cette formule pour calculer la surface de chacune des bandes formées en faisant tourner les segments de droite autour du\(x-axis\). Une bande représentative est illustrée dans la figure suivante.
Notez que la hauteur inclinée de ce tronc correspond simplement à la longueur du segment de ligne utilisé pour le générer. Donc, en appliquant la formule de surface, nous avons
\[\begin{align*} S &=π(r_1+r_2)l \\ &=π(f(x_{i−1})+f(x_i))\sqrt{Δx^2+(Δyi)^2} \\ &=π(f(x_{i−1})+f(x_i))Δx\sqrt{1+(\dfrac{Δy_i}{Δx})^2} \end{align*}\]
Maintenant, comme nous l'avons fait lors du développement de la formule de la longueur de l'arc, nous appliquons le théorème de la valeur moyenne pour sélectionner de\(x^∗_i∈[x_{i−1},x_i]\) telle sorte que\(f′(x^∗_i)=(Δy_i)/Δx.\) cela nous donne
\[S=π(f(x_{i−1})+f(x_i))Δx\sqrt{1+(f′(x^∗_i))^2} \nonumber \]
De plus, comme il\(f(x)\) est continu, selon le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un point\(x^{**}_i∈[x_{i−1},x[i]\) tel que \ (f (x^ {**} _i) =( 1/2) [f (xi−1) +f (xi)],
donc nous obtenons
\[S=2πf(x^{**}_i)Δx\sqrt{1+(f′(x^∗_i))^2}.\nonumber \]
Ensuite, la surface approximative de l'ensemble de la surface de révolution est donnée par
\[\text{Surface Area} ≈\sum_{i=1}^n2πf(x^{**}_i)Δx\sqrt{1+(f′(x^∗_i))^2}.\nonumber \]
Cela ressemble presque à une somme de Riemann, sauf que nous avons des fonctions évaluées à deux points différents\(x^{**}_{i}\),\(x^∗_i\) et sur l'intervalle\([x_{i−1},x_i]\). Bien que nous n'examinions pas les détails ici, il s'avère que, comme c'\(f(x)\)est lisse, si nous laissons n\(→∞\), la limite fonctionne de la même manière qu'une somme de Riemann, même avec les deux points d'évaluation différents. Cela prend tout son sens intuitivement. Les deux\(x^∗_i\) et x^ {**} _i \) se situent dans l'intervalle\([x_{i−1},x_i]\), il est donc logique qu'au fur\(x^∗_i\) et à mesure que vous vous\(x^{**}_i\) approchez\(n→∞\),\(x\) ceux d'entre vous qui sont intéressés par les détails consultent un texte de calcul avancé.
Prendre les limites au\(n→∞,\) fur et à mesure
\[ \begin{align*} \text{Surface Area} &=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}n^2πf(x^{**}_i)Δx\sqrt{1+(f′(x^∗_i))^2} \\[4pt] &=∫^b_a(2πf(x)\sqrt{1+(f′(x))^2}) \end{align*}\]
Comme pour la longueur de l'arc, nous pouvons effectuer un développement similaire pour les fonctions\(y\) afin d'obtenir une formule pour la surface des surfaces de révolution autour de\(y-axis\). Ces résultats sont résumés dans le théorème suivant.
\(f(x)\)Soit une fonction fluide non négative sur l'intervalle\([a,b]\). Ensuite, la surface de la surface de révolution formée en faisant tourner le graphe\(f(x)\) autour de l'axe x est donnée par
\[\text{Surface Area}=∫^b_a(2πf(x)\sqrt{1+(f′(x))^2})dx \nonumber \]
De même,\(g(y)\) soyons une fonction fluide non négative sur l'intervalle\([c,d]\). Ensuite, la surface de la surface de révolution formée en faisant tourner le graphe d'\(g(y)\)autour de\(y-axis\) est donnée par
\[\text{Surface Area}=∫^d_c(2πg(y)\sqrt{1+(g′(y))^2}dy \nonumber \]
Laissez\(f(x)=\sqrt{x}\) passer l'intervalle\([1,4]\). Déterminez la surface de la surface générée en faisant pivoter le graphique\(f(x)\) autour de l'\(x\)axe. Arrondissez la réponse à la troisième décimale.
Solution
Le graphique\(f(x)\) et la surface de rotation sont présentés sur la figure\(\PageIndex{10}\).
Nous l'avons fait\(f(x)=\sqrt{x}\). Ensuite,\(f′(x)=1/(2\sqrt{x})\) et\((f′(x))^2=1/(4x).\) ensuite,
\[\begin{align*} \text{Surface Area} &=∫^b_a(2πf(x)\sqrt{1+(f′(x))^2}dx \\[4pt] &=∫^4_1(\sqrt{2π\sqrt{x}1+\dfrac{1}{4x}})dx \\[4pt] &=∫^4_1(2π\sqrt{x+14}dx. \end{align*}\]
Laissez\(u=x+1/4.\) alors,\(du=dx\). Quand\(x=1, u=5/4\) et quand\(x=4, u=17/4.\) Cela nous donne
\[\begin{align*} ∫^1_0(2π\sqrt{x+\dfrac{1}{4}})dx &= ∫^{17/4}_{5/4}2π\sqrt{u}du \\[4pt] &= 2π\left[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right]∣^{17/4}_{5/4} \\[4pt] &=\dfrac{π}{6}[17\sqrt{17}−5\sqrt{5}]≈30.846 \end{align*}\]
Laissez\( f(x)=\sqrt{1−x}\) passer l'intervalle\( [0,1/2]\). Déterminez la surface de la surface générée en faisant pivoter le graphique\( f(x)\) autour de l'\(x\)axe. Arrondissez la réponse à la troisième décimale.
- Allusion
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Utilisez le processus de l'exemple précédent.
- Réponse
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\[ \dfrac{π}{6}(5\sqrt{5}−3\sqrt{3})≈3.133 \nonumber \]
Laissez\( f(x)=y=\dfrac[3]{3x}\). Considérez la partie de la courbe où\( 0≤y≤2\). Déterminez la surface de la surface générée en faisant pivoter le graphique\( f(x)\) autour de l'\( y\)axe.
Solution
Notez que nous faisons tourner la courbe autour de l'\( y\)axe -et que l'intervalle est exprimé en termes de\( y\). Nous voulons donc réécrire la fonction en fonction de\( y\). Nous obtenons\( x=g(y)=(1/3)y^3\). Le graphique\( g(y)\) et la surface de rotation sont illustrés dans la figure suivante.
Nous l'avons fait\( g(y)=(1/3)y^3\), ainsi\( g′(y)=y^2\) et\( (g′(y))^2=y^4\). Alors
\[\begin{align*} \text{Surface Area} &=∫^d_c(2πg(y)\sqrt{1+(g′(y))^2})dy \\[4pt] &=∫^2_0(2π(\dfrac{1}{3}y^3)\sqrt{1+y^4})dy \\[4pt] &=\dfrac{2π}{3}∫^2_0(y^3\sqrt{1+y^4})dy. \end{align*}\]
Laissez\( u=y^4+1.\) alors\( du=4y^3dy\). Quand\( y=0, u=1\) et quand\( y=2, u=17.\) Alors
\[\begin{align*} \dfrac{2π}{3}∫^2_0(y^3\sqrt{1+y^4})dy &=\dfrac{2π}{3}∫^{17}_1\dfrac{1}{4}\sqrt{u}du \\[4pt] &=\dfrac{π}{6}[\dfrac{2}{3}u^{3/2}]∣^{17}_1=\dfrac{π}{9}[(17)^{3/2}−1]≈24.118. \end{align*}\]
Laissez\( g(y)=\sqrt{9−y^2}\) passer l'intervalle\( y∈[0,2]\). Déterminez la surface de la surface générée en faisant pivoter le graphique\( g(y)\) autour de l'\( y\)axe.
- Allusion
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Utilisez le processus de l'exemple précédent.
- Réponse
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\( 12π\)
Concepts clés
- La longueur de l'arc d'une courbe peut être calculée à l'aide d'une intégrale définie.
- La longueur de l'arc est d'abord approximée à l'aide de segments de ligne, ce qui génère une somme de Riemann. Le fait de prendre une limite nous donne alors la formule intégrale définie. Le même processus peut être appliqué aux fonctions de\( y\).
- Les concepts utilisés pour calculer la longueur de l'arc peuvent être généralisés pour déterminer la surface d'une surface de révolution.
- Les intégrales générées à la fois par les formules de longueur d'arc et de surface sont souvent difficiles à évaluer. Il peut être nécessaire d'utiliser un ordinateur ou une calculatrice pour approximer les valeurs des intégrales.
Équations clés
- Longueur d'arc d'une fonction de x
Longueur de l'arc\( =∫^b_a\sqrt{1+[f′(x)]^2}dx\)
- Longueur d'arc d'une fonction de y
Longueur de l'arc\( =∫^d_c\sqrt{1+[g′(y)]^2}dy\)
- Surface d'une fonction de x
Surface\( =∫^b_a(2πf(x)\sqrt{1+(f′(x))^2})dx\)
Lexique
- longueur de l'arc
- la longueur de l'arc d'une courbe peut être considérée comme la distance qu'une personne parcourrait le long de la trajectoire de la courbe
- frustum
- une partie d'un cône ; un tronc est construit en coupant le cône avec un plan parallèle à la base
- superficie
- la surface d'un solide est la surface totale de la couche extérieure de l'objet ; pour les objets tels que des cubes ou des briques, la surface de l'objet est la somme des surfaces de toutes ses faces