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4.8E : Exercices pour la section 4.8

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    Dans les exercices 1 à 6, évaluez la limite.

    1) Évaluez la limite\(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{e^x}{x}\).

    2) Évaluez la limite\(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{e^x}{x^k}\).

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{e^x}{x^k} \quad = \quad ∞\)

    3) Évaluez la limite\(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{\ln x}{x^k}\).

    4) Évaluez la limite\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^2−a^2}\).

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^2−a^2} \quad = \quad \frac{1}{2a}\)

    5. Évaluez la limite\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^3−a^3}\).

    6. Évaluez la limite\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^n−a^n}\).

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^n−a^n} \quad = \quad \frac{1}{na^{n−1}}\)

    Dans les exercices 7 à 11, déterminez si vous pouvez appliquer directement la règle de L'Hôpital. Expliquez pourquoi ou pourquoi pas. Indiquez ensuite s'il existe un moyen de modifier la limite afin de pouvoir appliquer la règle de L'Hôpital.

    7)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}x^2\ln x\)

    8)\(\displaystyle \lim_{x→∞}x^{1/x}\)

    Réponse
    Impossible de s'appliquer directement ; utilisez des logarithmes

    9)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^{2/x}\)

    10)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{x^2}{1/x}\)

    Réponse
    Ne peut pas s'appliquer directement ; réécrire comme\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3\)

    11)\(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{e^x}{x}\)

    Dans les exercices 12 à 40, évaluez les limites à l'aide de la règle de L'Hôpital ou de méthodes déjà apprises.

    (12)\(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^2−9}{x−3}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^2−9}{x−3} \quad = \quad 6\)

    (13)\(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^2−9}{x+3}\)

    (14)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^{−2}−1}{x}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^{−2}−1}{x} \quad = \quad -2\)

    (15)\(\displaystyle \lim_{x→π/2}\frac{\cos x}{\frac{π}{2}−x}\)

    16)\(\displaystyle \lim_{x→π}\frac{x−π}{\sin x}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→π}\frac{x−π}{\sin x} \quad = \quad -1\)

    17)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x−1}{\sin x}\)

    18)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^n−1}{x}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^n−1}{x} \quad = \quad n\)

    19)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^n−1−nx}{x^2}\)

    (20)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x−\tan x}{x^3}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x−\tan x}{x^3} \quad = \quad −\frac{1}{2}\)

    (21)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sqrt{1+x}−\sqrt{1−x}}{x}\)

    (22)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−x−1}{x^2}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−x−1}{x^2} \quad = \quad \frac{1}{2}\)

    23)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\tan x}{\sqrt{x}}\)

    (24)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x-1}{\ln x}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x-1}{\ln x} \quad = \quad 1\)

    25)\(\displaystyle \lim_{x→0}\,(x+1)^{1/x}\)

    (26)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{\sqrt{x}−\sqrt[3]{x}}{x−1}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{\sqrt{x}−\sqrt[3]{x}}{x−1} \quad = \quad \frac{1}{6}\)

    (27)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}x^{2x}\)

    (28)\(\displaystyle \lim_{x→∞}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→∞}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) \quad = \quad 1\)

    (29)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x−x}{x^2}\)

    (30)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}x\ln\left(x^4\right)\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→0^+}x\ln\left(x^4\right) \quad = \quad 0\)

    31)\(\displaystyle \lim_{x→∞}(x−e^x)\)

    32)\(\displaystyle \lim_{x→∞}x^2e^{−x}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→∞}x^2e^{−x} \quad = \quad 0\)

    33)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{3^x−2^x}{x}\)

    34)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1+1/x}{1−1/x}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1+1/x}{1−1/x} \quad = \quad -1\)

    35)\(\displaystyle \lim_{x→π/4}(1−\tan x)\cot x\)

    36)\(\displaystyle \lim_{x→∞}xe^{1/x}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→∞}xe^{1/x} \quad = \quad ∞\)

    (37)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^{1/\cos x}\)

    38)\(\displaystyle \lim_{x→0^{+} }x^{1/x}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→0^{+} }x^{1/x} \quad = \quad 0\)

    39)\(\displaystyle \lim_{x→0}\left(1−\frac{1}{x}\right)^x\)

    40)\(\displaystyle \lim_{x→∞}\left(1−\frac{1}{x}\right)^x\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→∞}\left(1−\frac{1}{x}\right)^x \quad = \quad \frac{1}{e}\)

    Pour les exercices 41 à 50, utilisez une calculatrice pour représenter graphiquement la fonction et estimer la valeur de la limite, puis utilisez la règle de L'Hôpital pour trouver directement la limite.

    41) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−1}{x}\)

    42) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→0}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) \quad = \quad 0\)

    43) [T]\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x−1}{1−\cos(πx)}\)

    44) [T]\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{e^{x−1}−1}{x−1}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{e^{x−1}−1}{x−1} \quad = \quad 1\)

    45) [T]\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{(x−1)^2}{\ln x}\)

    46) [T]\(\displaystyle \lim_{x→π}\frac{1+\cos x}{\sin x}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→π}\frac{1+\cos x}{\sin x} \quad = \quad 0\)

    47) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0}\left(\csc x−\frac{1}{x}\right)\)

    48) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0^+}\tan\left(x^x\right)\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→0^+}\tan\left(x^x\right) \quad = \quad \tan 1\)

    49) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0^+}\frac{\ln x}{\sin x}\)

    50) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−e^{−x}}{x}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−e^{−x}}{x} \quad = \quad 2\)