6.3E : Exercices pour la section 6.3

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Pour les exercices 1 à 6, trouvez le volume généré lorsque la région située entre les deux courbes pivote autour d'un axe donné. Utilisez à la fois la méthode de la coque et la méthode du lave-linge. Utilisez la technologie pour représenter graphiquement les fonctions et dessiner une tranche type à la main.

1) [T] Sur la courbe de l'$y$axe$ y=3x,$$x=0,$ et$ y=3$ pivoté autour de celui-ci.

2) [T] Sous la courbe de$ y=3x,$$x=0$, et$ x=3$ pivoté autour de l'$y$axe.

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit de la ligne y=3x. Sous la ligne et au-dessus de l'axe X se trouve une zone ombrée. La région est délimitée vers la droite en x=3.$

$V = 54π$unités ³

3) [T] Sur la courbe de$ y=3x,$$x=0$ et$ y=3$ pivoté autour de l'$x$axe.

4) [T] Sous la courbe de l'$x$axe$ y=3x,$$x=0,$ et$ x=3$ pivoté autour de celui-ci.

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit de la ligne y=3x. Sous la ligne et au-dessus de l'axe X se trouve une zone ombrée. La région est délimitée vers la droite en x=3.$

$V = 81π$unités ³

5) [T] Sous la courbe de l'$y$axe$ y=2x^3,\;x=0,$ et$ x=2$ pivoté autour de celui-ci.

6) [T] Sous la courbe de l'$x$axe$ y=2x^3,\;x=0,$ et$ x=2$ pivoté autour de celui-ci.

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit de la courbe croissante y=2x^3. Sous la courbe et au-dessus de l'axe X se trouve une zone ombrée. La région est délimitée vers la droite en x=2.$

$V = \frac{512π}{7}$unités ³

Pour les exercices 7 à 16, utilisez des coquilles pour trouver les volumes des solides donnés. Notez que les régions pivotées se situent entre la courbe et l'$x$axe -et pivotent autour de$y$ cet axe.

7)$ y=1−x^2,$$x=0,$ et$ x=1$

8)$ y=5x^3,$$x=0$, et$ x=1$

Réponse: $V = 2π$unités ³

9)$ y=\dfrac{1}{x},$$x=1,$ et$ x=100$

10)$ y=\sqrt{1−x^2},$$x=0$, et$ x=1$

Réponse: $V= \frac{2π}{3}$unités ³

11)$ y=\dfrac{1}{1+x^2},$$x=0$, et$ x=3$

12)$ y=\sin x^2,x=0$, et$ x=\sqrt{π}$

Réponse: $V= 2π$unités ³

13)$ y=\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}},$$x=0$, et$ x=\frac{1}{2}$

14)$ y=\sqrt{x},$$x=0$, et$ x=1$

Réponse: $V = \frac{4π}{5}$unités ³

15)$ y=(1+x^2)^3,$$x=0$, et$ x=1$

16)$ y=5x^3−2x^4,$$x=0$, et$ x=2$

Réponse: $V= \frac{64π}{3}$unités ³

Pour les exercices 17 à 26, utilisez des coquilles pour trouver le volume généré en faisant pivoter les régions situées entre la courbe donnée et$ y=0$ autour de$x$ l'axe.

17)$ y=\sqrt{1−x^2},$$x=0$, et$ x=1$

18)$ y=x^2,$$x=0$, et$ x=2$

Réponse: $V = \frac{32π}{5}$unités ³

19)$ y=e^x,$$x=0$, et$ x=1$

20)$ y=\ln(x),$$x=1$, et$ x=e$

Réponse: $V= π(e−2)$unités ³

21)$ x=\dfrac{1}{1+y^2},$$y=1$, et$ y=4$

22)$ x=\dfrac{1+y^2}{y},$$y=0$, et$ y=2$

Réponse: $V= \frac{28π}{3}$unités ³

23)$ x=\cos y,$$y=0$, et$ y=π$

24)$ x=y^3−4y^2,$$x=−1$, et$ x=2$

Réponse: $V= \frac{84π}{5}$unités ³

25)$ x=ye^y,$$x=−1$, et$ x=2$

26)$ x=e^y\cos y,$$x=0$, et$ x=π$

Réponse: $V = e^ππ^2$unités ³

Pour les exercices 27 à 36, trouvez le volume généré lorsque la région située entre les courbes pivote autour d'un axe donné.

27)$ y=3−x$,$y=0$$x=0$, et$ x=2$ pivoté autour de l'$y$axe.

28)$ y=x^3$,$y=0$$x=0$, et$ y=8$ pivoté autour de l'$y$axe.

Réponse: $ V=\frac{64π}{5}$unités ³

29)$ y=x^2,$$y=x,$ pivoté autour de l'$y$axe.

30)$ y=\sqrt{x},$$x=0$, et$ x=1$ pivoté autour de la ligne$ x=2.$

Réponse: $V=\frac{28π}{15}$unités ³

31)$ y=\dfrac{1}{4−x},$$x=1,$ et$ x=2$ pivoté autour de la ligne$ x=4$.

32)$ y=\sqrt{x}$ et$ y=x^2$ pivoté autour de l'$y$axe.

Réponse: $V=\frac{3π}{10}$unités ³

33)$ y=\sqrt{x}$ et$ y=x^2$ pivoté autour de la ligne$ x=2$.

34)$ x=y^3,$$y=\dfrac{1}{x},$$x=1$, et$ y=2$ pivoté autour de l'$x$axe.

Réponse: $ \frac{52π}{5}$unités ³

35)$ x=y^2$ et$ y=x$ pivoté autour de la ligne$ y=2$.

36) [T] À gauche$ x=\sin(πy)$, à droite de$ y=x$, autour de l'$y$axe.

Réponse: $V \approx 0.9876$unités ³

Pour les exercices 37 à 44, utilisez la technologie pour représenter graphiquement la région. Déterminez la méthode qui vous semble la plus facile à utiliser pour calculer le volume généré lorsque la fonction pivote autour de l'axe spécifié. Ensuite, utilisez la méthode que vous avez choisie pour trouver le volume.

37) [T]$ y=x^2$ et$ y=4x$ pivoté autour de l'$y$axe.

38) [T]$ y=\cos(πx),y=\sin(πx),x=\frac{1}{4}$, et$ x=\frac{5}{4}$ pivoté autour de l'$y$axe.

Réponse

$Cette figure est un graphique. Sur le graphique se trouvent deux courbes, y=cos (pi fois x) et y=sin (pi fois x). Ce sont des courbes périodiques ressemblant à des vagues. Les courbes se croisent dans le premier quadrant et également dans le quatrième quadrant. La région située entre les deux points d'intersection est ombrée.$

$V = 3\sqrt{2}$unités ³

39) [T]$ y=x^2−2x,\; x=2,$ et$ x=4$ pivoté autour de l'$y$axe.

40) [T]$ y=x^2−2x,\; x=2,$ et$ x=4$ pivoté autour de l'$x$axe.

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit de la parabole y=x^2-2x. Sous la courbe et au-dessus de l'axe X se trouve une zone ombrée. La région commence à x=2 et est limitée à droite à x=4.$

$V= \frac{496π}{15}$unités ³

41) [T]$ y=3x^3−2,\; y=x$, et$ x=2$ pivoté autour de l'$x$axe.

42) [T]$ y=3x^3−2,\; y=x$, et$ x=2$ pivoté autour de l'$y$axe.

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Le graphique comporte deux courbes. La première courbe est y=3x^2-2 et la seconde courbe est y=x. Entre les courbes se trouve une zone ombrée. La région commence à x=1 et est délimitée vers la droite à x=2.$

$ V = \frac{398π}{15}$unités ³

43) [T]$ x=\sin(πy^2)$ et$ x=\sqrt{2}y$ pivoté autour de l'$x$axe.

44) [T]$ x=y^2,\; x=y^2−2y+1$, et$ x=2$ pivoté autour de l'$y$axe.

Réponse

$Cette figure est un graphique. Le graphique comporte deux courbes. La première courbe est x=y^2-2y+1 et est une parabole s'ouvrant vers la droite. La deuxième courbe est x=y^2 et est une parabole s'ouvrant vers la droite. Entre les courbes se trouve une zone ombrée. La zone ombrée est délimitée vers la droite à x=2.$

$ V =15.9074$unités ³

Pour les exercices 45 à 51, utilisez la méthode des coquilles pour approximer les volumes de certains objets courants, illustrés dans les figures ci-jointes.

45) Utilisez la méthode des coquilles pour déterminer le volume d'une sphère de rayon$ r$.

$Cette figure comporte deux images. Le premier est un cercle de rayon r. Le second est un ballon de basket.$

46) Utilisez la méthode des coquilles pour déterminer le volume d'un cône avec son rayon$ r$ et sa hauteur$ h$.

$Cette figure comporte deux images. Le premier est un cône renversé de rayon r et de hauteur h. Le second est un cornet de crème glacée.$

Réponse: $V = \frac{1}{3}πr^2h$unités ³

47) Utilisez la méthode des coques pour déterminer le volume d'une ellipse$ (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1$ tournée autour de l'$x$axe.

$Cette figure comporte deux images. La première est une ellipse dont a la distance horizontale entre le centre et le bord et b la distance verticale entre le centre et le bord supérieur. La seconde est une pastèque.$

48) Utilisez la méthode des coquilles pour déterminer le volume d'un cylindre avec son rayon$ r$ et sa hauteur$ h$.

$Cette figure comporte deux images. Le premier est un cylindre de rayon r et de hauteur h. Le second est une bougie cylindrique.$

Réponse: $V= πr^2h$unités ³

49) Utilisez la méthode des coquilles pour déterminer le volume du beignet créé lorsque le cercle$ x^2+y^2=4$ est pivoté autour de la ligne$ x=4$.

$Cette figure comporte deux images. La première comporte deux ellipses, l'une à l'intérieur de l'autre. Le rayon du chemin entre eux est de 2 unités. Le second est un beignet.$

50) Considérez la région délimitée par les graphiques de$ y=f(x),\; y=1+f(x),\; x=0,\; y=0,$ et$ x=a>0$. Quel est le volume du solide généré lorsque cette région est tournée autour de l'$y$axe Y ? Supposons que la fonction soit définie sur l'intervalle$ [0,a]$.

Réponse: $ V=πa^2$unités ³

51) Considérez la fonction$ y=f(x)$, qui diminue de$ f(0)=b$ à$ f(1)=0$. Définissez les intégrales pour déterminer le volume, en utilisant à la fois la méthode de la coque et la méthode du disque, du solide généré lorsque cette région$ y=0$, avec$ x=0$ et, pivote autour de l'$y$axe. Prouvez que les deux méthodes se rapprochent du même volume. Quelle méthode est la plus facile à appliquer ? (Conseil : puisque$ f(x)$ c'est un à un, il existe un inverse$ f^{−1}(y)$.)

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