6.2 : Déterminer les volumes en tranchant

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Objectifs d'apprentissage

Déterminez le volume d'un solide en intégrant une section transversale (méthode de tranchage).
Déterminez le volume d'un solide révolutionnaire à l'aide de la méthode du disque.
Déterminez le volume d'un solide de révolution avec une cavité en utilisant la méthode de la laveuse.

Dans la section précédente, nous avons utilisé des intégrales définies pour déterminer l'aire entre deux courbes. Dans cette section, nous utilisons des intégrales définies pour trouver des volumes de solides tridimensionnels. Nous envisageons trois approches (tranchage, disques et rondelles) pour déterminer ces volumes, en fonction des caractéristiques du solide.

Volume et méthode de tranchage

Tout comme la surface est la mesure numérique d'une région bidimensionnelle, le volume est la mesure numérique d'un solide tridimensionnel. La plupart d'entre nous ont calculé les volumes de solides à l'aide de formules géométriques de base. Le volume d'un solide rectangulaire, par exemple, peut être calculé en multipliant la longueur, la largeur et la hauteur :$V=lwh.$ Les formules pour les volumes de :

une sphère

\[V_{sphere}=\dfrac{4}{3}πr^3, \nonumber \]

un cône

\[V_{cone}=\dfrac{1}{3}πr^2h \nonumber \]

et une pyramide

\[V_{pyramid}=\dfrac{1}{3}Ah \nonumber \]

ont également été introduits. Bien que certaines de ces formules aient été dérivées uniquement à l'aide de la géométrie, toutes ces formules peuvent être obtenues par intégration.

Nous pouvons également calculer le volume d'un cylindre. Bien que la plupart d'entre nous considèrent qu'un cylindre a une base circulaire, comme une boîte de soupe ou une tige métallique, en mathématiques, le mot cylindre a une signification plus générale. Pour aborder les cylindres dans ce contexte plus général, nous devons d'abord définir un certain vocabulaire.

Nous définissons la section transversale d'un solide comme étant l'intersection d'un plan avec le solide. Un cylindre est défini comme tout solide pouvant être généré par translation d'une région plane le long d'une ligne perpendiculaire à la région, appelée axe du cylindre. Ainsi, toutes les sections transversales perpendiculaires à l'axe d'un cylindre sont identiques. Le solide illustré à la figure$\PageIndex{1}$ est un exemple de cylindre à base non circulaire. Pour calculer le volume d'un cylindre, il suffit de multiplier l'aire de la section transversale par la hauteur du cylindre :$V=A⋅h.$ dans le cas d'un cylindre circulaire droit (boîte à soupe), cela devient$V=πr^2h.$

Ce graphique comporte deux chiffres. La première figure est la moitié d'un cylindre, sur la partie plate. Le cylindre est traversé par une ligne centrale étiquetée « x ». Couper verticalement le cylindre, perpendiculairement à la ligne, est un plan. La deuxième figure est une coupe transversale bidimensionnelle du cylindre croisant le plan. Il s'agit d'un demi-cercle. — Figure$\PageIndex{1}$ *: Chaque section transversale d'un cylindre donné est identique aux autres.*

Si un solide n'a pas une section transversale constante (et qu'il ne fait pas partie des autres solides basiques), il se peut que nous n'ayons pas de formule pour son volume. Dans ce cas, nous pouvons utiliser une intégrale définie pour calculer le volume du solide. Pour ce faire, nous découpons le solide en morceaux, en estimant le volume de chaque tranche, puis en additionnant ces volumes estimés. Les tranches doivent toutes être parallèles les unes aux autres, et lorsque nous les assemblons, nous devrions obtenir le solide entier. Prenons, par exemple, le solide S illustré sur la figure$\PageIndex{2}$, qui s'étend le long de$x$ l'axe.

Cette figure est un graphique d'un solide tridimensionnel. Il possède une arête le long de l'axe X. L'axe X fait partie du système de coordonnées bidimensionnel avec l'axe Y étiqueté. L'arête du solide le long de l'axe X commence à un point désigné « a » et s'arrête à un point marqué « b ». — Figure$\PageIndex{2}$ : Un solide dont la section transversale varie.

Nous voulons le$S$ diviser en tranches perpendiculaires à l'$x$axe. Comme nous le verrons plus loin dans le chapitre, il peut arriver que nous souhaitions découper le solide dans une autre direction, par exemple avec des tranches perpendiculaires à l'$y$axe. Le choix du mode de découpe du solide est très important. Si nous faisons le mauvais choix, les calculs peuvent devenir assez compliqués. Plus loin dans le chapitre, nous examinerons certaines de ces situations en détail et nous verrons comment décider de la manière de découper le solide. Pour les besoins de cette section, cependant, nous utilisons des tranches perpendiculaires à l'$x$axe.

Comme l'aire de la section transversale n'est pas constante, nous$A(x)$ représentons l'aire de la section transversale au point x.$P={x_0,x_1…,X_n}$ Soit maintenant une partition régulière de$[a,b]$, et pour$i=1,2,…n$,$S_i$ représentons la tranche d'$S$étirement de$x_{i−1}$ à$x_i$. La figure suivante montre le solide tranché avec$n=3$.

Enfin, car$i=1,2,…n,$$x^∗_i$ soyons un point arbitraire$[x_{i−1},x_i]$. Ensuite, le volume de la tranche$S_i$ peut être estimé par$V(S_i)≈A(x^∗_i)\,Δx$. En additionnant ces approximations, nous voyons que le volume de l'ensemble du solide$S$ peut être estimé par

\[V(S)≈\sum_{i=1}^nA(x^∗_i)\,Δx. \nonumber \]

À présent, nous pouvons reconnaître qu'il s'agit d'une somme de Riemann, et notre prochaine étape consiste à prendre la limite comme$n→∞.$ alors nous avons

\[V(S)=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^nA(x^∗_i)\,Δx=∫_a^b A(x)\,dx. \nonumber \]

La technique que nous venons de décrire s'appelle la méthode de tranchage. Pour l'appliquer, nous utilisons la stratégie suivante.

Stratégie de résolution de problèmes : recherche de volumes par la méthode de découpage

Examinez le solide et déterminez la forme d'une section transversale du solide. Il est souvent utile de faire un dessin s'il n'en est pas fourni.
Déterminez une formule pour l'aire de la section transversale.
Intégrez la formule de surface sur l'intervalle approprié pour obtenir le volume.

N'oubliez pas que dans cette section, nous supposons que les tranches sont perpendiculaires à l'$x$axe. Par conséquent, la formule de l'aire est exprimée en termes de x et les limites de l'intégration se situent sur l'$x$axe des. Cependant, la stratégie de résolution de problèmes présentée ici est valable quelle que soit la manière dont nous choisissons de découper le solide.

Exemple$\PageIndex{1}$: Deriving the Formula for the Volume of a Pyramid

Nous savons par la géométrie que la formule du volume d'une pyramide est$V=\dfrac{1}{3}Ah$. Si la pyramide a une base carrée, cela devient$V=\dfrac{1}{3}a^2h$, où a indique la longueur d'un côté de la base. Nous allons utiliser la méthode de découpage pour obtenir cette formule.

Solution

Nous voulons appliquer la méthode de découpage à une pyramide à base carrée. Pour configurer l'intégrale, considérez la pyramide illustrée à la figure$\PageIndex{4}$, $x$orientée le long de l'axe.

Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphique, intitulé « a », est une pyramide sur son côté. L'axe X passe par le milieu de la pyramide. Le point du sommet de la pyramide est à l'origine du système de coordonnées x y. La base de la pyramide est ombrée et étiquetée « a ». À l'intérieur de la pyramide se trouve un rectangle ombré marqué « s ». La distance entre l'axe y et la base de la pyramide est désignée par « h ». La distance entre le rectangle situé à l'intérieur de la pyramide et l'axe y est désignée par « x ». La deuxième figure est une coupe transversale de la pyramide avec les axes x et y étiquetés. La section transversale est un triangle dont l'un des côtés est marqué « a », perpendiculaire à l'axe X. La distance a par rapport à l'axe y est h. Il existe une autre ligne perpendiculaire à l'axe X à l'intérieur du triangle. Il est étiqueté « s ». Il s'agit de x unités de l'axe Y. — Figure$\PageIndex{4}$ : (a) Une pyramide à base carrée est orientée le long de l'$x$axe. (b) Une vue en deux dimensions de la pyramide est vue de côté.

Nous voulons d'abord déterminer la forme d'une section transversale de la pyramide. Nous savons que la base est un carré, donc les sections transversales sont également des carrés (étape 1). Nous voulons maintenant déterminer une formule pour l'aire de l'un de ces carrés transversaux. En regardant la Figure$\PageIndex{4}$ (b) et en utilisant une proportion, puisqu'il s'agit de triangles similaires, nous avons

\[\dfrac{s}{a}=\dfrac{x}{h} \nonumber \]

\[s=\dfrac{ax}{h}. \nonumber \]

Par conséquent, l'aire de l'un des carrés transversaux est

\[A(x)=s^2=\left(\dfrac{ax}{h}\right)^2 \quad\quad\text{(step 2)} \nonumber \]

On trouve ensuite le volume de la pyramide en intégrant de$0$ à$h$ (étape 3) :

\[V=∫_0^hA(x)\,dx=∫_0^h\left(\dfrac{ax}{h}\right)^2\,dx=\dfrac{a^2}{h^2}∫_0^hx^2\,dx=\left.\Big[\dfrac{a^2}{h^2}\left(\dfrac{1}{3}x^3\right)\Big]\right|^h_0=\dfrac{1}{3}a^2h. \nonumber \]

C'est la formule que nous recherchions.

Exercice$\PageIndex{1}$

Utilisez la méthode de tranchage\[V=\dfrac{1}{3}πr^2h \nonumber \] pour obtenir la formule du volume d'un cône circulaire.

Allusion: Utilisez des triangles similaires, comme dans l'exemple$\PageIndex{1}$.

Solides de la révolution

Si une région d'un plan tourne autour d'une ligne de ce plan, le solide obtenu est appelé solide de révolution, comme le montre la figure suivante.

Cette figure comporte trois graphiques. Le premier graphe, intitulé « a », est une région du plan x y. La région est créée par une courbe au-dessus de l'axe X et de l'axe X. Le deuxième graphique, intitulé « b », est la même région que dans « a », mais il montre la région qui commence à tourner autour de l'axe X. Le troisième graphe, étiqueté « c », est le solide formé en faisant pivoter la région de « a » complètement autour de l'axe X, formant ainsi un solide. — Figure$\PageIndex{5}$ : (a) Il s'agit de la région qui tourne autour de l'$x$axe. (b) Lorsque la région commence à tourner autour de l'axe, elle balaie un solide mouvement de révolution. (c) C'est le solide qui se forme lorsque la révolution est terminée.

Les solides de révolution sont courants dans les applications mécaniques, telles que les pièces de machines produites par un tour. Nous passons le reste de cette section à examiner les solides de ce type. L'exemple suivant utilise la méthode de découpage pour calculer le volume d'un solide de révolution.

Exemple$\PageIndex{2}$: Using the Slicing Method to find the Volume of a Solid of Revolution

Utilisez la méthode de découpage pour déterminer le volume du solide de révolution délimité par les graphes de$f(x)=x^2−4x+5,x=1$$x=4,$ et pivoté autour de l'$x$axe.

Solution

À l'aide de la stratégie de résolution de problèmes, nous esquissons d'abord le graphique de la fonction quadratique sur l'intervalle,$[1,4]$ comme indiqué dans la figure suivante.

Cette figure est un graphique de la parabole f (x) =x^2-4x+5. La parabole est le sommet d'une région ombrée au-dessus de l'axe X. La région est délimitée à gauche par une ligne à x=1 et à droite par une ligne à x=4. — Figure$\PageIndex{6}$ : Une région utilisée pour produire un solide de révolution.

Ensuite, faites pivoter la région autour de l'$x$axe Y, comme indiqué dans la figure suivante.

Cette figure présente deux graphes de la parabole f (x) =x^2-4x+5. La parabole est le sommet d'une région ombrée au-dessus de l'axe X. La région est délimitée à gauche par une ligne à x=1 et à droite par une ligne à x=4. Le premier graphique comporte un solide ombré en dessous de la parabole. Ce solide a été formé en faisant tourner la parabole autour de l'axe X. Le deuxième graphique est identique au premier, le solide étant pivoté pour montrer le solide. — Figure$\PageIndex{7}$ : Deux vues, (a) et (b), du solide de révolution produit en faisant tourner la région de la figure$\PageIndex{6}$ autour de l'$x$**axe.**

Comme le solide a été formé en faisant tourner la région autour de l'$x$axe Y, les sections transversales sont des cercles (étape 1). L'aire de la section transversale est donc l'aire d'un cercle, et le rayon du cercle est donné par$f(x).$ Utilisez la formule pour l'aire du cercle :

\[A(x)=πr^2=π[f(x)]^2=π(x^2−4x+5)^2\quad\quad\text{(step 2).} \nonumber \]

Le volume est donc (étape 3)

\[\begin{align*} V &=∫_a^b A(x)\,dx \\ &=∫^4_1π(x^2−4x+5)^2\,dx \\ &=π∫^4_1(x^4−8x^3+26x^2−40x+25)\,dx \\ &=\left. π\left(\dfrac{x^5}{5}−2x^4+\dfrac{26x^3}{3}−20x^2+25x\right)\right|^4_1 \\ &=\dfrac{78}{5}π \end{align*}\]

Le volume est$78π/5\,\text{units}^3.$

Exercice$\PageIndex{2}$

Utilisez la méthode de découpage pour déterminer le volume du solide de révolution formé en faisant tourner la région située entre le graphe de la fonction$f(x)=1/x$ et l'$x$axe -sur l'intervalle$[1,2]$ autour de l'$x$axe. Reportez-vous à la figure suivante.

$Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphique est la courbe f (x) =1/x. Il s'agit d'une courbe décroissante, au-dessus de l'axe des abscisses dans le premier quadrant. Le graphique possède une zone ombrée sous la courbe comprise entre x=1 et x=2. Le deuxième graphique est la courbe f (x) =1/x dans le premier quadrant. De plus, sous ce graphique, il y a un solide entre x=1 et x=2 qui a été formé en faisant pivoter la région du premier graphe autour de l'axe x.$

Allusion: Utilisez la stratégie de résolution de problèmes présentée précédemment et suivez l'exemple$\PageIndex{2}$ pour vous aider à l'étape 2.

Réponse: $\dfrac{π}{2} \,\text{units}^3$

La méthode Disk

Lorsque nous utilisons la méthode de tranchage avec des solides de révolution, elle est souvent appelée méthode des disques car, pour les solides de révolution, les tranches utilisées pour surapproximer le volume du solide sont des disques. Pour ce faire, considérez le solide de révolution généré en faisant tourner la région située entre le graphe de la fonction$f(x)=(x−1)^2+1$ et l'$x$axe -sur l'intervalle$[−1,3]$ autour de l'$x$axe. Le graphique de la fonction et un disque représentatif sont présentés dans les figures$\PageIndex{8}$ (a) et (b). La région de révolution et le solide obtenu sont illustrés sur les figures$\PageIndex{8}$ (c) et (d).

Cette figure comporte quatre graphiques. Le premier graphe, intitulé « a », est une parabole f (x) = (x-1) ^2+1. La courbe se trouve au-dessus de l'axe X et coupe l'axe y en y=2. Sous la courbe du premier quadrant se trouve un rectangle vertical partant de l'axe X et s'arrêtant au niveau de la courbe. Le deuxième graphe, intitulé « b », est la même parabole que dans le premier graphe. Le rectangle situé sous la parabole du premier graphe a été pivoté autour de l'axe X pour former un disque plein. Le troisième graphe intitulé « c » est la même parabole que le premier graphe. Il existe une région ombrée délimitée au-dessus par la parabole, à gauche par la ligne x=-1, à droite par la ligne x=3, et en bas par l'axe des abscisses. Le quatrième graphe intitulé « d » est la même parabole que le premier graphe. La région du troisième graphe a été tournée autour de l'axe X pour former un solide. — Figure$\PageIndex{8}$ : (a) Un mince rectangle pour approximer l'aire sous une courbe. (b) Un disque représentatif formé en faisant tourner le rectangle autour de l'$x$**axe.** (c) La région située sous la courbe tourne autour de l'$x$**axe -,** ce qui donne (d) le solide de révolution.

Figure$\PageIndex{8}$ : (e) Une version dynamique de ce solide révolutionnaire généré à l'aide de CalcPlot3D.

Nous avons déjà utilisé le développement formel de la somme de Riemann de la formule volumique lorsque nous avons développé la méthode de découpage. Nous savons que\[∫_a^b A(x)\,dx.\nonumber \]

La seule différence avec la méthode des disques est que nous connaissons à l'avance la formule de l'aire transversale ; il s'agit de l'aire d'un cercle. Cela donne la règle suivante.

La méthode Disk

$f(x)$Soyons continus et non négatifs. Définissez$R$ comme étant la région délimitée au-dessus par le graphique de$f(x)$, en dessous par l'$x$axe, à gauche par la ligne$x=a$ et à droite par la ligne$x=b$. Ensuite, le volume du solide de révolution formé en tournant$R$ autour de l'$x$axe -est donné par

\[V=∫^b_aπ[f(x)]^2\,dx. \nonumber \]

Le volume du solide que nous avons étudié (Figure$\PageIndex{8}$) est donné par

\ [\ begin {align*} V &=90^b_aπ \ gauche [f (x) \ droite] ^2 \, dx \ \
&=^3_ {−1} π \ big [(x−1) ^2+1 \ big] ^2 \, dx=πré^3_ {−1} \ grand [(x−1) ^4+2 (x−1) ^2+1 \ grand] ^2 \, dx \ \
&=π \ left. \ Big [\ frac {1} {5} (x−1) ^5+ \ frac {2} {3} (x−1) ^3+x \ Big] \ droite|^3_ {−1} \ \
&=π \ left [\ left (\ frac {32} {5} + \ frac {16} {3} +3 \ right) − \ left (− {frac {32} {5} + \ frac {16} {3} +3 \ right) − \ left (− {frac {32} {5} + \ frac {16} {3} +32} {5} − \ frac {16} {3} −1 (\ right) \ right] \ \
&= \ frac {412π} {15} \, \ text {unités} ^3. \ end {align*} \]

Regardons quelques exemples.

Exemple$\PageIndex{3}$: Using the Disk Method to Find the Volume of a Solid of Revolution 1

Utilisez la méthode du disque pour déterminer le volume du solide de révolution généré en faisant pivoter la région située entre le graphe de$f(x)=\sqrt{x}$ et l'$x$axe -sur l'intervalle$[1,4]$ autour de l'$x$axe.

Solution

Les graphes de la fonction et du solide de révolution sont illustrés dans la figure suivante.

Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphe intitulé « a » est la courbe f (x) = racine carrée (x). Il s'agit d'une courbe croissante au-dessus de l'axe X. La courbe se trouve dans le premier quadrant. Sous la courbe se trouve une région délimitée par x=1 et x=4. Le bas de la région correspond à l'axe X. Le deuxième graphique intitulé « b » est la même courbe que le premier graphique. La région solide du premier graphe a été tournée autour de l'axe X pour former une région solide. — Figure$\PageIndex{9}$ : (a) La fonction$f(x)=\sqrt{x}$ sur l'intervalle$[1,4]$. (b) Le solide de révolution obtenu en faisant tourner la région sous le graphe d'$f(x)$environ l'$x$**axe**.

Nous avons

\ [\ begin {align*} V&=^B_Aπ \ big [f (x) \ big] ^2 \, dx \ \
&=pi^4_1π \ left [\ sqrt {x} \ droite] ^2 \, dx=πν^4_1x \, dx \ \
&= \ dfrac {π} {2} x^2 \ bigg|^4_1= \ dfrac {15π} {2} \ end {align*} \]

Le volume est$(15π)/2 \,\text{units}^3.$

Exercice$\PageIndex{3}$

Utilisez la méthode du disque pour déterminer le volume du solide de révolution généré en faisant pivoter la région située entre le graphe de$f(x)=\sqrt{4−x}$ et l'$x$axe -sur l'intervalle$[0,4]$ autour de l'$x$axe.

Allusion: Utilisez la procédure décrite dans Example$\PageIndex{3}$.

Réponse: $8π \,\text{units}^3$

Jusqu'à présent, dans nos exemples, toutes les régions concernées tournaient autour de$x$ l'axe -, mais nous pouvons générer un solide de révolution en faisant tourner une région plane autour d'une ligne horizontale ou verticale. Dans l'exemple suivant, nous examinons un solide de révolution qui a été généré en faisant tourner une région autour de l'$y$axe. La mécanique de la méthode des disques est presque la même que lorsque l'$x$axe -est l'axe de révolution, mais nous exprimons la fonction en termes de y$y$ et nous l'intégrons également par rapport à y. Ceci est résumé dans la règle suivante.

Règle : La méthode du disque pour Solids of Revolution around$y$-axis

$g(y)$Soyons continus et non négatifs. Définissez$Q$ comme étant la région délimitée à droite par le graphique de$g(y)$, à gauche par l'$y$axe, en dessous par la ligne$y=c$ et au-dessus par la ligne$y=d$. Ensuite, le volume du solide de révolution formé en tournant$Q$ autour de l'$y$axe -est donné par

\[V=∫^d_cπ\big[g(y)\big]^2\,dy. \nonumber \]

L'exemple suivant montre comment cette règle fonctionne dans la pratique.

Exemple$\PageIndex{4}$: Using the Disk Method to Find the Volume of a Solid of Revolution 2

$R$Soit la région délimitée par le graphique de$g(y)=\sqrt{4−y}$ et l'$y$axe -sur l'intervalle de$y$ l'axe$[0,4]$. Utilisez la méthode du disque pour déterminer le volume du solide de révolution généré par une rotation$R$ autour de l'$y$axe.

Solution

La figure$\PageIndex{10}$ montre la fonction et un disque représentatif qui peuvent être utilisés pour estimer le volume. Notez que puisque nous faisons tourner la fonction autour de l'$y$axe -, les disques sont horizontaux plutôt que verticaux.

Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphique intitulé « a » est la courbe g (y) = racine carrée (4-y). Il s'agit d'une courbe décroissante commençant sur l'axe y à y=4. Entre la courbe et l'axe y se trouve un rectangle horizontal. Le rectangle commence sur l'axe Y et s'arrête sur la courbe. Le deuxième graphique intitulé « b » est la même courbe que le premier graphique. Le rectangle du premier graphe a été pivoté autour de l'axe Y pour former un disque horizontal. — Figure$\PageIndex{10}$ : (a) Un mince rectangle est représenté entre la courbe de la fonction$g(y)=\sqrt{4−y}$ et l'$y$**axe.** (b) Le rectangle forme un disque représentatif après révolution autour de l'$y$**axe.**

La région à faire tourner et l'ensemble du solide de révolution sont représentés dans la figure suivante.

Pour trouver le volume, nous intégrons par rapport à$y$. Nous obtenons

\[V=∫^d_cπ\big[g(y)\big]^2\,dy=∫^4_0π\left[\sqrt{4−y}\right]^2\,dy=π∫^4_0(4−y)\,dy=π\left.\left[4y−\frac{y^2}{2}\right]\right|^4_0=8π. \nonumber \]

Le volume est$8π \,\text{units}^3$.

Exercice$\PageIndex{4}$

Utilisez la méthode du disque pour déterminer le volume du solide de révolution généré en faisant pivoter la région située entre le graphe de$g(y)=y$ et l'$y$axe -sur l'intervalle$[1,4]$ autour de l'$y$axe.

Allusion: Utilisez la procédure décrite dans Example$\PageIndex{4}$.

Réponse: $21π \,\text{units}^3$

La méthode Washer

Certains solides de révolution ont des cavités au milieu ; ils ne sont pas solides jusqu'à l'axe de révolution. Parfois, cela est simplement le résultat de la façon dont la région de révolution est façonnée par rapport à l'axe de révolution. Dans d'autres cas, des cavités apparaissent lorsque la région de révolution est définie comme la région située entre les graphes de deux fonctions. Cela peut également se produire lorsqu'un axe de révolution autre que l'$x$axe -ou l'$y$axe -est sélectionné.

Lorsque le solide de révolution présente une cavité au milieu, les tranches utilisées pour approximer le volume ne sont pas des disques, mais des rondelles (disques avec des trous au centre). Par exemple, considérez la région délimitée en haut par le graphe de la fonction$f(x)=\sqrt{x}$ et en dessous par le graphique de la fonction$g(x)=1$ sur l'intervalle$[1,4]$. Lorsque cette région tourne autour de l'$x$axe Y, le résultat est un solide avec une cavité au milieu et les tranches sont des rondelles. Le graphique de la fonction et une laveuse représentative sont présentés dans les figures$\PageIndex{12}$ (a) et (b). La région de révolution et le solide obtenu sont illustrés sur les figures$\PageIndex{12}$ (c) et (d).

Cette figure comporte quatre graphiques. Le premier graphe est étiqueté « a » et possède les deux fonctions f (x) =racine carrée (x) et g (x) =1 tracées dans le premier quadrant. f (x) est une courbe croissante partant de l'origine et g (x) est une ligne horizontale à y=1. Les courbes se croisent au niveau de la paire ordonnée (1,1). Entre les courbes se trouve un rectangle ombré dont le bas est placé sur g (x) et le haut sur f (x). Le deuxième graphe intitulé « b » est constitué des deux mêmes courbes que le premier graphe. Le rectangle ombré entre les courbes du premier graphique a été pivoté autour de l'axe X pour former un disque ou une rondelle ouverte. Le troisième graphe intitulé « a » possède les deux mêmes courbes que le premier graphique. Il existe une zone ombrée entre les deux courbes entre leur intersection et une ligne à x=4. Le quatrième graphe est constitué des deux mêmes courbes que le premier, la région du troisième graphe pivotant autour de l'axe x formant une région pleine avec un centre creux. Le centre creux est représenté sur le graphique par des lignes horizontales brisées à y=1 et y=-1. — Figure$\PageIndex{12}$ : (a) Un mince rectangle dans la zone située entre deux courbes. (b) Un disque représentatif formé en faisant tourner le rectangle autour de l'$x$**axe.** (c) La région entre les courbes sur l'intervalle donné. (d) Le solide révolutionnaire qui en résulte.

Figure$\PageIndex{12}$ : (e) Une version dynamique de ce solide révolutionnaire généré à l'aide de CalcPlot3D.

La surface transversale est donc la surface du cercle extérieur moins la surface du cercle intérieur. Dans ce cas,

$A(x)=π\left(\sqrt{x}\right)^2−π(1)^2=π(x−1).$

Ensuite, le volume du solide est

\[V=∫^b_a A(x)\,dx=∫^4_1π(x−1)\,dx=π\left.\left[\frac{x^2}{2}−x\right]\right|^4_1=\frac{9}{2}π\,\text{units}^3. \nonumber \]

La généralisation de ce processus donne la méthode du laveur.

Règle : La méthode Washer

Supposons$f(x)$ et$g(x)$ sont des fonctions continues et non négatives telles que «$f(x)≥g(x)$ over »$[a,b]$. $R$Dénotons la région délimitée en haut par le graphique de$f(x)$, en bas par le graphique de$g(x)$, à gauche par la ligne$x=a$ et à droite par la ligne$x=b$. Ensuite, le volume du solide de révolution formé en tournant$R$ autour de l'$x$axe -est donné par

\[V=∫^b_aπ\left[(f(x))^2−(g(x))^2\right]\,dx. \nonumber \]

Exemple$\PageIndex{5}$: Using the Washer Method

Détermine le volume d'un solide de révolution formé en faisant tourner la région délimitée au-dessus par le graphe de$f(x)=x$ et en dessous par le graphique de$g(x)=1/x$ sur l'intervalle$[1,4]$ autour de l'$x$axe.

Solution

Les graphes des fonctions et du solide de révolution sont présentés dans la figure suivante.

Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphe est étiqueté « a » et comporte les deux courbes f (x) =x et g (x) =1/x. Elles sont représentées uniquement dans le premier quadrant. f (x) est une ligne diagonale partant de l'origine et g (x) est une courbe décroissante dont l'axe y est une asymptote verticale et l'axe des x une asymptote horizontale. Les graphes se croisent en (1,1). Il existe une zone ombrée entre les graphiques, délimitée vers la droite par une ligne à x=4. Le deuxième graphique est constitué des deux mêmes courbes. Un solide est formé en faisant pivoter la région ombrée du premier graphe autour de l'axe X. — Figure$\PageIndex{13}$ : (a) La région située entre les graphes des fonctions$f(x)=x$ et$g(x)=1/x$ sur l'intervalle$[1,4]$. (b) La rotation de la région autour de$x$ **l'axe -génère** un solide de révolution avec une cavité au milieu.

Nous avons

\ [\ begin {align*} V &=π^b_aπ \ big [(f (x)) ^2− (g (x)) ^2 \ big] \, dx=πré^4_1 \ left [x^2− \ left (\ frac {1} {x} \ right) ^2 \ right] \, dx \ \
&=π \ left. \ left [\ frac {x^3} {3} + \ frac {1} {x} \ right] \ right|^4_1 \ \
&= \ dfrac {81π} {4} \, \ text {unités} ^3. \ end {align*} \]

$clipboard_ec285765f5c0a0709a54ba430e31011a6.png$

Figure$\PageIndex{13}$ : (c) Une version dynamique de ce solide de révolution généré à l'aide de CalcPlot3D.

Exercice$\PageIndex{5}$

Déterminez le volume d'un solide de révolution formé en faisant tourner la région délimitée par les graphes de$f(x)=\sqrt{x}$ et$g(x)=1/x$ sur l'intervalle$[1,3]$ autour de l'$x$axe.

Allusion: Représentez graphiquement les fonctions pour déterminer quel graphe forme la limite supérieure et quel graphe forme la limite inférieure, puis utilisez la procédure décrite dans Example$\PageIndex{5}$.

Réponse: $\dfrac{10π}{3} \,\text{units}^3$

Comme pour la méthode des disques, nous pouvons également appliquer la méthode du laveur aux solides de révolution résultant de la rotation d'une région autour de l'$y$axe. Dans ce cas, la règle suivante s'applique.

Règle : La méthode Washer pour les solides de révolution autour du$y$-axis

Supposons$u(y)$ et$v(y)$ sont des fonctions continues et non négatives telles que$v(y)≤u(y)$ pour$y∈[c,d]$. $Q$Dénotons la région délimitée à droite par le graphique de$u(y)$, à gauche par le graphique de$v(y)$, en dessous par la ligne$y=c$ et au-dessus par la ligne$y=d$. Ensuite, le volume du solide de révolution formé en tournant$Q$ autour de l'$y$axe -est donné par

\[V=∫^d_cπ\left[(u(y))^2−(v(y))^2\right]\,dy. \nonumber \]

Plutôt que de regarder un exemple de la méthode de la laveuse avec$y$ l'axe -comme axe de révolution, nous considérons maintenant un exemple dans lequel l'axe de révolution est une ligne autre que l'un des deux axes de coordonnées. La même méthode générale s'applique, mais il se peut que vous deviez visualiser la façon de décrire la section transversale du volume.

Exemple$\PageIndex{6}$:

Détermine le volume d'un solide de révolution formé en faisant tourner la région délimitée au-dessus$f(x)=4−x$ et en dessous par l'$x$axe -sur l'intervalle$[0,4]$ autour de la ligne$y=−2.$

Solution

Le graphique de la région et du solide de révolution est illustré dans la figure suivante.

Cette figure comporte deux graphiques. Le premier graphe est étiqueté « a » et comporte les deux courbes f (x) =4-x et -2. Une région ombrée forme un triangle délimité par la droite décroissante f (x), l'axe y et l'axe x. Le deuxième graphique est constitué des deux mêmes courbes. Un solide est formé en faisant pivoter la région ombrée du premier graphe autour de la ligne y=-2. Il y a un cylindre creux à l'intérieur du solide représenté par les lignes y=-2 et y=-4. — Figure$\PageIndex{14}$ : (a) Région située entre le graphe de la fonction$f(x)=4−x$ et l'**$x$axe -sur** l'intervalle$[0,4]$. (b) La rotation de la région autour de la ligne$y=−2$ génère un solide de révolution percé d'un trou cylindrique en son milieu.

Nous ne pouvons pas appliquer directement la formule du volume à ce problème car l'axe de révolution n'est pas l'un des axes de coordonnées. Cependant, nous savons toujours que l'aire de la section transversale est l'aire du cercle extérieur moins l'aire du cercle intérieur. En regardant le graphe de la fonction, nous voyons que le rayon du cercle extérieur est donné par$f(x)+2,$ ce qui simplifie

$f(x)+2=(4−x)+2=6−x.$

Le rayon du cercle intérieur est$g(x)=2.$ donc, nous avons

\ [\ begin {align*} V &=eclip^4_0π \ left [(6−x) ^2− (2) ^2 \ right] \, dx \ \
&=πν^4_0 (x^2−12x+32) \, dx=π \ left. \ left [\ frac {x^3} {3} −6x^2+32x \ right] \ right|^4_0 \ \
&= \ dfrac {160π} {3} \, \ text {unités} ^3. \ end {align*} \]

Figure$\PageIndex{14}$ : (c) Une version dynamique de ce solide de révolution généré à l'aide de CalcPlot3D.

Exercice$\PageIndex{6}$

Détermine le volume d'un solide de révolution formé en faisant tourner la région délimitée au-dessus par le graphique de$f(x)=x+2$ et au-dessous par l'$x$axe -sur l'intervalle$[0,3]$ autour de la droite$y=−1.$

Allusion: Utilisez la procédure décrite dans Example$\PageIndex{6}$.

Réponse: $60π$unités ³

Concepts clés

Des intégrales définies peuvent être utilisées pour déterminer les volumes de solides. En utilisant la méthode de tranchage, nous pouvons trouver un volume en intégrant la surface transversale.
Pour les solides de révolution, les tranches volumiques sont souvent des disques et les sections transversales sont des cercles. La méthode des disques consiste à appliquer la méthode de découpage dans le cas particulier où les sections transversales sont des cercles, et à utiliser la formule pour l'aire d'un cercle.
Si un solide de révolution possède une cavité au centre, les tranches volumiques sont des rondelles. Avec la méthode des rondelles, l'aire du cercle intérieur est soustraite de la zone du cercle extérieur avant l'intégration.

Équations clés

Méthode du disque le long de$x$ l'axe

$\displaystyle V=∫^b_aπ\big[f(x)\big]^2\,dx$

Méthode du disque le long de$y$ l'axe

$\displaystyle V=∫^d_cπ\big[g(y)\big]^2\,dy$

Méthode de lavage

$\displaystyle V=∫^b_aπ\left[(f(x))^2−(g(x))^2\right]\,dx$

Lexique

section transversale: l'intersection d'un plan et d'un objet solide

méthode sur disque: un cas particulier de la méthode de tranchage utilisée avec des solides de révolution lorsque les tranches sont des disques

méthode de tranchage: une méthode de calcul du volume d'un solide qui consiste à découper le solide en morceaux, à estimer le volume de chaque pièce, puis à ajouter ces estimations pour obtenir une estimation du volume total ; à mesure que le nombre de tranches atteint l'infini, cette estimation devient une intégrale qui donne la valeur exacte du volume

solide de révolution: un solide généré en faisant tourner une région d'un plan autour d'une ligne de ce plan

méthode de lavage: un cas particulier de la méthode de tranchage utilisée avec des solides révolutionnaires lorsque les tranches sont des rondelles

Stratégie de résolution de problèmes : recherche de volumes par la méthode de découpage

Exemple\(\PageIndex{1}\): Deriving the Formula for the Volume of a Pyramid

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Exemple\(\PageIndex{2}\): Using the Slicing Method to find the Volume of a Solid of Revolution

Exercice\(\PageIndex{2}\)

La méthode Disk

Exemple\(\PageIndex{3}\): Using the Disk Method to Find the Volume of a Solid of Revolution 1

Exercice\(\PageIndex{3}\)

Règle : La méthode du disque pour Solids of Revolution around\(y\)-axis

Exemple\(\PageIndex{4}\): Using the Disk Method to Find the Volume of a Solid of Revolution 2

Exercice\(\PageIndex{4}\)

Règle : La méthode Washer

Exemple\(\PageIndex{5}\): Using the Washer Method

Exercice\(\PageIndex{5}\)

Règle : La méthode Washer pour les solides de révolution autour du\(y\)-axis

Exemple\(\PageIndex{6}\):

Exercice\(\PageIndex{6}\)