6.2E : Exercices pour la section 6.2

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

1) Dérivez la formule du volume d'une sphère en utilisant la méthode de découpage.

2) Utilisez la méthode de tranchage pour obtenir la formule du volume d'un cône.

3) Utilisez la méthode de tranchage pour obtenir la formule du volume d'un tétraèdre avec une longueur de côté$a.$

4) Utilisez la méthode du disque pour obtenir la formule du volume d'un cylindre trapézoïdal.

5) Expliquez quand vous utiliseriez la méthode du disque par rapport à la méthode du lavage. Quand sont-ils interchangeables ?

Volumes par découpage

Pour les exercices 6 à 10, dessinez une tranche type et trouvez le volume en utilisant la méthode de découpage pour le volume donné.

6) Une pyramide avec une hauteur de 6 unités et une base carrée de 2 unités latérales, comme illustré ici.

$Cette figure est une pyramide avec une largeur de base de 2 et une hauteur de 6 unités.$

Solution :: Ici, les coupes sont des carrés pris perpendiculairement à l'$y$axe.
Nous utilisons la coupe verticale de la pyramide passant par son centre pour obtenir une équation relative à$x$ et$y$.
Ici, ce serait l'équation,$ y = 6 - 6x $. Comme nous avons besoin des dimensions du carré à chaque$y$ niveau, nous résolvons cette équation$x$ pour obtenir,$x = 1 - \tfrac{y}{6}$.
C'est la moitié de la distance à travers la section transversale carrée au$y$ niveau -, donc la longueur latérale de la section transversale carrée est,$s = 2\left(1 - \tfrac{y}{6}\right).$
Ainsi, nous avons la surface d'une section transversale est,

$A(y) = \left[2\left(1 - \tfrac{y}{6}\right)\right]^2 = 4\left(1 - \tfrac{y}{6}\right)^2.$

\ (\ begin {align*} \ text {Alors}, \ quad V &= \ int_0^6 4 \ left (1 - \ tfrac {y} {6} \ right) ^2 \, dy \ \ [5pt]
&= -24 \ int_1^0 u^2 \, du, \ quad \ text {where} \, u = 1 - \ tfrac {y} {6}, \, \ text {so} \, du = - \ tfrac {1} {6} \, dy, \ quad \ implique \ quad -6 \, du = dy \ \ [5 points]
&= 24 \ int_0^1 u^2 \, du = 24 \ dfrac {u^3} {3} \ bigg|_0^1 \ \ [5 points]
&= 8u^3 \ bigg|_0^1 \ \ [5 points]
&= 8 \ left (1^3 - 0^3 \ right) \ quad= \ quad 8 \, \ text {unités} ^3 \ fin {align*} \)

7) Une pyramide de 4 unités de hauteur et d'une base rectangulaire de 2 unités de longueur et de 3 unités de largeur, comme illustré ici.

$Cette figure est une pyramide avec une largeur de base de 2, une longueur de 3 et une hauteur de 4 unités.$

8) Un tétraèdre avec une base de 4 unités, comme on le voit ici.

$Cette figure est un triangle équilatéral d'une longueur latérale de 4 unités.$

Réponse: $V = \frac{32}{3\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{3}$unités ³

9) Une pyramide de 5 unités de hauteur et une base triangulaire isocèle de 6 unités et 8 unités de longueur, comme on le voit ici.

$Cette figure est une pyramide à base triangulaire. La vue est celle de la base. Les côtés du triangle mesurent 6 unités, 8 unités et 8 unités. La hauteur de la pyramide est de 5 unités.$

10) Un cône de rayon$ r$ et de hauteur$ h$ possède un cône plus petit de rayon$ r/2$ et de hauteur$ h/2$ retiré du haut, comme on le voit ici. Le solide qui en résulte s'appelle un tronc.

$Cette figure est un graphique tridimensionnel d'un cône renversé. Le cône se trouve à l'intérieur d'un prisme rectangulaire qui représente le système de coordonnées xyz. Le rayon du bas du cône est « r » et le rayon du haut du cône est étiqueté « r/2 ».$

Réponse: $V = \frac{7\pi}{12} hr^2$unités ³

Pour les exercices 11 à 16, tracez le contour du solide et déterminez le volume en utilisant la méthode de découpage.

11) La base est un cercle de rayon$ a$. Les tranches perpendiculaires à la base sont des carrés.

12) La base est un triangle avec des sommets$ (0,0),(1,0),$ et$ (0,1)$. Les tranches perpendiculaires au$xy$ plan -sont des demi-cercles.

Réponse

$Cette figure montre les axes X et Y avec une ligne commençant sur l'axe X en (1,0) et se terminant sur l'axe y en (0,1). Quatre demi-cercles ombrés sont perpendiculaires au plan xy, dont le diamètre commence sur l'axe des abscisses et se termine sur la ligne, diminuant de taille en s'éloignant de l'origine.$

$\displaystyle V = \int_0^1 \frac{\pi(1-x)^2}{8}\, dx \quad = \quad \frac{π}{24}$unités ³

13) La base est la région située sous la parabole$ y=1−x^2$ dans le premier quadrant. Les tranches perpendiculaires au$xy$ plan sont des carrés.

14) La base est la région située sous la parabole$ y=1−x^2$ et au-dessus de l'$x$axe. Les tranches perpendiculaires à l'$y$axe -sont des carrés.

Réponse

$Cette figure montre l'axe X et l'axe Y en perspective tridimensionnelle. Sur le graphique au-dessus de l'axe X se trouve une parabole, dont le sommet est à y=1 et les intersections x à (-1,0) et (1,0). Il existe 3 zones ombrées carrées perpendiculaires au plan x y, qui touchent la parabole de chaque côté et diminuent en taille à mesure que l'on s'éloigne de l'origine.$

$\displaystyle V = \int_0^1 4(1 - y)\,dy \quad = \quad 2$unités ³

15) La base est la région délimitée par$ y=x^2)$ et les$ y=9.$ tranches perpendiculaires à l'$x$axe -sont des triangles isocèles droits.

16) La base est la zone comprise entre$ y=x$ et$ y=x^2$. Les tranches perpendiculaires à l'$x$axe -sont des demi-cercles.

Réponse

$Cette figure est un graphique dont les axes x et y sont diagonaux pour montrer une perspective tridimensionnelle. Dans le premier quadrant du graphique se trouvent les courbes y=x, une droite, et y=x^2, une parabole. Elles se croisent à l'origine et à (1,1). Plusieurs régions ombrées de forme semi-circulaire sont perpendiculaires au plan x y, qui vont de la parabole à la ligne et perpendiculaires à la ligne.$

$\displaystyle V = \int_0^1 \frac{\pi}{8}\left( x - x^2 \right)^2 \, dx \quad=\quad \frac{π}{240}$unités ³

Méthode à disque et à laveuse

Pour les exercices 17 à 24, dessinez la région délimitée par les courbes. Utilisez ensuite la méthode du disque ou de la rondelle pour trouver le volume lorsque la région pivote autour de l'$x$axe.

17)$ x+y=8,\quad x=0$, et$ y=0$

18)$ y=2x^2,\quad x=0,\quad x=4,$ et$ y=0$

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit d'une région ombrée délimitée en haut par la courbe y=2x^2, en dessous par l'axe des abscisses et à droite par la ligne verticale x=4.$

$\displaystyle V = \int_0^4 4\pi x^4\, dx \quad=\quad \frac{4096π}{5}$unités ³

19)$ y=e^x+1,\quad x=0,\quad x=1,$ et$ y=0$

20)$ y=x^4,\quad x=0$, et$ y=1$

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit d'une région ombrée délimitée en haut par la ligne y=1, en dessous par la courbe y=x^4 et à gauche par l'axe y.$

$\displaystyle V = \int_0^1 \pi\left( 1^2 - \left( x^4\right)^2\right)\, dx = \int_0^1 \pi\left( 1 - x^8\right)\, dx \quad = \quad \frac{8π}{9}$unités ³

21)$ y=\sqrt{x},\quad x=0,\quad x=4,$ et$ y=0$

22)$ y=\sin x,\quad y=\cos x,$ et$ x=0$

Réponse

$Cette figure est une région ombrée délimitée au-dessus par la courbe y=cos (x), en bas à gauche par l'axe y et en bas à droite par y=sin (x). La zone ombrée se trouve dans le premier quadrant.$

$\displaystyle V = \int_0^{\pi/4} \pi \left( \cos^2 x - \sin^2 x\right) \, dx = \int_0^{\pi/4} \pi \cos 2x \, dx \quad=\quad \frac{π}{2}$unités ³

23)$ y=\dfrac{1}{x},\quad x=2$, et$ y=3$

24)$ x^2−y^2=9$$ x+y=9,\quad y=0$ et$ x=0$

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit d'une région ombrée délimitée en haut par la droite x + y=9, en dessous par l'axe des abscisses, à gauche par l'axe des ordonnées et à gauche par la courbe x^2-y^2=9.$

$V = 207π$unités ³

Pour les exercices 25 à 32, dessinez la région délimitée par les courbes. Ensuite, trouvez le volume lorsque la région pivote autour de l'$y$axe.

25)$ y=4−\dfrac{1}{2}x,\quad x=0,$ et$ y=0$

26)$ y=2x^3,\quad x=0,\quad x=1,$ et$ y=0$

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit d'une région ombrée délimitée en haut par la courbe y=2x^3, en dessous par l'axe des abscisses et à droite par la ligne x=1.$

$V = \frac{4π}{5}$unités ³

27)$ y=3x^2,\quad x=0,$ et$ y=3$

28)$ y=\sqrt{4−x^2},\quad y=0,$ et$ x=0$

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit d'un quart de cercle avec un centre à l'origine et un rayon de 2. Il est ombragé à l'intérieur.$

$V = \frac{16π}{3}$unités ³

29)$ y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}},\quad x=0$, et$ x=3$

30)$ x=\sec(y)$$ y=\dfrac{π}{4},\quad y=0$ et$ x=0$

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit d'une région ombrée délimitée en haut par la droite y=pi/4, à droite par la courbe x=sec (y), en dessous par l'axe des abscisses et à gauche par l'axe des y.$

$V = π$unités ³

31)$ y=\dfrac{1}{x+1},\quad x=0$, et$ x=2$

32)$ y=4−x,\quad y=x,$ et$ x=0$

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit d'un triangle ombré délimité en haut par la ligne y=4-x, en dessous par la ligne y=x et à gauche par l'axe y.$

$V = \frac{16π}{3}$unités ³

Pour les exercices 33 à 40, dessinez la région délimitée par les courbes. Ensuite, trouvez le volume lorsque la région pivote autour de l'$x$axe.

33)$ y=x+2,\quad y=x+6,\quad x=0$, et$ x=5$

34)$ y=x^2$ et$ y=x+2$

Réponse

$Cette figure est un graphique au-dessus de l'axe X. Il s'agit d'une région ombrée délimitée en haut par la droite y=x+2 et en dessous par la parabole y=x^2.$

$V = \frac{72π}{5}$unités ³

35)$ x^2=y^3$ et$ x^3=y^2$

36)$ y=4−x^2$ et$ y=2−x$

Réponse

$Cette figure est une région ombrée délimitée en haut par la courbe y=4-x^2 et en dessous par la droite y=2-x.$

$V = \frac{108π}{5}$unités ³

37) [T]$ y=\cos x,\quad y=e^{−x},\quad x=0$, et$ x=1.2927$

38)$ y=\sqrt{x}$ et$ y=x^2$

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit d'une région ombrée délimitée en haut par la courbe y=racine carrée (x), en dessous par la courbe y=x^2.$

$V = \frac{3π}{10}$unités ³

39)$ y=\sin x,\quad y=5\sin x,\quad x=0$ et$ x=π$

40)$ y=\sqrt{1+x^2}$ et$ y=\sqrt{4−x^2}$

Réponse

$Cette figure est une région ombrée délimitée en haut par la courbe y = racine carrée (4-x^2) et en dessous par la courbe y = racine carrée (1+x^2).$

$V = 2\sqrt{6}π$unités ³

Pour les exercices 41 à 45, dessinez la région délimitée par les courbes. Utilisez ensuite la méthode de la laveuse pour trouver le volume lorsque la région tourne autour de l'$y$axe.

41)$ y=\sqrt{x},\quad x=4$, et$ y=0$

42)$ y=x+2,\quad y=2x−1$, et$ x=0$

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit d'une région ombrée délimitée en haut par la ligne y=x+2, en dessous par la ligne y=2x-1 et à gauche par l'axe y.$

$V = 9π$unités ³

43)$ y=\dfrac{3}{x}$ et$ y=x^3$

44)$ x=e^{2y},\quad x=y^2,\quad y=0$, et$ y=\ln(2)$

Réponse

$Cette figure est un graphique du premier quadrant. Il s'agit d'une région ombrée délimitée en haut par la courbe y=ln (2), en dessous par l'axe des abscisses, à gauche par la courbe x=y^2 et à droite par la courbe x=e^ (2y).$

$V = \dfrac{π}{20}(75−4\ln^5(2))$unités ³

45)$ x=\sqrt{9−y^2},\quad x=e^{−y},\quad y=0$, et$ y=3$

46) Les contenants de yogourt peuvent avoir la forme de fruits. Faites pivoter la ligne$ y=\left(\frac{1}{m}\right)x$ autour de l'$y$axe -pour trouver le volume compris entre$ y=a$ et$ y=b$.

$Cette figure comporte deux parties. La première partie est un cône plein. La base du cône est plus large que le sommet. Il est présenté dans un encadré en 3 dimensions. Sous le cône se trouve l'image d'un contenant de yaourt ayant la même forme que la figure.$

Réponse: $V = \dfrac{m^2π}{3}(b^3−a^3)$unités ³

47) Faites pivoter l'ellipse$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ autour de l'$x$axe -pour obtenir une approximation du volume d'un ballon de football, comme indiqué ici.

$Cette figure a un ovale approximativement égal à l'image d'un ballon de football.$

48) Faites pivoter l'ellipse$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ autour de l'$y$axe -pour obtenir une approximation du volume d'un ballon de football.

Réponse: $V = \frac{4a^2bπ}{3}$unités ³

49) Une meilleure approximation du volume d'un ballon de football est donnée par le solide qui provient de$ y=\sin x) around the \(x$ l'axe de rotation de$ x=0$ à$ x=π$. Quel est le volume de cette approximation footballistique, comme on le voit ici ?

$Cette figurine a une forme ovale en 3 dimensions. Il se trouve à l'intérieur d'une boîte parallèle à l'axe x sur le bord avant inférieur de la boîte. L'axe Y est vertical par rapport au solide.$

Pour les exercices 51 à 56, trouvez le volume du solide décrit.

51) La base est la région comprise entre$ y=x$ et$ y=x^2$. Les tranches perpendiculaires à l'$x$axe -sont des demi-cercles.

52) La base est la région délimitée par l'ellipse générique. Les$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.$ tranches perpendiculaires à l'$x$axe -sont des demi-cercles.

Réponse: $V = \frac{2ab^2π}{3}$unités ³

53) Percez un trou de rayon a le long de l'axe du cône$a$ droit et à travers la base du rayon$b$, comme on le voit ici.

$Cette figurine est un cône à l'envers. Son rayon supérieur est « b », son centre est « a » et sa hauteur est « b ».$

54) Trouvez le volume commun à deux sphères de rayon$r$ dont les centres sont$2h$ séparés, comme indiqué ici.

$Cette figure comporte deux cercles qui se croisent. Les deux cercles ont un rayon « r ». Il y a un segment de ligne d'un centre à l'autre. Au milieu de l'intersection des cercles se trouve le point « h ». Il se trouve sur le segment de ligne.$

Réponse: $V = \frac{π}{12}(r+h)^2(6r−h)$unités ³

55) Trouvez le volume d'une calotte sphérique de hauteur$h$ et de rayon$r$ où$h<r$, comme on le voit ici.

$Cette figure représente une portion de sphère. Cette calotte sphérique a un rayon « r » et une hauteur « h ».$

56) Trouvez le volume d'une sphère de rayon$R$ avec un plafond de hauteur$h$ retiré du haut, comme on le voit ici.

$Cette figure est une sphère dont la partie supérieure a été supprimée. Le rayon de la sphère est « R ». La distance entre le centre et l'endroit où la partie supérieure est retirée est « R-h ».$

Réponse: $V = \dfrac{π}{3}(h+R)(h−2R)^2$unités ³

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