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6.1E : Exercices pour la section 6.1

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Pour les exercices 1 à 2, déterminez l'aire de la région située entre les deux courbes de la figure donnée en effectuant une intégration sur l'\(x\)axe.

    1)\(y=x^2−3\) et\(y=1\)

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les fonctions f (x) = x^2-3 et g (x) =1. Entre ces graphiques se trouve une région ombrée, délimitée au-dessus par g (x) et en dessous par f (x). La zone ombrée est comprise entre x=-2 et x=2.

    Réponse
    \(\dfrac{32}{3} \, \text{units}^2\)

    2)\(y=x^2\) et\(y=3x+4\)

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les fonctions f (x) = x^2 et g (x) = 3x+4. Entre ces graphiques se trouve une région ombrée, délimitée au-dessus par g (x) et au-dessous par g (x).

    Pour les exercices 3 à 4, divisez la région située entre les deux courbes en deux zones plus petites, puis déterminez la zone en l'intégrant sur\(x\) l'axe. Notez que vous aurez deux intégrales à résoudre.

    3)\(y=x^3\) et\( y=x^2+x\)

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les fonctions f (x) = x^3 et g (x) = x^2+x. Ces graphes se croisent deux fois. Les régions situées entre les intersections sont ombrées. La première région est délimitée au-dessus par f (x) et au-dessous par g (x). La seconde région est limitée au-dessus par g (x) et au-dessous par f (x).

    Réponse
    \(\dfrac{13}{12}\, \text{units}^2\)

    4)\(y=\cos θ\) et\( y=0.5\), pour\( 0≤θ≤π\)

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les fonctions f (thêta) = cos (thêta) et g (x) = 0,5. Ces graphes se croisent deux fois. Les régions situées entre les intersections sont ombrées. La première région est délimitée au-dessus par f (x) et au-dessous par g (x). La seconde région est limitée au-dessus par g (x) et au-dessous par f (x).

    Pour les exercices 5 à 6, déterminez l'aire de la région située entre les deux courbes en les intégrant sur l'\(y\)axe.

    5)\(x=y^2\) et\(x=9\)

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les équations x=y^2 et x=9. La zone située entre les graphiques est ombrée. Il est horizontal, entre l'axe y et la droite x=9.

    Réponse
    \(36 \, \text{units}^2\)

    6)\(y=x\) et\( x=y^2\)

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les équations y=x et x=y^2. La région entre les graphes est ombrée, délimitée au-dessus par x=y^2 et au-dessous par y=x.

    Pour les exercices 7 à 13, tracez les équations et ombrez l'aire de la région située entre les courbes. Déterminez sa surface en l'intégrant sur\(x\) l'axe.

    7)\(y=x^2\) et\(y=−x^2+18x\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les fonctions f (x) =x^2 et g (x) =-x^2+18x. La zone entre les graphes est ombrée, bornée au-dessus par g (x) et en dessous par f (x). Il se trouve dans le premier quadrant.

    243 unités carrées

    8)\(y=\dfrac{1}{x}, \quad y=\dfrac{1}{x^2}\), et\(x=3\)

    9)\(y=\cos x\) et ainsi de\(y=\cos^2x\) suite\(x \in [−π,π]\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Il s'agit des fonctions y=cos (x) et y=cos^2 (x). Les graphes sont périodiques et ressemblent à des vagues. Quatre régions sont créées par les intersections des courbes. Les zones sont ombragées.

    4 unités carrées

    10)\(y=e^x,\quad y=e^{2x−1}\), et\(x=0\)

    11)\(y=e^x, \quad y=e^{−x}, \quad x=−1\) et\(x=1\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Il s'agit des fonctions f (x) =e^x et g (x) =e^-x. Il existe deux zones ombrées. Dans le second quadrant, la région est délimitée par x=-1, g (x) au-dessus et f (x) au-dessous. La seconde région se trouve dans le premier quadrant et est délimitée par f (x) ci-dessus, g (x) ci-dessous et x=1.

    \(\dfrac{2(e−1)^2}{e}\, \text{units}^2\)

    12)\( y=e, \quad y=e^x,\) et\(y=e^{−x}\)

    13)\(y=|x|\) et\(y=x^2\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Il s'agit des fonctions f (x) =x^2 et g (x) =valeur absolue de x. Il existe deux zones ombrées. La première région se trouve dans le second quadrant et se situe entre g (x) au-dessus et f (x) ci-dessous. La seconde région se trouve dans le premier quadrant et est limitée au-dessus par g (x) et au-dessous par f (x).

    \(\dfrac{1}{3}\, \text{units}^2\)

    Pour les exercices 14 à 19, tracez les équations et ombrez l'aire de la région située entre les courbes. Si nécessaire, divisez la région en sous-régions pour déterminer sa superficie complète.

    14)\(y=\sin(πx),\quad y=2x,\) et\(x>0\)

    15)\(y=12−x,\quad y=\sqrt{x},\) et\(y=1\)

    Réponse

    Cette figure comporte trois graphiques. Ce sont les fonctions f (x) =racine carrée de x, y=12-x et y=1. La zone entre les graphes est ombrée, délimitée au-dessus et à gauche par f (x), au-dessus et à droite par la ligne y=12-x, et en dessous par la ligne y=1. Il se trouve dans le premier quadrant.

    \(\dfrac{34}{3}\, \text{units}^2\)

    16)\(y=\sin x\) et\(y=\cos x\) plus\(x \in [−π,π]\)

    17)\(y=x^3\) et\(y=x^2−2x\) plus\(x \in [−1,1]\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les fonctions f (x) =x^3 et g (x) =x^2-2x. Deux zones ombrées séparent les graphiques. La première région est délimitée à gauche par la ligne x=-2, au-dessus par g (x) et en bas par f (x). La deuxième région est délimitée en haut par f (x), en dessous par g (x) et à droite par la ligne x=2.

    \(\dfrac{5}{2}\, \text{units}^2\)

    18)\(y=x^2+9\) et\( y=10+2x\) plus\(x \in [−1,3]\)

    19)\(y=x^3+3x\) et\(y=4x\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les fonctions f (x) =x^3+3x et g (x) =4x. Deux zones ombrées séparent les graphiques. La première région est délimitée au-dessus par f (x) et au-dessous par g (x). La deuxième région est délimitée au-dessus par g (x), en-dessous par f (x).

    \(\dfrac{1}{2}\, \text{units}^2\)

    Pour les exercices 20 à 25, tracez les équations et ombrez l'aire de la région située entre les courbes. Déterminez sa surface en l'intégrant sur\(y\) l'axe.

    20)\(x=y^3\) et\( x = 3y−2\)

    21)\(x=y\) et\( x=y^3−y\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les équations x=2y et x=y^3-y. Les graphes se croisent dans le troisième quadrant et de nouveau dans le premier quadrant, formant deux régions fermées entre eux.

    \(\dfrac{9}{2}\, \text{units}^2\)

    22)\(x=−3+y^2\) et\( x=y−y^2\)

    23)\(y^2=x\) et\(x=y+2\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les équations x=y+2 et y^2=x. Les graphes se croisent, formant une région entre eux

    \(\dfrac{9}{2}\, \text{units}^2\)

    24)\(x=|y|\) et\(2x=−y^2+2\)

    25)\(x=\sin y,\quad x=\cos(2y),\quad y=π/2\), et\( y=−π/2\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les équations x=cos (y) et x=sin (y). Les graphes se croisent, formant deux régions délimitées en haut par la droite y=pi/2 et en dessous par la droite y=-pi/2.

    \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\, \text{units}^2\)

    Pour les exercices 26 à 37, tracez les équations et ombrez l'aire de la région située entre les courbes. Déterminez sa surface en l'intégrant sur l'\(x\)axe -ou l'\(y\)axe -, selon ce qui vous semble le plus pratique.

    26)\(x=y^4\) et\(x=y^5\)

    27)\(y=xe^x,\quad y=e^x,\quad x=0\), et\(x=1\).

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Il s'agit des équations y=xe^x et y=e^x. Les graphes se croisent et forment une région entre eux dans le premier quadrant.

    \(e^{−2}\, \text{units}^2\)

    28)\(y=x^6\) et\(y=x^4\)

    29)\(x=y^3+2y^2+1\) et\(x=−y^2+1\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les équations x=-y^2+1 et x=y^3+2y^2. Les graphes se croisent et forment deux régions entre eux.

    \(\dfrac{27}{4}\, \text{units}^2\)

    30)\( y=|x|\) et\( y=x^2−1\)

    31)\(y=4−3x\) et\(y=\dfrac{1}{x}\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Il s'agit des équations y=4-3x et y=1/x. Les graphes se croisent, la région entre eux étant ombrée. La région se trouve dans le premier quadrant.

    \(\left(\dfrac{4}{3}−\ln(3)\right)\, \text{units}^2\)

    32)\(y=\sin x,\quad x=−π/6,\quad x=π/6,\) et\(y=\cos^3 x\)

    33)\(y=x^2−3x+2\) et\( y=x^3−2x^2−x+2\)

    Réponse
    Cette figure comporte deux graphiques. Ce sont les équations y=x^2-3x+2 et y=x^3-2x^2-x+2. Les graphes se croisent et la région les séparant est ombrée.
    \(\dfrac{1}{2}\)    unités carrées

    34)\(y=2\cos^3(3x),\quad y=−1,\quad x=\dfrac{π}{4},\) and \( x=−\dfrac{π}{4}\)

    35)\(y+y^3=x\) and \(2y=x\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Il s'agit des équations 2y=x et y+y^3=x. Les graphes se croisent pour former deux régions. Les régions sont ombrées.

    \(\dfrac{1}{2}\)unités carrées

    36)\( y=\sqrt{1−x^2}\) et\(y=x^2−1\)

    37)\(y=\cos^{−1}x,\quad y=\sin^{−1}x,\quad x=−1,\) et\( x=1\)

    Réponse

    Cette figure comporte deux graphiques. Il s'agit des équations y=arccos (x) et y=arcsin (x). Les graphes se croisent pour former deux régions. La première région est délimitée à gauche par x=-1. La deuxième région est délimitée vers la droite par x=1. Les deux régions sont ombrées.

    \(−2(\sqrt{2}−π)\)unités carrées

    Pour les exercices 38 à 47, trouvez si possible l'aire exacte de la région délimitée par les équations données. Si vous ne parvenez pas à déterminer les points d'intersection de manière analytique, utilisez une calculatrice pour approximer les points d'intersection avec trois décimales et déterminer la surface approximative de la région.

    38) [T]\(x=e^y\) et\(y=x−2\)

    39) [T]\(y=x^2\) et\(y=\sqrt{1−x^2}\)

    Réponse
    \(1.067\)unités carrées

    40) [T]\(y=3x^2+8x+9\) et\(3y=x+24\)

    41) [T]\(x=\sqrt{4−y^2}\) et\( y^2=1+x^2\)

    Réponse
    \(0.852\)unités carrées

    42) [T]\(x^2=y^3\) et\(x=3y\)

    43) [T]\(y=\sin^3x+2,\quad y=\tan x,\quad x=−1.5,\) et\(x=1.5\)

    Réponse
    \(7.523\)unités carrées

    44) [T]\(y=\sqrt{1−x^2}\) et\(y^2=x^2\)

    45) [T]\(y=\sqrt{1−x^2}\) et\(y=x^2+2x+1\)

    Réponse
    \(\dfrac{3π−4}{12}\)unités carrées

    46) [T]\(x=4−y^2\) et\( x=1+3y+y^2\)

    47) [T]\(y=\cos x,\quad y=e^x,\quad x=−π,\quad\) et\(\quad x=0\)

    Réponse
    \(1.429\)unités carrées

    48) Le plus grand triangle avec une base sur l'\(x\)axe -qui s'insère dans la moitié supérieure du cercle unitaire\(y^2+x^2=1\) est donné par\( y=1+x\) et\( y=1−x\). Reportez-vous à la figure suivante. Quelle est la zone située à l'intérieur du demi-cercle mais à l'extérieur du triangle ?

    Cette figure présente le graphique d'un cercle dont le centre est à l'origine et le rayon est égal à 1. Il y a un triangle inscrit dont la base est comprise entre -1 et 1 sur l'axe des abscisses et dont le troisième angle se trouve au point y=1.

    49) Une usine qui vend des téléphones portables a une fonction de coût marginal\(C(x)=0.01x^2−3x+229\), où\(x\) représente le nombre de téléphones portables, et une fonction de revenus marginaux donnée par\(R(x)=429−2x.\) Trouvez l'aire entre les graphiques de ces courbes et\(x=0.\) Que représente cette zone ?

    Réponse
    33 333,33$ de bénéfice total pour 200 téléphones portables vendus

    50) Un parc d'attractions a une fonction de coût marginal\(C(x)=1000e−x+5\), où\(x\) représente le nombre de billets vendus, et une fonction de recettes marginales donnée par\(R(x)=60−0.1x\). Trouvez le bénéfice total généré lors de la vente de\(550\) billets. Utilisez une calculatrice pour déterminer les points d'intersection, si nécessaire, à deux décimales.

    51) La tortue contre le lièvre : La vitesse du lièvre est donnée par la fonction sinusoïdale\(H(t)=1−\cos((πt)/2)\) alors que la vitesse de la tortue est\(T(t)=(1/2)\tan^{−1}(t/4)\), où le temps\(t\) est mesuré en heures et la vitesse est mesurée en miles par heure. Trouvez la zone entre les courbes de temps\(t=0\) à autre après une heure lorsque la tortue et le lièvre se déplacent à la même vitesse. Qu'est-ce que cela représente ? Utilisez une calculatrice pour déterminer les points d'intersection, si nécessaire, avec une précision de trois décimales.

    Réponse
    \(3.263\)mi représente la distance qui sépare le lièvre de la tortue

    52) La tortue contre le lièvre : La vitesse du lièvre est donnée par la fonction sinusoïdale\(H(t)=(1/2)−(1/2)\cos(2πt)\) alors que la vitesse de la tortue est\(T(t)=\sqrt{t}\), où le temps\(t\) est mesuré en heures et la vitesse est mesurée en kilomètres par heure. Si la course se termine en 1 heure, qui l'a remportée et de combien ? Utilisez une calculatrice pour déterminer les points d'intersection, si nécessaire, avec une précision de trois décimales.

    Pour les exercices 53 à 55, trouvez l'aire entre les courbes en les intégrant par rapport à,\(x\) puis par rapport à\(y\). Est-ce qu'une méthode est plus simple que l'autre ? Obtenez-vous la même réponse ?

    53)\(y=x^2+2x+1\) et\(y=−x^2−3x+4\)

    Réponse
    \(\dfrac{343}{24}\)unités carrées

    54)\(y=x^4\) et\(x=y^5\)

    55)\(x=y^2−2\) et\(x=2y\)

    Réponse
    \(4\sqrt{3}\)unités carrées

    Pour les exercices 56 à 57, résolvez en utilisant le calcul, puis vérifiez votre réponse avec la géométrie.

    56) Déterminez les équations pour les côtés du carré qui touchent le cercle unitaire sur les quatre côtés, comme le montre la figure suivante. Déterminez la zone située entre le périmètre de ce carré et le cercle unitaire. Existe-t-il un autre moyen de résoudre ce problème sans utiliser de calcul ?

    Cette figure est le graphique d'un cercle centré à l'origine avec un rayon de 1. Il y a un carré circonscrit autour du cercle.

    57) Trouvez la zone située entre le périmètre du cercle unitaire et le triangle créé à partir de\(y=2x+1,\,y=1−2x\) et\(y=−\dfrac{3}{5}\), comme le montre la figure suivante. Existe-t-il un moyen de résoudre ce problème sans utiliser de calcul ?

    Cette figure est le graphique d'un cercle centré à l'origine avec un rayon de 1. Trois lignes coupent le cercle. Les lignes coupent le cercle en trois points pour former un triangle à l'intérieur du cercle.

    Réponse
    \( \left(π−\dfrac{32}{25}\right)\)unités carrées