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2.2E : Exercices pour la section 2.2

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    198004

    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Définition intuitive des limites

    Pour les exercices 1 à 2, considérez la fonction\(f(x)=\dfrac{x^2−1}{|x−1|}\).

    1) [T] Complétez le tableau suivant pour la fonction. Arrondissez vos solutions à quatre décimales.

    \(x\) \(f(x)\) \(x\) \(f(x)\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,9 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >a. \ (x \) » style="text-align:center ; « >1.1 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,99 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >b. \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,01 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,999 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >c. \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,001 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >g.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,9999 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >d. \ (x \) » style="text-align:center ; « >1.0001 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >h.

    2) Qu'est-ce que les résultats de l'exercice précédent indiquent à propos de la limite bilatérale\(\displaystyle \lim_{x→1}f(x)\) ? Expliquez votre réponse.

    Réponse

    \(\displaystyle \lim_{x \to 1}f(x)\)n'existe pas parce que\(\displaystyle \lim_{x \to 1^−}f(x)=−2≠\lim_{x \to 1^+}f(x)=2\).

    Pour les exercices 3 à 5, considérez la fonction\(f(x)=(1+x)^{1/x}\).

    3) [T] Créez un tableau indiquant les valeurs de\(f\) pour\(x=−0.01,\;−0.001,\;−0.0001,\;−0.00001\) et pour\(x=0.01,\;0.001,\;0.0001,\;0.00001\). Arrondissez vos solutions à cinq décimales.

    \(x\) \(f(x)\) \(x\) \(f(x)\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0,01 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >a. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,01 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0.001 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >b. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,001 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0,0001 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >c. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,0001 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >g.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0,00001 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >d. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,00001 \ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >h.

    4) Qu'est-ce que le tableau des valeurs de l'exercice précédent indique à propos de la fonction\(f(x)=(1+x)^{1/x}\) ?

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x \to 0}(1+x)^{1/x}\approx 2.7183\).

    5) À quelle constante mathématique les valeurs de l'exercice précédent semblent-elles se rapprocher ? C'est la limite réelle ici.

    Dans les exercices 6 à 8, utilisez les valeurs données pour créer un tableau afin d'évaluer les limites. Arrondissez vos solutions à huit décimales.

    6) [T]\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{x};\quad ±0.1,\; ±0.01, \; ±0.001, \;±.0001\)

    \(x\) \(\frac{\sin 2x}{x}\) \(x\) \(\frac{\sin 2x}{x}\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0.1 \ (\ frac {\ sin 2x} {x} \) » style="text-align:center ; « >a. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,1 \ (\ frac {\ sin 2x} {x} \) » style="text-align:center ; « >e.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0,01 \ (\ frac {\ sin 2x} {x} \) » style="text-align:center ; « >b. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,01 \ (\ frac {\ sin 2x} {x} \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0.001 \ (\ frac {\ sin 2x} {x} \) » style="text-align:center ; « >c. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,001 \ (\ frac {\ sin 2x} {x} \) » style="text-align:center ; « >g.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0,0001 \ (\ frac {\ sin 2x} {x} \) » style="text-align:center ; « >d. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,0001 \ (\ frac {\ sin 2x} {x} \) » style="text-align:center ; « >h.
    Réponse
    a. 1,98669331 ; b. 1,99986667 ; c. 1,99999867 ; d. 1,99999999 ; e. 1,98669331 ; f. 1,99986667 ; g. 1,99999867 ; h. 1,99999999 ;
    \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{x}=2\)

    7) [T]\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} ±0.1, \; ±0.01, \; ±0.001, \; ±0.0001\)

    \(x\) \(\frac{\sin 3x}{x}\) \(x\) \(\frac{\sin 3x}{x}\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0.1 \ (\ frac {\ sin 3x} {x} \) » style="text-align:center ; « >a. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,1 \ (\ frac {\ sin 3x} {x} \) » style="text-align:center ; « >e.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0,01 \ (\ frac {\ sin 3x} {x} \) » style="text-align:center ; « >b. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,01 \ (\ frac {\ sin 3x} {x} \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0.001 \ (\ frac {\ sin 3x} {x} \) » style="text-align:center ; « >c. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,001 \ (\ frac {\ sin 3x} {x} \) » style="text-align:center ; « >g.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0,0001 \ (\ frac {\ sin 3x} {x} \) » style="text-align:center ; « >d. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,0001 \ (\ frac {\ sin 3x} {x} \) » style="text-align:center ; « >h.

    8) Utilisez les deux exercices précédents pour conjecter (deviner) la valeur de la limite suivante :\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{x}\) pour\(a\), une valeur réelle positive.

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{x}=a\)

    [T] Dans les exercices 9 à 14, établissez un tableau de valeurs pour trouver la limite indiquée. Arrondir à huit chiffres significatifs.

    9)\(\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2−4}{x^2+x−6}\)

    \(x\) \(\frac{x^2−4}{x^2+x−6}\) \(x\) \(\frac{x^2−4}{x^2+x−6}\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,9 \ (\ frac {x^2−4} {x^2+x−6} \) » style="text-align:center ; « >a. \ (x \) » style="text-align:center ; « >2.1 \ (\ frac {x^2−4} {x^2+x−6} \) » style="text-align:center ; « >e.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,99 \ (\ frac {x^2−4} {x^2+x−6} \) » style="text-align:center ; « >b. \ (x \) » style="text-align:center ; « >2.01 \ (\ frac {x^2−4} {x^2+x−6} \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1.999 \ (\ frac {x^2−4} {x^2+x−6} \) » style="text-align:center ; « >c. \ (x \) » style="text-align:center ; « >2,001 \ (\ frac {x^2−4} {x^2+x−6} \) » style="text-align:center ; « >g.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,9999 \ (\ frac {x^2−4} {x^2+x−6} \) » style="text-align:center ; « >d. \ (x \) » style="text-align:center ; « >2.0001 \ (\ frac {x^2−4} {x^2+x−6} \) » style="text-align:center ; « >h.

    10)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}(1−2x)\)

    \(x\) \(1−2x\) \(x\) \(1−2x\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,9 \ (1−2x \) » style="text-align:center ; « >a. \ (x \) » style="text-align:center ; « >1.1 \ (1−2x \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,99 \ (1−2x \) » style="text-align:center ; « >b. \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,01 \ (1−2x \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,999 \ (1−2x \) » style="text-align:center ; « >c. \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,001 \ (1−2x \) » style="text-align:center ; « >g.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,9999 \ (1−2x \) » style="text-align:center ; « >d. \ (x \) » style="text-align:center ; « >1.0001 \ (1−2x \) » style="text-align:center ; « >h.
    Réponse
    a. −0,80000000 ; b. −0,98000000 ; c. −0,99800000 ; d. −0,99980000 ; e. −1,2000000 ; f. −1,0200000 ; g. −1,0020000 ; h. −1,0002000 ;
    \( \displaystyle \lim_{x \to 1}(1−2x)=−1\)

    11)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{5}{1−e^{1/x}}\)

    \(x\) \(\frac{5}{1−e^{1/x}}\) \(x\) \(\frac{5}{1−e^{1/x}}\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0.1 \ (\ frac {5} {1−e^ {1/x}} \) » style="text-align:center ; « >a. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,1 \ (\ frac {5} {1−e^ {1/x}} \) » style="text-align:center ; « >e.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0,01 \ (\ frac {5} {1−e^ {1/x}} \) » style="text-align:center ; « >b. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,01 \ (\ frac {5} {1−e^ {1/x}} \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0.001 \ (\ frac {5} {1−e^ {1/x}} \) » style="text-align:center ; « >c. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,001 \ (\ frac {5} {1−e^ {1/x}} \) » style="text-align:center ; « >g.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-0,0001 \ (\ frac {5} {1−e^ {1/x}} \) » style="text-align:center ; « >d. \ (x \) » style="text-align:center ; « >0,0001 \ (\ frac {5} {1−e^ {1/x}} \) » style="text-align:center ; « >h.

    (12)\(\displaystyle \lim_{z \to 0}\frac{z−1}{z^2(z+3)}\)

    \(z\) \(\frac{z−1}{z^2(z+3)}\) \(z\) \(\frac{z−1}{z^2(z+3)}\)
    \ (z \) » style="text-align:center ; « >-0.1 \ (\ frac {z−1} {z^2 (z+3)} \) » style="text-align:center ; « >a. \ (z \) » style="text-align:center ; « >0,1 \ (\ frac {z−1} {z^2 (z+3)} \) » style="text-align:center ; « >e.
    \ (z \) » style="text-align:center ; « >-0,01 \ (\ frac {z−1} {z^2 (z+3)} \) » style="text-align:center ; « >b. \ (z \) » style="text-align:center ; « >0,01 \ (\ frac {z−1} {z^2 (z+3)} \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (z \) » style="text-align:center ; « >-0,001 \ (\ frac {z−1} {z^2 (z+3)} \) » style="text-align:center ; « >c. \ (z \) » style="text-align:center ; « >0,001 \ (\ frac {z−1} {z^2 (z+3)} \) » style="text-align:center ; « >g.
    \ (z \) » style="text-align:center ; « >-0,0001 \ (\ frac {z−1} {z^2 (z+3)} \) » style="text-align:center ; « >d. \ (z \) » style="text-align:center ; « >0,0001 \ (\ frac {z−1} {z^2 (z+3)} \) » style="text-align:center ; « >h.
    Réponse
    a. −37,931034 ; b. −3377,9264 ; c. −333 777,93 ; d. −33 337 778 ; e. −29 032258 ; f. −3289,0365 ; g. −332 889,04 ; h. −33 328 889
    \( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{z−1}{z^2(z+3)}=−∞\)

    13)\(\displaystyle \lim_{t \to 0^+}\frac{\cos t}{t}\)

    \(t\) \(\frac{\cos t}{t}\)
    \ (t \) » style="text-align:center ; « >0,1 \ (\ frac {\ cos t} {t} \) » style="text-align:center ; « >a.
    \ (t \) » style="text-align:center ; « >0,01 \ (\ frac {\ cos t} {t} \) » style="text-align:center ; « >b.
    \ (t \) » style="text-align:center ; « >0,001 \ (\ frac {\ cos t} {t} \) » style="text-align:center ; « >c.
    \ (t \) » style="text-align:center ; « >0,0001 \ (\ frac {\ cos t} {t} \) » style="text-align:center ; « >d.

    (14)\(\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{1−\frac{2}{x}}{x^2−4}\)

    \(x\) \(\frac{1−\frac{2}{x}}{x^2−4}\) \(x\) \(\frac{1−\frac{2}{x}}{x^2−4}\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,9 \ (\ frac {1− \ frac {2} {x}} {x^2−4} \) » style="text-align:center ; « >a. \ (x \) » style="text-align:center ; « >2.1 \ (\ frac {1− \ frac {2} {x}} {x^2−4} \) » style="text-align:center ; « >e.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,99 \ (\ frac {1− \ frac {2} {x}} {x^2−4} \) » style="text-align:center ; « >b. \ (x \) » style="text-align:center ; « >2.01 \ (\ frac {1− \ frac {2} {x}} {x^2−4} \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1.999 \ (\ frac {1− \ frac {2} {x}} {x^2−4} \) » style="text-align:center ; « >c. \ (x \) » style="text-align:center ; « >2,001 \ (\ frac {1− \ frac {2} {x}} {x^2−4} \) » style="text-align:center ; « >g.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,9999 \ (\ frac {1− \ frac {2} {x}} {x^2−4} \) » style="text-align:center ; « >d. \ (x \) » style="text-align:center ; « >2.0001 \ (\ frac {1− \ frac {2} {x}} {x^2−4} \) » style="text-align:center ; « >h.
    Réponse
    a. 0,13495277 ; b. 0,12594300 ; c. 0,12509381 ; d. 0,12500938 ; e. 0,11614402 ; f. 0,124406794 ; g. 0,12490631 ; h. 0,1249063 ;
    \( \displaystyle ∴\lim_{x \to 2}\frac{1−\frac{2}{x}}{x^2−4}=0.1250=\frac{1}{8}\)

    [T] Dans les exercices 15 à 16, établissez un tableau de valeurs et arrondissez à huit chiffres significatifs. Sur la base du tableau des valeurs, devinez quelle est la limite. Utilisez ensuite une calculatrice pour représenter graphiquement la fonction et déterminer la limite. La conjecture était-elle correcte ? Si ce n'est pas le cas, pourquoi la méthode des tableaux échoue-t-elle ?

    (15)\(\displaystyle \lim_{θ \to 0}\sin\left(\frac{π}{θ}\right)\)

    \(θ\) \(\sin\left(\frac{π}{θ}\right)\) \(θ\) \(\sin\left(\frac{π}{θ}\right)\)
    \ (θ \) » style="text-align:center ; « >-0.1 \ (\ sin \ left (\ frac {π} {θ} \ right) \) » style="text-align:center ; « >a. \ (θ \) » style="text-align:center ; « >0,1 \ (\ sin \ left (\ frac {π} {θ} \ right) \) » style="text-align:center ; « >e.
    \ (θ \) » style="text-align:center ; « >-0,01 \ (\ sin \ left (\ frac {π} {θ} \ right) \) » style="text-align:center ; « >b. \ (θ \) » style="text-align:center ; « >0,01 \ (\ sin \ left (\ frac {π} {θ} \ right) \) » style="text-align:center ; « >f.
    \ (θ \) » style="text-align:center ; « >-0,001 \ (\ sin \ left (\ frac {π} {θ} \ right) \) » style="text-align:center ; « >c. \ (θ \) » style="text-align:center ; « >0,001 \ (\ sin \ left (\ frac {π} {θ} \ right) \) » style="text-align:center ; « >g.
    \ (θ \) » style="text-align:center ; « >-0,0001 \ (\ sin \ left (\ frac {π} {θ} \ right) \) » style="text-align:center ; « >d. \ (θ \) » style="text-align:center ; « >0,0001 \ (\ sin \ left (\ frac {π} {θ} \ right) \) » style="text-align:center ; « >h.

    16)\(\displaystyle \lim_{α \to 0^+} \frac{1}{α}\cos\left(\frac{π}{α}\right)\)

    \(a\) \(\frac{1}{α}\cos\left(\frac{π}{α}\right)\)
    \ (a \) » style="text-align:center ; « >0,1 \ (\ frac {1} {α} \ cos \ left (\ frac {π} {α} \ right) \) » style="text-align:center ; « >a.
    \ (a \) » style="text-align:center ; « >0,01 \ (\ frac {1} {α} \ cos \ left (\ frac {π} {α} \ right) \) » style="text-align:center ; « >b.
    \ (a \) » style="text-align:center ; « >0,001 \ (\ frac {1} {α} \ cos \ left (\ frac {π} {α} \ right) \) » style="text-align:center ; « >c.
    \ (a \) » style="text-align:center ; « >0,0001 \ (\ frac {1} {α} \ cos \ left (\ frac {π} {α} \ right) \) » style="text-align:center ; « >d.
    Réponse

    a. 10 000 ; b. 100 000 ; c. 1 000 000 ; d. 10 000 000 ;
    Devine :\(\displaystyle \lim_{α→0^+}\frac{1}{α}\cos\left(\frac{π}{α}\right)=∞\) ;
    Réel : DNE, puisque le graphique montre que la fonction oscille énormément entre des valeurs proches de l'infini positif et des valeurs approchant de l'infini négatif, à mesure que la valeur de se\(α\) rapproche de \(0\)du côté positif.

    Un graphe de la fonction (1/alpha) * cos (pi/alpha), qui oscille doucement jusqu'à l'intervalle [-.2, .2], où elle oscille rapidement, passant à l'infini et à l'infini négatif à l'approche de l'axe y.

    Dans les exercices 17 à 20, considérez le graphique de la fonction\(y=f(x)\) présenté ici. Lesquelles des affirmations concernant\(y=f(x)\) sont vraies et lesquelles sont fausses ? Expliquez pourquoi une déclaration est fausse.

    Graphe d'une fonction par morceaux avec trois segments et un point. Le premier segment est une courbe s'ouvrant vers le haut avec un sommet à (-8, -6). Ce sommet est un cercle ouvert, et il existe un cercle fermé à la place (-8, -3). Le segment se termine à (-2,3), où se trouve un cercle fermé. Le second segment s'étend de façon asymptotique jusqu'à l'infini le long de x=-2, change de direction pour augmenter vers (0,1,25), augmente jusqu'à environ (2,25, 3) et diminue jusqu'à (6,2), où se trouve un cercle ouvert. Le dernier segment commence à (6,5), augmente légèrement, puis diminue dans le quadrant quatre, croisant l'axe des x à (10,0). Tous les changements de direction sont des courbes lisses.

    17)\(\displaystyle \lim_{x→10}f(x)=0\)

    18)\(\displaystyle \lim_{x→−2^+}f(x)=3\)

    Réponse
    Faux ;\(\displaystyle \lim_{x→−2^+}f(x)=+∞\)

    19)\(\displaystyle \lim_{x→−8}f(x)=f(−8)\)

    (20)\(\displaystyle \lim_{x→6}f(x)=5\)

    Réponse
    Faux ;\(\displaystyle \lim_{x→6}f(x)\) DNE depuis\(\displaystyle \lim_{x→6^−}f(x)=2\) et\(\displaystyle \lim_{x→6^+}f(x)=5\).

    Dans les exercices 21 à 25, utilisez le graphique suivant de la fonction\(y=f(x)\) pour trouver les valeurs, si possible. Estimez si nécessaire.

    Graphe d'une fonction par morceaux avec deux segments. Le premier segment existe pour x <=1, et le second segment existe pour x 1. Le premier segment est linéaire avec une pente de 1 et passe par l'origine. Son point final est un cercle fermé en (1,1). Le second segment est également linéaire avec une pente de -1. Cela commence par le cercle ouvert en (1,2)." style="width: 417px; height: 424px;" width="417px" height="424px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_02_202.jpeg">

    (21)\(\displaystyle \lim_{x→1^−}f(x)\)

    (22)\(\displaystyle \lim_{x→1^+}f(x)\)

    Réponse
    \(2\)

    23)\(\displaystyle \lim_{x→1}f(x)\)

    (24)\(\displaystyle \lim_{x→2}f(x)\)

    Réponse
    \(1\)

    25)\(f(1)\)

    Dans les exercices 26 à 29, utilisez le graphique de la fonction\(y=f(x)\) présenté ici pour trouver les valeurs, si possible. Estimez si nécessaire.

    Graphe d'une fonction par morceaux avec deux segments. La première est une fonction linéaire pour x < 0. Il y a un cercle ouvert en (0,1) et sa pente est de -1. Le second segment est la moitié droite d'une parabole s'ouvrant vers le haut. Son sommet est un cercle fermé en (0, -4) et il passe par le point (2,0).

    (26)\(\displaystyle \lim_{x→0^−}f(x)\)

    Réponse
    \(1\)

    (27)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}f(x)\)

    (28)\(\displaystyle \lim_{x→0}f(x)\)

    Réponse
    FAIT

    (29)\(\displaystyle \lim_{x→2}f(x)\)

    Dans les exercices 30 à 35, utilisez le graphique de la fonction\(y=f(x)\) présenté ici pour trouver les valeurs, si possible. Estimez si nécessaire.

    Graphe d'une fonction par morceaux avec trois segments, tous linéaires. Le premier existe pour x < -2, a une pente de 1 et se termine au cercle ouvert en (-2, 0). La seconde existe sur l'intervalle [-2, 2], a une pente de -1, passe par l'origine et possède des cercles fermés à ses extrémités (-2, 2) et (2, -2). Le troisième existe pour x2, a une pente de 1 et commence au cercle ouvert (2,2)." style="width: 417px; height: 424px;" width="417px" height="424px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_02_204.jpeg">

    (30)\(\displaystyle \lim_{x→−2^−}f(x)\)

    Réponse
    \(0\)

    31)\(\displaystyle \lim_{x→−2^+}f(x)\)

    32)\(\displaystyle \lim_{x→−2}f(x)\)

    Réponse
    FAIT

    33)\(\displaystyle \lim_{x→2^−}f(x)\)

    34)\(\displaystyle \lim_{x→2^+}f(x)\)

    Réponse
    \(2\)

    35)\(\displaystyle \lim_{x→2}f(x)\)

    Dans les exercices 36 à 38, utilisez le graphique de la fonction\(y=g(x)\) présenté ici pour trouver les valeurs, si possible. Estimez si nécessaire.

    Graphe d'une fonction par morceaux avec deux segments. La première existe pour x=0 et est la moitié gauche d'une parabole s'ouvrant vers le haut avec un sommet au cercle fermé (0,3). La seconde existe pour x>0 et correspond à la moitié droite d'une parabole s'ouvrant vers le bas avec un sommet au niveau du cercle ouvert (0,0)." style="width: 417px; height: 424px;" width="417px" height="424px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_02_205.jpeg">

    36)\(\displaystyle \lim_{x→0^−}g(x)\)

    Réponse
    \(3\)

    (37)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}g(x)\)

    38)\(\displaystyle \lim_{x→0}g(x)\)

    Réponse
    FAIT

    Dans les exercices 39 à 41, utilisez le graphique de la fonction\(y=h(x)\) présenté ici pour trouver les valeurs, si possible. Estimez si nécessaire.

    Graphe d'une fonction avec deux courbes proches de 0 à partir du quadrant 1 et du quadrant 3. La courbe du premier quadrant semble être la moitié supérieure d'une parabole s'ouvrant à droite de l'axe y le long de l'axe x avec un sommet à l'origine. La courbe du quadrant trois semble être la moitié gauche d'une parabole s'ouvrant vers le bas avec un sommet à l'origine.

    39)\(\displaystyle \lim_{x→0^−}h(x)\)

    40)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}h(x)\)

    Réponse
    \(0\)

    41)\(\displaystyle \lim_{x→0}h(x)\)

    Dans les exercices 42 à 46, utilisez le graphique de la fonction\(y=f(x)\) présentée ici pour trouver les valeurs, si possible. Estimez si nécessaire.

    Un graphique avec une courbe et un point. Le point est un cercle fermé en (0, -2). La courbe fait partie d'une parabole s'ouvrant vers le haut dont le sommet est à (1, -1). Il existe pour x 0, et il y a un cercle fermé à l'origine." style="width: 417px; height: 424px;" width="417px" height="424px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_02_207.jpeg">

    (42)\(\displaystyle \lim_{x→0^−}f(x)\)

    Réponse
    \(-2\)

    43)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}f(x)\)

    44)\(\displaystyle \lim_{x→0}f(x)\)

    Réponse
    FAIT

    45)\(\displaystyle \lim_{x→1}f(x)\)

    46)\(\displaystyle \lim_{x→2}f(x)\)

    Réponse
    \(0\)

    Limites infinies

    Dans les exercices 47 à 51, esquissez le graphique d'une fonction avec les propriétés données.

    47) n'\(\displaystyle \lim_{x→2}f(x)=1, \quad \lim_{x→4^−}f(x)=3, \quad \lim_{x→4^+}f(x)=6, \quad x=4\)est pas défini.

    48)\(\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=0, \quad \lim_{x→−1^−}f(x)=−∞, \quad \lim_{x→−1^+}f(x)=∞,\quad \lim_{x→0}f(x)=f(0), \quad f(0)=1, \quad \lim_{x→∞}f(x)=−∞\)

    Réponse

    Les réponses peuvent varier

    Graphe d'une fonction par morceaux avec deux segments. Le premier segment se trouve dans le quadrant trois et passe asymptotiquement à l'infini négatif le long de l'axe y et à 0 le long de l'axe x. Le deuxième segment est composé de deux courbes. La première semble être la moitié gauche d'une parabole s'ouvrant vers le haut dont le sommet est à (0,1). La seconde semble être la moitié droite d'une parabole s'ouvrant vers le bas et dont le sommet est également à (0,1).

    49)\(\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=2, \quad \lim_{x→3^−}f(x)=−∞, \quad \lim_{x→3^+}f(x)=∞, \quad \lim_{x→∞}f(x)=2, \quad f(0)=-\frac{1}{3}\)

    50)\(\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=2,\quad \lim_{x→−2}f(x)=−∞,\quad \lim_{x→∞}f(x)=2,\quad f(0)=0\)

    Réponse

    La réponse peut varier

    Un graphique contenant deux courbes. Le premier passe à 2 de façon asymptotique le long de y=2 et à l'infini négatif le long de x = -2. La seconde passe à l'infini négatif selon x=-2 et à 2 selon y=2.

    51)\(\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=0,\quad \lim_{x→−1^−}f(x)=∞,\quad \lim_{x→−1^+}f(x)=−∞, \quad f(0)=−1, \quad \lim_{x→1^−}f(x)=−∞, \quad \lim_{x→1^+}f(x)=∞, \quad \lim_{x→∞}f(x)=0\)

    52) Les ondes de choc apparaissent dans de nombreuses applications physiques, allant des supernovas aux ondes de détonation. Un graphique de la densité d'une onde de choc par rapport à la distance\(x\), est présenté ici. Nous nous intéressons principalement à l'emplacement de l'avant de l'amortisseur, indiqué\(X_{SF}\) sur le schéma.

    Un graphique dans le premier quadrant de la densité d'une onde de choc avec trois points étiquetés : p1 et p2 sur l'axe des y, avec p1 p2 et xsf sur l'axe des x. Elle se compose de y= p1 de 0 à xsf, x = xsf de y= p1 à y=p2, et y=p2 pour les valeurs supérieures ou égales à xsf." style="width: 300px; height: 304px;" width="300px" height="304px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...avedensity.png">

    a. Évaluer\(\displaystyle \lim_{x→X_{SF}^+}ρ(x)\).

    b. Évaluer\(\displaystyle \lim_{x→X_{SF}^−}ρ(x)\).

    c. Évaluer\(\displaystyle \lim_{x→X_{SF}}ρ(x)\). Expliquez la signification physique de vos réponses.

    Réponse
    a.\(ρ_2\) b.\(ρ_1\) c. DNE sauf si\(ρ_1=ρ_2\). Lorsque vous vous\(X_{SF}\) approchez par la droite, vous vous trouvez dans la zone à haute densité de l'amortisseur. Lorsque vous vous approchez par la gauche, vous n'avez pas encore ressenti le « choc » et vous êtes à une densité plus faible.

    53) Un entraîneur de piste utilise une caméra dotée d'un obturateur rapide pour estimer la position d'un coureur par rapport au temps. Un tableau des valeurs de la position de l'athlète en fonction du temps est donné ici, où\(x\) est la position en mètres du coureur et\(t\) le temps en secondes. Qu'\(\displaystyle \lim_{t→2}x(t)\)est-ce que c'est Qu'est-ce que cela signifie physiquement ?

    \(t(sec)\) \(x(m)\)
    \ (t (sec) \) » style="text-align:center ; « >1,75 \ (x (m) \) » style="text-align:center ; « >4,5
    \ (t (sec) \) » style="text-align:center ; « >1,95 \ (x (m) \) » style="text-align:center ; « >6.1
    \ (t (sec) \) » style="text-align:center ; « >1,99 \ (x (m) \) » style="text-align:center ; « >6,42
    \ (t (sec) \) » style="text-align:center ; « >2.01 \ (x (m) \) » style="text-align:center ; « >6,58
    \ (t (sec) \) » style="text-align:center ; « >2,05 \ (x (m) \) » style="text-align:center ; « >6,9
    \ (t (sec) \) » style="text-align:center ; « >2,25 \ (x (m) \) » style="text-align:center ; « >8,5