6.3 : Volumes de révolution - Coques cylindriques

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Objectifs d'apprentissage

Calculez le volume d'un solide de révolution en utilisant la méthode des coques cylindriques.
Comparez les différentes méthodes de calcul d'un volume de révolution.

Dans cette section, nous examinons la méthode des coques cylindriques, dernière méthode pour déterminer le volume d'un solide en révolution. Nous pouvons utiliser cette méthode sur les mêmes types de solides que la méthode des disques ou la méthode des rondelles ; cependant, avec les méthodes des disques et des rondelles, nous intégrons le long de l'axe des coordonnées parallèle à l'axe de révolution. Avec la méthode des coques cylindriques, nous intégrons le long de l'axe de coordonnées perpendiculaire à l'axe de révolution. La possibilité de choisir la variable d'intégration que nous voulons utiliser peut constituer un avantage significatif pour les fonctions plus complexes. De plus, la géométrie spécifique du solide rend parfois la méthode d'utilisation de coques cylindriques plus intéressante que la méthode de la rondelle. Dans la dernière partie de cette section, nous passons en revue toutes les méthodes de détermination du volume que nous avons étudiées et présentons quelques directives pour vous aider à déterminer la méthode à utiliser dans une situation donnée.

La méthode des coques cylindriques

Encore une fois, nous travaillons avec une solide révolution. Comme précédemment, nous définissons une région$R$, délimitée en haut par le graphe d'une fonction$y=f(x)$, en dessous par l'$x$axe -, et à gauche et à droite par les lignes$x=a$ et$x=b$, respectivement, comme indiqué sur la figure$\PageIndex{1a}$. Nous faisons ensuite tourner cette région autour de l'$y$axe -, comme le montre la figure$\PageIndex{1b}$. Notez que c'est différent de ce que nous avons fait auparavant. Auparavant, les régions définies en termes de fonctions de$x$ tournaient autour de l'$x$axe -ou d'une droite parallèle à celui-ci.

Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphique est étiqueté « a » et représente une courbe croissante dans le premier quadrant. La courbe est étiquetée « y=f (x) ». La courbe commence sur l'axe y à y=a. Sous la courbe, au-dessus de l'axe des abscisses se trouve une région ombrée nommée « R ». La zone ombrée est délimitée à droite par la ligne x=b. Le deuxième graphique est un solide tridimensionnel. Il a été créé en faisant pivoter la zone ombrée à partir de « a » autour de l'axe Y. — Figure$\PageIndex{1}$ : (a) Une région délimitée par le graphe d'une fonction de$x$. (b) Le solide de révolution formé lorsque la région tourne autour de l'**$y$axe.**

Comme nous l'avons fait à de nombreuses reprises auparavant, partitionnez l'intervalle à$[a,b]$ l'aide d'une partition normale$P={x_0,x_1,…,x_n}$ et$i=1,2,…,n$, pour, choisissez un point$x^∗_i∈[x_{i−1},x_i]$. Ensuite, construisez un rectangle sur l'intervalle$[x_{i−1},x_i]$ de hauteur$f(x^∗_i)$ et de largeur$Δx$. Un rectangle représentatif est illustré sur la figure$\PageIndex{2a}$. Lorsque ce rectangle tourne autour de l'$y$axe Y, au lieu d'un disque ou d'une rondelle, nous obtenons une coque cylindrique, comme le montre la figure$\PageIndex{2}$.

Cette figure comporte deux images. La première est une coque cylindrique, creuse au milieu. Il possède un axe vertical au centre. Il existe également une courbe qui rejoint le sommet du cylindre. La deuxième image est un ensemble de cylindres concentriques, les uns dans les autres formant un emboîtement de cylindres. — Figure$\PageIndex{2}$ : (a) Un rectangle représentatif. (b) Lorsque ce rectangle tourne autour de l'**$y$axe Y**, le résultat est une coque cylindrique. (c) Lorsque nous assemblons toutes les coques, nous obtenons une approximation du solide d'origine.

Pour calculer le volume de cette coque, considérez la Figure$\PageIndex{3}$.

Cette figure est un graphique du premier quadrant. La courbe augmente et est étiquetée « y=f (x) ». La courbe commence sur l'axe y en f (x*). Sous la courbe se trouve un rectangle ombré. Le rectangle commence sur l'axe X. La largeur du rectangle est delta x. Les deux côtés du rectangle sont étiquetés « xsub (i-1) » et « xsubi ». — Figure$\PageIndex{3}$ : Calcul du volume de la coque.

La coque est un cylindre, son volume est donc la surface de la section transversale multipliée par la hauteur du cylindre. Les sections transversales sont des anneaux (régions annulaires, essentiellement des cercles percés d'un trou au centre), avec un rayon extérieur$x_i$ et un rayon intérieur$x_{i−1}$. Ainsi, la surface transversale est$πx^2_i−πx^2_{i−1}$. La hauteur du cylindre est$f(x^∗_i).$ Alors le volume de la coque est

\[ \begin{align*} V_{shell} =f(x^∗_i)(π\,x^2_{i}−π\,x^2_{i−1}) \\[4pt] =π\,f(x^∗_i)(x^2_i−x^2_{i−1}) \\[4pt] =π\,f(x^∗_i)(x_i+x_{i−1})(x_i−x_{i−1}) \\[4pt] =2π\,f(x^∗_i)\left(\dfrac {x_i+x_{i−1}}{2}\right)(x_i−x_{i−1}). \end{align*}\]

Notez que nous avons$x_i−x_{i−1}=Δx,$ donc

\[V_{shell}=2π\,f(x^∗_i)\left(\dfrac {x_i+x_{i−1}}{2}\right)\,Δx. \nonumber \]

De plus,$\dfrac {x_i+x_{i−1}}{2}$ c'est à la fois le point médian de l'intervalle$[x_{i−1},x_i]$ et le rayon moyen de la coque, et nous pouvons l'approximer par$x^∗_i$. Nous avons alors

\[V_{shell}≈2π\,f(x^∗_i)x^∗_i\,Δx. \nonumber \]

Une autre façon de penser est de faire une découpe verticale dans la coque, puis de l'ouvrir pour former une plaque plate (Figure$\PageIndex{4}$).

Cette figure comporte deux images. Le premier est étiqueté « a » et représente un cylindre creux autour de l'axe y. Sur le devant de ce cylindre se trouve une ligne verticale intitulée « ligne de coupe ». La hauteur du cylindre est « y=f (x) ». La deuxième figure est étiquetée « b » et est un bloc rectangulaire ombré. La hauteur du rectangle est « f (x*), la largeur du rectangle est « 2pix* » et l'épaisseur du rectangle est « delta x ». — Figure$\PageIndex{4}$ : (a) Faites une découpe verticale dans une coque représentative. (b) Ouvrez la coque pour former une plaque plate.

En réalité, le rayon extérieur de la coque est supérieur au rayon intérieur, de sorte que le bord arrière de la plaque serait légèrement plus long que le bord avant de la plaque. Cependant, nous pouvons approximer la coque aplatie à l'aide d'une plaque plate de hauteur$f(x^∗_i)$, de largeur$2πx^∗_i$ et d'épaisseur$Δx$ (Figure). Le volume de la coque est donc approximativement le volume de la plaque plate. En multipliant la hauteur, la largeur et la profondeur de la plaque, nous obtenons

\[V_{shell}≈f(x^∗_i)(2π\,x^∗_i)\,Δx, \nonumber \]

ce qui est la même formule que nous utilisions auparavant.

Pour calculer le volume de l'ensemble du solide, on ajoute ensuite les volumes de toutes les coquilles et on obtient

\[V≈\sum_{i=1}^n(2π\,x^∗_if(x^∗_i)\,Δx). \nonumber \]

Nous avons ici une autre somme de Riemann, cette fois pour la fonction$2π\,x\,f(x).$ Taking the limit as$n→∞$ gives us

\[V=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n(2π\,x^∗_if(x^∗_i)\,Δx)=\int ^b_a(2π\,x\,f(x))\,dx. \nonumber \]

Cela conduit à la règle suivante pour la méthode des coques cylindriques.

Règle : La méthode des coques cylindriques

$f(x)$Soyons continus et non négatifs. Définissez$R$ comme étant la région délimitée au-dessus par le graphique de$f(x)$, en dessous par l'$x$axe, à gauche par la ligne$x=a$ et à droite par la ligne$x=b$. Ensuite, le volume du solide de révolution formé en tournant$R$ autour de l'$y$axe -est donné par

\[V=\int ^b_a(2π\,x\,f(x))\,dx. \nonumber \]

Prenons maintenant un exemple.

Exemple$\PageIndex{1}$: The Method of Cylindrical Shells I

Définissez$R$ comme étant la région délimitée au-dessus par le graphique de$f(x)=1/x$ et en dessous par l'$x$axe -sur l'intervalle$[1,3]$. Détermine le volume du solide de révolution formé en tournant$R$ autour de l'$y$axe.

Solution

Nous devons d'abord représenter graphiquement la région$R$ et le solide de révolution associé, comme le montre la Figure$\PageIndex{5}$.

Cette figure comporte trois images. Le premier est un solide qui a été formé en faisant tourner la courbe y=1/x autour de l'axe y. Le solide commence sur l'axe X et s'arrête là où y=1. La deuxième image est étiquetée « a » et représente le graphique de y=1/x dans le premier quadrant. Sous la courbe se trouve une zone ombrée nommée « R ». La région est délimitée par la courbe, l'axe des abscisses, à gauche en x=1 et à droite en x=3. La troisième image est étiquetée « b » et représente la moitié du solide formé en faisant pivoter la région ombrée autour de l'axe y. — Figure$\PageIndex{5}$ : (a) La région$R$ située sous le graphique$f(x)=1/x$ sur l'intervalle$[1,3]$. (b) Le solide de révolution généré en tournant$R$ autour de l'$y$axe.

Figure$\PageIndex{5}$ (c) Visualisation du solide de révolution avec CalcPlot3D.

Ensuite, le volume du solide est donné par

\[ \begin{align*} V =\int ^b_a(2π\,x\,f(x))\,dx \\ =\int ^3_1\left(2π\,x\left(\dfrac {1}{x}\right)\right)\,dx \\ =\int ^3_12π\,dx\\ =2π\,x\bigg|^3_1=4π\,\text{units}^3. \end{align*}\]

Exercice$\PageIndex{1}$

Définissez R comme la région délimitée au-dessus par le graphique de$f(x)=x^2$ et en dessous par l'$x$axe -sur l'intervalle$[1,2]$. Détermine le volume du solide de révolution formé en tournant$R$ autour de l'$y$axe.

Allusion: Utilisez la procédure décrite dans Example$\PageIndex{1}$.

Réponse: $\dfrac{15π}{2} \, \text{units}^3 $

Exemple$\PageIndex{2}$: The Method of Cylindrical Shells II

Définissez$R$ comme étant la région délimitée au-dessus par le graphique de$f(x)=2x−x^2$ et en dessous par l'$x$axe -sur l'intervalle$[0,2]$. Détermine le volume du solide de révolution formé en tournant$R$ autour de l'$y$axe.

Solution

Tracez d'abord la région$R$ et le solide de révolution associé, comme indiqué sur la figure$\PageIndex{6}$.

Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphe est intitulé « a » et correspond à la courbe f (x) =2x-x^2. Il s'agit d'une parabole inversée coupant l'axe x à l'origine et à x=2. Sous la courbe, la région du premier quadrant est ombrée et est étiquetée « R ». La deuxième figure est un graphique de la même courbe. Sur le graphique se trouve un solide qui est formé par rotation de la région à partir de « a » autour de l'axe y. — Figure$\PageIndex{6}$ : (a) La région$R$ *sous le graphique de* *l'$f(x)=2x−x^2$intervalle$[0,2].$* *(b) Le volume de révolution obtenu en tournant* $R$*à propos de$y$* *l'axe.*

Ensuite, le volume du solide est donné par

\[\begin{align*} V =\int ^b_a(2π\,x\,f(x))\,dx \\ =\int ^2_0(2π\,x(2x−x^2))\,dx \\ = 2π\int ^2_0(2x^2−x^3)\,dx \\ =2π \left. \left[\dfrac {2x^3}{3}−\dfrac {x^4}{4}\right]\right|^2_0 \\ =\dfrac {8π}{3}\,\text{units}^3 \end{align*}\]

Exercice$\PageIndex{2}$

Définissez$R$ comme étant la région délimitée au-dessus par le graphique de$f(x)=3x−x^2$ et en dessous par l'$x$axe -sur l'intervalle$[0,2]$. Détermine le volume du solide de révolution formé en tournant$R$ autour de l'$y$axe.

Allusion

Utilisez le processus décrit dans Example$\PageIndex{2}$.

Réponse

$8π \, \text{units}^3 $

Comme pour la méthode des disques et la méthode des laveuses, nous pouvons utiliser la méthode des coques cylindriques avec des solides de révolution, tournant autour de$x$ l'axe -, lorsque nous voulons intégrer par rapport à$y$. La règle analogue pour ce type de solide est donnée ici.

Règle : La méthode des coques cylindriques pour les solides de révolution autour du$x$-axis

$g(y)$Soyons continus et non négatifs. Définissez$Q$ comme étant la région délimitée à droite par le graphique de$g(y)$, à gauche par l'$y$axe, en dessous par la ligne$y=c$ et au-dessus par la ligne$y=d$. Ensuite, le volume du solide de révolution formé en tournant$Q$ autour de l'$x$axe -est donné par

\[V=\int ^d_c(2π\,y\,g(y))\,dy. \nonumber \]

Exemple$\PageIndex{3}$: The Method of Cylindrical Shells for a Solid Revolved around the $x$-axis

Définissez$Q$ comme étant la région délimitée à droite par le graphique de$g(y)=2\sqrt{y}$ et à gauche par l'$y$axe -pour$y∈[0,4]$. Détermine le volume du solide de révolution formé en tournant$Q$ autour de l'$x$axe.

Solution

Tout d'abord, nous devons représenter graphiquement la région$Q$ et le solide de révolution associé, comme le montre la Figure$\PageIndex{7}$.

$Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphe est étiqueté « a » et est la courbe g (y) =2 racines carrées (y). Il s'agit d'une courbe croissante dans le premier quadrant commençant à l'origine. Entre l'axe Y et la courbe, se trouve une zone ombrée nommée « Q ». La zone ombrée est délimitée au-dessus par la ligne y=4. Le deuxième graphique est la même courbe en « a » et est étiquetée « b ». Il possède également une région solide qui a été formée en faisant tourner la courbe en « a » autour de l'axe X. Le solide commence sur l'axe y et s'arrête à x=4.$
Figure$\PageIndex{7}$ : (a) La région$Q$ située à gauche de la fonction$g(y)$ sur l'intervalle$[0,4]$. (b) Le solide de révolution généré en tournant$Q$ autour de l'$x$axe.

Étiquetez la zone ombrée$Q$. Ensuite, le volume du solide est donné par

\[ \begin{align*} V =\int ^d_c(2π\,y\,g(y))\,dy \\ =\int ^4_0(2π\,y(2\sqrt{y}))\,dy \\ =4π\int ^4_0y^{3/2}\,dy \\ =4π\left[\dfrac {2y^{5/2}}{5}\right]∣^4_0 \\ =\dfrac {256π}{5}\, \text{units}^3 \end{align*}\]

Exercice$\PageIndex{3}$

Définissez$Q$ comme étant la région délimitée à droite par le graphique de$g(y)=3/y$ et à gauche par l'$y$axe -pour$y∈[1,3]$. Détermine le volume du solide de révolution formé en tournant$Q$ autour de l'$x$axe.

Allusion

Utilisez le processus décrit dans Example$\PageIndex{3}$.

Réponse

$12π$unités ³

Dans l'exemple suivant, nous examinons un solide de révolution pour lequel le graphe d'une fonction tourne autour d'une droite autre que l'un des deux axes de coordonnées. Pour mettre cela en place, nous devons revoir le développement de la méthode des coques cylindriques. Rappelons que nous avons trouvé le volume de l'une des coquilles donné par

\[\begin{align*} V_{shell} =f(x^∗_i)(π\,x^2_i−π\,x^2_{i−1}) \\[4pt] =π\,f(x^∗_i)(x^2_i−x^2_{i−1}) \\[4pt] =π\,f(x^∗_i)(x_i+x_{i−1})(x_i−x_{i−1}) \\[4pt] =2π\,f(x^∗_i)\left(\dfrac {x_i+x_{i−1}}{2}\right)(x_i−x_{i−1}).\end{align*}\]

Cela était basé sur une coque avec un rayon extérieur$x_i$ et un rayon intérieur de$x_{i−1}$. Toutefois, si nous faisons pivoter la région autour d'une ligne autre que l'$y$axe -, nous obtenons un rayon extérieur et un rayon intérieur différents. Supposons, par exemple, que nous faisons pivoter la région autour de la ligne$x=−k,$ où se$k$ trouve une constante positive. Ensuite, le rayon extérieur de la coque est$x_i+k$ et le rayon intérieur de la coque est$x_{i−1}+k$. En substituant ces termes à l'expression du volume, nous voyons que lorsqu'une région plane pivote autour de la ligne,$x=−k,$ le volume d'une coque est donné par

\[\begin{align*} V_{shell} =2π\,f(x^∗_i)(\dfrac {(x_i+k)+(x_{i−1}+k)}{2})((x_i+k)−(x_{i−1}+k)) \\[4pt] =2π\,f(x^∗_i)\left(\left(\dfrac {x_i+x_{i−2}}{2}\right)+k\right)Δx.\end{align*}\]

Comme précédemment, nous remarquons qu'il$\dfrac {x_i+x_{i−1}}{2}$ s'agit du point médian de l'intervalle$[x_{i−1},x_i]$ et que l'on peut l'approximer$x^∗_i$. Ensuite, le volume approximatif de la coque est

\[V_{shell}≈2π(x^∗_i+k)f(x^∗_i)Δx. \nonumber \]

Le reste du développement se poursuit comme avant, et nous voyons que

\[V=\int ^b_a(2π(x+k)f(x))dx. \nonumber \]

Nous pouvons également faire pivoter la région autour d'autres lignes horizontales ou verticales, comme une ligne verticale dans le demi-plan droit. Dans chaque cas, la formule du volume doit être ajustée en conséquence. Plus précisément, le$x$ terme -dans l'intégrale doit être remplacé par une expression représentant le rayon d'une coque. Pour voir comment cela fonctionne, considérez l'exemple suivant.

Exemple$\PageIndex{4}$: A Region of Revolution Revolved around a Line

Définissez$R$ comme étant la région délimitée au-dessus par le graphique de$f(x)=x$ et en dessous par l'$x$axe -sur l'intervalle$[1,2]$. Trouvez le volume du solide de révolution formé en tournant$R$ autour de la ligne$x=−1.$

Solution

Tout d'abord, tracez la région$R$ et le solide de révolution associé, comme indiqué sur la figure$\PageIndex{8}$.

$Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphe est étiqueté « a » et correspond à la ligne f (x) =x, une ligne diagonale passant par l'origine. Il existe une zone ombrée au-dessus de l'axe X sous la ligne intitulée « R ». Cette région est délimitée à gauche par la ligne x=1 et à droite par la ligne x=2. Il y a également la ligne verticale x=-1 sur le graphique. La deuxième figure a les mêmes graphes que « a » et est étiquetée « b ». Sur le graphique se trouve également un solide formé en faisant pivoter la région « R » du premier graphe autour de la ligne x=-1.$
Figure$\PageIndex{8}$ : (a) La région$R$ située entre le graphique de$f(x)$ et l'$x$axe -sur l'intervalle$[1,2]$. (b) Le solide de révolution généré par la rotation$R$ autour de la ligne$x=−1.$

Notez que le rayon d'une coque est donné par$x+1$. Ensuite, le volume du solide est donné par

\[\begin{align*} V =\int ^2_1 2π(x+1)f(x)\, dx \\ =\int ^2_1 2π(x+1)x \, dx=2π\int ^2_1 x^2+x \, dx \\ =2π \left[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]\bigg|^2_1 \\ =\dfrac{23π}{3} \, \text{units}^3 \end{align*}\]

Exercice$\PageIndex{4}$

Définissez$R$ comme étant la région délimitée au-dessus par le graphique de$f(x)=x^2$ et en dessous par l'$x$axe -sur l'intervalle$[0,1]$. Trouvez le volume du solide de révolution formé en tournant$R$ autour de la ligne$x=−2$.

Allusion

Utilisez le processus décrit dans Example$\PageIndex{4}$.

Réponse

$\dfrac {11π}{6}$unités ³

Pour le dernier exemple de cette section, examinons le volume d'un solide de révolution dont la région de révolution est délimitée par les graphes de deux fonctions.

Exemple$\PageIndex{5}$: A Region of Revolution Bounded by the Graphs of Two Functions

Définissez$R$ comme étant la région délimitée en haut par le graphe de la fonction$f(x)=\sqrt{x}$ et en dessous par le graphique de la fonction$g(x)=1/x$ sur l'intervalle$[1,4]$. Détermine le volume du solide de révolution généré en tournant$R$ autour de l'$y$axe.

Solution

Tout d'abord, tracez la région$R$ et le solide de révolution associé, comme indiqué sur la figure$\PageIndex{9}$.

$Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphique est étiqueté « a » et comporte deux courbes. Les courbes sont les graphes de f (x) =racine carrée (x) et g (x) =1/x. Dans le premier quadrant, les courbes se croisent en (1,1). Entre les courbes du premier quadrant se trouve une région ombrée appelée « R », délimitée à droite par la ligne x=4. Le deuxième graphique est étiqueté « b » et est identique aux graphes de « a ». Sur ce graphique se trouve également un solide qui a été formé en faisant pivoter la région « R » de la figure « a » autour de l'axe y.$
Figure$\PageIndex{9}$ : (a) La région$R$ située entre le graphique de$f(x)$ et le graphique de$g(x)$ sur l'intervalle$[1,4]$. (b) Le solide de révolution généré en tournant$R$ autour de l'$y$axe.

Notez que l'axe de révolution est l'$y$axe -, donc le rayon d'une coque est simplement donné par$x$. Nous n'avons pas besoin de modifier le terme X de notre integrand. La hauteur d'une coque, cependant, est donnée par$f(x)−g(x)$, donc dans ce cas, nous devons ajuster le$f(x)$ terme de l'integrand. Ensuite, le volume du solide est donné par

\[\begin{align*} V =\int ^4_1(2π\,x(f(x)−g(x)))\,dx \\[4pt] = \int ^4_1(2π\,x(\sqrt{x}−\dfrac {1}{x}))\,dx=2π\int ^4_1(x^{3/2}−1)dx \\[4pt] = 2π\left[\dfrac {2x^{5/2}}{5}−x\right]\bigg|^4_1=\dfrac {94π}{5} \, \text{units}^3. \end{align*}\]

Exercice$\PageIndex{5}$

Définissez$R$ comme étant la région délimitée au-dessus par le graphique de$f(x)=x$ et en dessous par le graphique de$g(x)=x^2$ l'intervalle$[0,1]$. Détermine le volume du solide de révolution formé en tournant$R$ autour de l'$y$axe.

Allusion

Conseil : utilisez le processus de l'exemple$\PageIndex{5}$.

Réponse

$\dfrac {π}{6}$unités ³

Quelle méthode devons-nous utiliser ?

Nous avons étudié plusieurs méthodes pour déterminer le volume d'un solide de révolution, mais comment savoir quelle méthode utiliser ? Il s'agit souvent de choisir l'intégrale la plus facile à évaluer. La figure$\PageIndex{10}$ décrit les différentes approches pour les solides de révolution autour de l'$x$axe. C'est à vous de développer le tableau analogue pour les solides de révolution autour de l'$y$axe.

$Cette figure est un tableau comparant les différentes méthodes pour déterminer les volumes de solides de révolution. Les colonnes du tableau sont intitulées « comparaison », « méthode des disques », « méthode de lavage » et « méthode de la coque ». Les lignes sont étiquetées « formule de volume », « solide », « intervalle jusqu'à la partition », « rectangles », « région typique » et « rectangle ». Dans la colonne de la méthode des disques, la formule est donnée comme l'intégrale définie de a à b de pi fois [f (x)] ^2. Le solide n'a pas de cavité au centre, la partition est [a, b], les rectangles sont verticaux et la région typique est une région ombrée au-dessus de l'axe x et en dessous de la courbe de f (x). Dans la colonne de la méthode de lavage, la formule est donnée comme l'intégrale définie de a à b de pi fois [f (x)] ^2- [g (x)] ^2. Le solide possède une cavité au centre, la cloison est [a, b], les rectangles sont verticaux et la région typique est une région ombrée au-dessus de la courbe de g (x) et en dessous de la courbe de f (x). Dans la colonne de la méthode shell, la formule est donnée comme l'intégrale définie de c à d de 2pi fois yg (y). Le solide comporte ou non une cavité au centre, la partition est [c, d], les rectangles sont horizontaux et la région typique est une région ombrée au-dessus de l'axe x et en dessous de la courbe de g (y).$
Figurine$\PageIndex{10}$

Examinons quelques problèmes supplémentaires et décidons de la meilleure approche à adopter pour les résoudre.

Exemple$\PageIndex{6}$: Selecting the Best Method

Pour chacun des problèmes suivants, sélectionnez la meilleure méthode pour trouver le volume d'un solide de révolution généré en faisant tourner la région donnée autour de l'$x$axe, et configurez l'intégrale pour trouver le volume (n'évaluez pas l'intégrale).

La région délimitée par les graphes de$y=x, y=2−x,$ et l'$x$axe.

La région délimitée par les graphes de$y=4x−x^2$ et l'$x$axe.

Solution

un.

Tout d'abord, esquissez la région et le solide de révolution comme indiqué.

$Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphe est étiqueté « a » et comporte deux lignes y=x et y=2-x tracées dans le premier quadrant. Les lignes se croisent en (1,1) et forment un triangle au-dessus de l'axe X. La région qui constitue le triangle est ombrée. Le deuxième graphique est étiqueté « b » et est identique à « a ». La région triangulaire ombrée en « a » a été tournée autour de l'axe X pour former un solide sur le deuxième graphique.$
Figure$\PageIndex{11}$ : (a) La région$R$ délimitée par deux lignes et l'$x$axe. (b) Le solide de révolution généré en tournant$R$ autour de l'$x$axe.

En ce qui concerne la région, si nous voulons l'intégrer par rapport à$x$, nous devrions diviser l'intégrale en deux parties, car nous avons des fonctions différentes qui délimitent la région sur$[0,1]$ et$[1,2]$. Dans ce cas, en utilisant la méthode du disque, nous aurions

\[V=\int ^1_0 π\,x^2\,dx+\int ^2_1 π(2−x)^2\,dx. \nonumber \]

Si nous utilisions plutôt la méthode shell, nous utiliserions les fonctions de y pour représenter les courbes, produisant

\[V=\int ^1_0 2π\,y[(2−y)−y] \,dy=\int ^1_0 2π\,y[2−2y]\,dy. \nonumber \]

Aucune de ces intégrales n'est particulièrement onéreuse, mais comme la méthode shell ne nécessite qu'une seule intégrale et que l'integrand nécessite moins de simplification, nous devrions probablement opter pour la méthode shell dans ce cas.

b.

Tout d'abord, esquissez la région et le solide de révolution comme indiqué.

$Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphe est intitulé « a » et correspond à la courbe y=4x-x^2. Il s'agit d'une parabole inversée coupant l'axe X à l'origine et à x=4. La région située au-dessus de l'axe X et en dessous de la courbe est ombrée et étiquetée « R ». Le deuxième graphique intitulé « b » est le même que dans « a ». Sur ce graphique, la région ombrée « R » a été tournée autour de l'axe X pour former un solide.$
Figure$\PageIndex{12}$ : (a) La région$R$ située entre la courbe et l'$x$axe. (b) Le solide de révolution généré en tournant$R$ autour de l'$x$axe.

Si l'on considère la région, il serait problématique de définir un rectangle horizontal ; la région est délimitée à gauche et à droite par la même fonction. Par conséquent, nous pouvons rejeter la méthode des coquilles. Le solide n'a pas de cavité au milieu, nous pouvons donc utiliser la méthode des disques. Alors

\[V=\int ^4_0π\left(4x−x^2\right)^2\,dx \nonumber \]

Exercice$\PageIndex{6}$

Sélectionnez la meilleure méthode pour trouver le volume d'un solide de révolution généré en faisant tourner la région donnée autour de l'$x$axe -, et configurez l'intégrale pour trouver le volume (n'évaluez pas l'intégrale) : la région délimitée par les graphes de$y=2−x^2$ et$y=x^2$.

Allusion

Esquissez la région et utilisez Figure$\PageIndex{12}$ pour décider quelle intégrale est la plus facile à évaluer.

Réponse

Utilisez la méthode des laveuses ;\[V=\int ^1_{−1}π\left[\left(2−x^2\right)^2−\left(x^2\right)^2\right]\,dx \nonumber \]

Concepts clés

La méthode des coques cylindriques est une autre méthode d'utilisation d'une intégrale définie pour calculer le volume d'un solide de révolution. Cette méthode est parfois préférable à la méthode des disques ou à la méthode des laveuses car nous intégrons par rapport à l'autre variable. Dans certains cas, une intégrale est nettement plus compliquée que l'autre.

La géométrie des fonctions et la difficulté de l'intégration sont les principaux facteurs qui déterminent la méthode d'intégration à utiliser.

Équations clés

Méthode des coques cylindriques

$\displaystyle V=\int ^b_a\left(2π\,x\,f(x)\right)\,dx$

Lexique

méthode des coques cylindriques

une méthode de calcul du volume d'un solide de révolution en divisant le solide en enveloppes cylindriques imbriquées ; cette méthode est différente des méthodes des disques ou des rondelles en ce sens que nous intégrons par rapport à la variable opposée

Règle : La méthode des coques cylindriques

Exemple\(\PageIndex{1}\): The Method of Cylindrical Shells I

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Exemple\(\PageIndex{2}\): The Method of Cylindrical Shells II

Exercice\(\PageIndex{2}\)

Règle : La méthode des coques cylindriques pour les solides de révolution autour du\(x\)-axis

Exemple\(\PageIndex{3}\): The Method of Cylindrical Shells for a Solid Revolved around the \(x\)-axis

Exercice\(\PageIndex{3}\)

Exemple\(\PageIndex{4}\): A Region of Revolution Revolved around a Line

Exercice\(\PageIndex{4}\)

Exemple\(\PageIndex{5}\): A Region of Revolution Bounded by the Graphs of Two Functions

Exercice\(\PageIndex{5}\)

Exemple\(\PageIndex{6}\): Selecting the Best Method

Exercice\(\PageIndex{6}\)

Équations clés