4.5E : Exercices pour la section 4.5

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

1) S'il s'$c$agit d'un point critique de$f(x)$, à quel moment n'y a-t-il pas de maximum ou de minimum local à$c$ ? Expliquez.

2) Pour la fonction$y=x^3$, s'agit-il$x=0$ à la fois d'un point d'inflexion et d'un maximal/minimum local ?

Réponse: Il ne s'agit pas d'un maximum/minimum local car il$f'$ ne change pas de signe

3) Pour la fonction$y=x^3$, est-ce$x=0$ un point d'inflexion ?

4) Est-il possible qu'un point soit$c$ à la fois un point d'inflexion et un extremum local d'une fonction à deux fois dérivable ?

Réponse: Non

5) Pourquoi avez-vous besoin de continuité pour le premier test dérivé ? Trouvez un exemple.

6) Expliquez si une fonction concave vers le bas doit se croiser$y=0$ pour une valeur de$x$.

Réponse: Faux ; par exemple,$y=\sqrt{x}$.

7) Expliquez si un polynôme de degré$2$ peut avoir un point d'inflexion.

Dans les exercices 8 à 12, analysez les graphiques de$f'$, puis listez tous les intervalles où$f$ ils augmentent ou diminuent.

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction commence par une valeur négative et traverse l'axe x en (−2, 0). Il continue ensuite à augmenter un peu avant de diminuer et de croiser l'axe x en (-1, 0). Il atteint un minimum local en (1, −6) avant d'augmenter et de croiser l'axe x en (2, 0).$

Réponse: En hausse pour$−2<x<−1$ et$x>2$ ;
en baisse pour$x<−2$ et$−1<x<2$

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction commence par une valeur négative et traverse l'axe x en (−2, 0). Ensuite, il continue d'augmenter légèrement avant de diminuer et de toucher l'axe x en (-1, 0). Il augmente ensuite légèrement avant de diminuer et de croiser l'axe x à l'origine. La fonction diminue ensuite jusqu'à un minimum local avant d'augmenter, de croiser l'axe X en (1, 0) et de continuer à augmenter.$

10)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction commence par une valeur négative et touche l'axe x à l'origine. Ensuite, il diminue légèrement avant d'augmenter pour traverser l'axe x en (1, 0) et de continuer à augmenter.$

Réponse: Diminution pour$x<1$,
augmentation pour$x>1$

11)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction commence positivement et diminue pour toucher l'axe x à (−1, 0). Il augmente ensuite jusqu'à (0, 4,5) avant de diminuer pour toucher l'axe x en (1, 0). Ensuite, la fonction augmente.$

(12)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction commence à (−2, 0), diminue jusqu'à (−1,5, −1,5), augmente jusqu'à (−1, 0) et continue d'augmenter avant de diminuer jusqu'à l'origine. L'autre côté est alors symétrique : c'est-à-dire que la fonction augmente puis diminue pour passer par (1, 0). Elle continue à diminuer jusqu'à (1,5, −1,5), puis augmente jusqu'à (2, 0).$

Réponse: Diminution pour$−2<x<−1$ et$1<x<2$ ;
augmentation pour$−1<x<1$ et$x<−2$ et$x>2$

Dans les exercices 13 à 17, analysez les graphiques$f',$ puis listez tous les intervalles où

a.$f$ augmente et diminue et

b. les minima et maxima sont localisés.

13)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction commence à (−2, 0), diminue légèrement puis augmente jusqu'à (−1, 0), continue d'augmenter avant de diminuer jusqu'à l'origine, puis elle augmente.$

(14)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction commence à (−2, 0), augmente puis diminue jusqu'à (−1, 0), diminue puis augmente jusqu'à un point d'inflexion à l'origine. Ensuite, la fonction augmente et diminue pour se croiser (1, 0). Il continue à diminuer puis augmente jusqu'à (2, 0).$

Réponse: a. Augmenter plus$−2<x<−1,\;0<x<1,x>2$, diminuer$x<−2, \;−1<x<0, \;1<x<2;$
par rapport à b. Maxima à$x=−1$ et$x=1$, Minimums à$x=−2$ et$x=0$ et$x=2$

15)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement de x = −2 à x = 2. Il commence près de zéro à x = −2, mais augmente ensuite rapidement et reste positif sur toute la longueur du graphique.$

16)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction commence par une valeur négative et traverse l'axe x à l'origine, qui est un point d'inflexion. Ensuite, il continue d'augmenter.$

Réponse: a. Augmenter plus$x>0$, diminuer$x<0;$
par rapport à b. Minimum à$x=0$

17)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction commence par une valeur négative et traverse l'axe x en (−1, 0). Ensuite, il continue d'augmenter légèrement avant de diminuer et de toucher l'axe x à l'origine. Il augmente à nouveau puis diminue jusqu'à (1, 0). Ensuite, elle augmente.$

Dans les exercices 18 à 22, analysez les graphes de tous les points d'$f'$inflexion et de tous les intervalles$f$ concaves vers le haut et concaves vers le bas, puis listez-les.

18)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction est linéaire et commence par une valeur négative. Il croise l'axe X à l'origine.$

Réponse: Concave vers le haut pour tous$x$,
aucun point d'inflexion

19)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. Il s'agit d'une parabole orientée vers le haut avec 0 comme minimum local.$

(20)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction ressemble au graphe de x3, c'est-à-dire qu'elle commence négativement et traverse l'axe x à l'origine. Ensuite, il continue d'augmenter.$

Réponse: Concave vers le haut pour tous$x$,
aucun point d'inflexion

(21)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction commence par une valeur négative et traverse l'axe x à (−0,5, 0). Il continue ensuite à augmenter jusqu'à (0, 1,5) avant de diminuer et de toucher l'axe x en (1, 0). Elle augmente ensuite.$

22)

$La fonction f' (x) est représentée graphiquement. La fonction commence par une valeur négative et traverse l'axe x en (−1, 0). Il continue ensuite à augmenter jusqu'à un maximum local à (0, 1), puis il diminue et touche l'axe x en (1, 0). Elle augmente ensuite.$

Réponse: Concave vers le haut pour$x<0$ et$x>1$,
concave vers le bas pour$0<x<1$, points
d'inflexion à$x=0$ et$x=1$

Pour les exercices 23 à 27, dessinez un graphique qui répond aux spécifications données pour le domaine.$x=[−3,3].$ La fonction n'a pas besoin d'être continue ou dérivable.

23)$f(x)>0,\;f'(x)>0$$x>1,\;−3<x<0,\;f'(x)=0$ plus$0<x<1$

24)$f'(x)>0$$x>2,\;−3<x<−1,\;f'(x)<0$ terminé$−1<x<2,\;f''(x)<0$ pour tous$x$

Réponse: Les réponses peuvent varier

25)$f''(x)<0$ au-dessus du maximum$−1<x<1,\;f''(x)>0,\;−3<x<−1,\;1<x<3,$$x=0,$ local à des minima locaux à$x=±2$

26) Il y a un maximum local au minimum$x=2,$ local à$x=1,$ et le graphique n'est ni concave vers le haut ni concave vers le bas.

Réponse: Les réponses peuvent varier

(27) Il y a des maxima locaux :$x=±1,$ la fonction est concave vers le haut pour tous$x$, et la fonction reste positive pour tous$x.$

Pour les exercices suivants, déterminez

a. intervalles où$f$ augmente ou diminue et

b. minima et maxima locaux de$f$.

28)$f(x)=\sin x+\sin^3x$ plus$−π<x<π$

Réponse

a. En hausse plutôt qu'$−\frac{π}{2}<x<\frac{π}{2},$en baisse$x<−\frac{π}{2},\; x>\frac{π}{2}$

b. Maximum local à$x=\frac{π}{2}$ ; minimum local à$x=−\frac{π}{2}$

(29)$f(x)=x^2+\cos x$

Pour l'exercice 30, déterminez

a. intervalles où$f$ est concave vers le haut ou concave vers le bas, et

b. les points d'inflexion de$f$.

(30)$f(x)=x^3−4x^2+x+2$

Réponse

a. Concave vers le haut pour$x>\frac{4}{3},$ concave vers le bas pour$x<\frac{4}{3}$

b. Point d'inflexion à$x=\frac{4}{3}$

Pour les exercices 31 à 37, déterminez

a. intervalles où$f$ augmente ou diminue,

b. minima et maxima locaux de$f$,

c. intervalles où$f$ est concave vers le haut et concave vers le bas, et

d. les points d'inflexion de$f.$

31)$f(x)=x^2−6x$

32)$f(x)=x^3−6x^2$

Réponse: a. Augmenter$x<0$ et$x>4,$ diminuer$0<x<4$
par rapport à b. Maximum à$x=0$$x=4$
c. Concave vers le haut pour$x>2$, concave vers le bas pour$x<2$
d. Point d'inflexion à$x=2$

33)$f(x)=x^4−6x^3$

34)$f(x)=x^{11}−6x^{10}$

Réponse: a. Augmenter au-dessus$x<0$ et$x>\frac{60}{11}$ diminuer par rapport à$0<x<\frac{60}{11}$
b. Maximum à$x=0$, minimum à$x=\frac{60}{11}$
c. Concave vers le bas pour$x<\frac{54}{11}$, concave vers le haut pour$x>\frac{54}{11}$
d. Point d'inflexion à$x=\frac{54}{11}$

35)$f(x)=x+x^2−x^3$

36)$f(x)=x^2+x+1$

Réponse: a. Augmenter au-dessus$x>−\frac{1}{2}$, diminuer par rapport à$x<−\frac{1}{2}$
b. Minimum en$x=−\frac{1}{2}$
c. Concave vers le haut pour tous$x$
d. Aucun point d'inflexion

(37)$f(x)=x^3+x^4$

Pour les exercices 38 à 47, déterminez

a. intervalles où$f$ augmente ou diminue,

b. minima et maxima locaux de$f,$

c. intervalles où$f$ est concave vers le haut et concave vers le bas, et

d. les points d'inflexion de$f.$ Esquissez la courbe, puis utilisez une calculatrice pour comparer votre réponse. Si vous ne pouvez pas déterminer la réponse exacte de manière analytique, utilisez une calculatrice.

38) [T]$f(x)=\sin(πx)−\cos(πx)$ plus$x=[−1,1]$

Réponse: a. Augmente en fonction des$−\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4},$ diminutions au-dessus de$x>\frac{3}{4}$ et$x<−\frac{1}{4}$
b. Minimum à$x=−\frac{1}{4}$, maximum à$x=\frac{3}{4}$
c. Concave vers le haut pour$−\frac{3}{4}<x<\frac{1}{4}$, concave vers le bas pour$x<−\frac{3}{4}$ et$x>\frac{1}{4}$
d. Points d'inflexion à$x=−\frac{3}{4},\;x=\frac{1}{4}$

39) [T]$f(x)=x+\sin(2x)$ plus$x=[−\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$

40) [T]$f(x)=\sin x+\tan x$ plus$(−\frac{π}{2},\frac{π}{2})$

Réponse: a. Augmenter pour tous$x$
b. Pas de minimum ou de maximum local
c. Concave vers le haut pour$x>0$, concave vers le bas pour$x<0$
d. Point d'inflexion à$x=0$

41) [T]$f(x)=(x−2)^2(x−4)^2$

42) [T]$f(x)=\dfrac{1}{1−x},\quad x≠1$

Réponse: a. Augmenter pour tous,$x$ là où cela est défini
b. Pas de minima ou de maxima locaux
c. Concave vers le haut pour$x<1$ ; concave vers le bas pour$x>1$
d. Aucun point d'inflexion dans le domaine

43) [T]$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ plus$x=[-2π,0)∪(0,2π]$

44)$f(x)=\sin(x)e^x$ plus$x=[−π,π]$

Réponse: a. Augmenter au-dessus$−\frac{π}{4}<x<\frac{3π}{4}$, décroître par rapport à$x>\frac{3π}{4},\;x<−\frac{π}{4}$
b. Minimum à$x=−\frac{π}{4}$, maximum à$x=\frac{3π}{4}$
c. Concave vers le haut pour$−\frac{π}{2}<x<\frac{π}{2}$, concave vers le bas pour$x<−\frac{π}{2},\;x>\frac{π}{2}$
d. Points d'inflexion à$x=±\frac{π}{2}$

45)$f(x)=\ln x\sqrt{x},\quad x>0$

46)$f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{x},\quad x>0$

Réponse: a. Augmenter par rapport à$x>4,$ diminuer$0<x<4$
par rapport à b. Minimum à$x=4$
c. Concave vers le haut pour$0<x<8\sqrt[3]{2}$, concave vers le bas pour$x>8\sqrt[3]{2}$
d. Point d'inflexion à$x=8\sqrt[3]{2}$

47)$f(x)=\dfrac{e^x}{x},\quad x≠0$

Dans les exercices 48 à 52, interprétez les phrases en termes de$f,\;f',$ et$f''.$

48) La population croît plus lentement. $f$Voici la population.

Réponse: $f>0,\;f'>0,\;f''<0$

49) Un vélo accélère plus vite, mais une voiture va plus vite. Ici, la position du$f=$ vélo moins la position de la voiture.

50) L'avion atterrit en douceur. $f$Voici l'altitude de l'avion.

Réponse: $f>0,\;f'<0,\;f''>0$

51) Les cours des actions sont à leur apogée. $f$Voici le cours de l'action.

52) L'économie s'accélère. $f$Voici une mesure de l'économie, telle que le PIB.

Réponse: $f>0,\;f'>0,\;f''>0$

Pour les exercices 53 à 57, considérez un polynôme du troisième degré$f(x),$ qui possède les propriétés$f'(1)=0$ et$f'(3)=0$.

Déterminez si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifiez votre réponse.

53)$f(x)=0$ pour certains$1≤x≤3$.

54)$f''(x)=0$ pour certains$1≤x≤3$.

Réponse: Vrai, selon le théorème de la valeur moyenne

55) Il n'y a pas de maximum absolu à$x=3$.

56) S'il$f(x)$ a trois racines, alors il a un point$1$ d'inflexion.

Réponse: Vrai, examinez le dérivé

57) S'il$f(x)$ a un point d'inflexion, alors il a trois racines réelles.