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8.6 : Résolution d'équations rationnelles

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    Objectifs d'apprentissage

    À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

    • Résoudre des équations
    • Résolvez une équation rationnelle pour une variable spécifique
    Remarque

    Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

    Si vous manquez un problème, revenez à la section répertoriée et passez en revue les informations.

    1. Résoudre :\(\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 2.5.1.
    2. Résoudre :\(n^2−5n−36=0\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 7.6.13.
    3. Résolvez y en termes de x : 5x+2y=10 pour y.
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 2.6.22.

    Après avoir défini les termes expression et équation très tôt dans Foundations, nous les avons utilisés tout au long de ce livre. Nous avons simplifié de nombreux types d'expressions et résolu de nombreux types d'équations. Nous avons simplifié de nombreuses expressions rationnelles jusqu'à présent dans ce chapitre. Nous allons maintenant résoudre des équations rationnelles.

    La définition d'une équation rationnelle est similaire à celle que nous avons utilisée dans Foundations.

    Définition : ÉQUATION RATIONNELLE

    Une équation rationnelle est constituée de deux expressions rationnelles reliées par un signe égal.

    Vous devez vous assurer de connaître la différence entre les expressions rationnelles et les équations rationnelles. L'équation contient un signe égal.

    \[\begin{array}{cc} {\textbf{Rational Expression}}&{\textbf{Rational Equation}}\\ {\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}}&{\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}\\ {\frac{y+6}{y^2−36}}&{\frac{y+6}{y^2−36}=y+1}\\ {\frac{1}{n−3}+\frac{1}{n+4}}&{\frac{1}{n−3}+\frac{1}{n+4}=\frac{15}{n^2+n−12}}\\ \nonumber \end{array}\]

    Résoudre des équations

    Nous avons déjà résolu des équations linéaires contenant des fractions. Nous avons trouvé l'écran LCD de toutes les fractions de l'équation, puis nous avons multiplié les deux côtés de l'équation par l'écran LCD pour « effacer » les fractions.

    Voici un exemple que nous avons fait lorsque nous avons travaillé avec des équations linéaires :

      . .
    Nous avons multiplié les deux côtés par l'écran LCD. .  
    Ensuite, nous avons distribué. .  
    Nous avons simplifié, puis nous avons obtenu une équation sans fractions. .  
    Enfin, nous avons résolu cette équation. .  
      .  

    Nous utiliserons la même stratégie pour résoudre des équations rationnelles. Nous allons multiplier les deux côtés de l'équation par l'écran LCD. Nous aurons alors une équation qui ne contient pas d'expressions rationnelles et qui sera donc beaucoup plus facile à résoudre pour nous.

    Mais comme l'équation d'origine peut avoir une variable dans un dénominateur, nous devons faire attention à ne pas aboutir à une solution qui rendrait un dénominateur égal à zéro.

    Donc, avant de commencer à résoudre une équation rationnelle, nous l'examinons d'abord pour trouver les valeurs qui rendraient les dénominateurs nuls. Ainsi, lorsque nous résolvons une équation rationnelle, nous saurons s'il existe des solutions algébriques que nous devons rejeter.

    Une solution algébrique à une équation rationnelle qui rendrait l'une des expressions rationnelles indéfinie est appelée solution externe.

    Définition : Solution superflue à une équation rationnelle

    Une solution externe à une équation rationnelle est une solution algébrique qui rendrait indéfinie n'importe laquelle des expressions de l'équation d'origine.

    Nous notons toutes les solutions superflues possibles, c, en écrivant\(x \ne c\) next to the equation.

    Comment résoudre des équations avec des expressions rationnelles

    Exemple\(\PageIndex{1}\)

    Résoudre :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\).

    Réponse

    L'image ci-dessus comporte 3 colonnes. Il montre les étapes pour trouver une solution superflue à une équation rationnelle pour l'exemple 1 divisé par x plus un tiers est égal aux cinq sixièmes. La première étape consiste à noter toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. Si x est égal à 0, alors I divisé par x n'est pas défini. Nous allons donc écrire x divisé zéro à côté de l'équation pour obtenir 1 divisé par x plus un tiers soit cinq sixièmes fois x divisé par zéro.La deuxième étape consiste à trouver le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation. Trouvez l'écran LCD de 1 divisé par x un tiers et cinq sixièmes. Le x est 6 x.La troisième étape consiste à effacer les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD. Multipliez les deux côtés de l'équation par l'écran LCD, 6 x pour obtenir 6 fois 1 divisé par x plus un tiers, soit 6 fois les cinq sixièmes. Utilisez la propriété distributive pour obtenir 6 fois 1 divisé par x plus 6 fois le tiers, soit 6 fois les cinq sixièmes. Simplifiez — et remarquez qu'il n'y a plus de fractions et que nous avons 6 plus 2 x égale 5 x.L'étape 4 consiste à résoudre l'équation résultante. Simplifiez pour obtenir 6 = 3 x et 2 = x.L'étape 5 consiste à vérifier. Si des valeurs trouvées à l'étape 1 sont des solutions algébriques, supprimez-les. Vérifiez toutes les solutions restantes dans l'équation d'origine. Nous n'avons pas obtenu 0 comme solution algébrique. Nous substituons x égal à 2 dans l'équation d'origine pour obtenir la moitié plus un tiers égal à cinq sixièmes, puis trois sixièmes plus deux sixièmes équivalent à cinq sixièmes et enfin, cinq sixièmes sont égaux à cinq sixièmes.

    Exemple\(\PageIndex{2}\)

    Résoudre :\(\frac{1}{y}+\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\).

    Réponse

    \(−\frac{15}{7}\)

    Exemple\(\PageIndex{3}\)

    Résoudre :\(\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{1}{x}\).

    Réponse

    \(\frac{15}{13}\)

    Les étapes de cette méthode sont présentées ci-dessous.

    Définition : RÉSOUDRE DES ÉQUATIONS AVEC DES EXPRESSIONS RATIONNELLES
    1. Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro.
    2. Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation.
    3. Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD.
    4. Résolvez l'équation résultante.
    5. Vérifiez.
      • Si des valeurs trouvées à l'étape 1 sont des solutions algébriques, supprimez-les.
      • Vérifiez toutes les solutions restantes dans l'équation d'origine.

    Nous commençons toujours par noter les valeurs qui feraient en sorte que les dénominateurs soient nuls.

    Exemple\(\PageIndex{4}\)

    Résoudre :\(1−\frac{5}{y}=−\frac{6}{y^2}\).

    Réponse
      .
    Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. .
    Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation. L'écran LCD est\(y^2\)  
    Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD. .
    Distribuez. .
    Multipliez. .
    Résolvez l'équation résultante. Écrivez d'abord l'équation quadratique sous forme standard. .
    Facteur. .
    Utilisez la propriété Zero Product. .
    Résoudre. .
    Vérifiez.  
    Nous n'avons pas obtenu 0 comme solution algébrique.  
    .  
    Exemple\(\PageIndex{5}\)

    Résoudre :\(1−\frac{2}{a}=\frac{15}{a^2}\).

    Réponse

    5, −3

    Exemple\(\PageIndex{6}\)

    Résoudre :\(1−\frac{4}{b}=\frac{12}{b^2}\).

    Réponse

    6, −2

    Exemple\(\PageIndex{7}\)

    Résoudre :\(\frac{5}{3u−2}=\frac{3}{2u}\).

    Réponse
      .
    Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. .
    Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation. L'écran LCD est de 2u (3u−2).  
    Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD. .
    Supprimez les facteurs courants. .
    Simplifiez. .
    Multipliez. .
    Résolvez l'équation résultante. .
    Nous n'avons pas obtenu 0 ou\(\frac{2}{3}\) comme solutions algébriques.  
    .  
    Exemple\(\PageIndex{8}\)

    Résoudre :\(\frac{1}{x−1}=\frac{2}{3x}\).

    Réponse

    −2

    Exemple\(\PageIndex{9}\)

    Résoudre :\(\frac{3}{5n+1}=\frac{2}{3n}\).

    Réponse

    −2

    Lorsque l'un des dénominateurs est un quadratique, pensez à le prendre en compte d'abord pour trouver l'écran LCD.

    Exemple\(\PageIndex{10}\)

    Résoudre :\(\frac{2}{p+2}+\frac{4}{p−2}=\frac{p−1}{p^2−4}\).

    Réponse
      .
    Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. .
    Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation. L'écran LCD est (p+2) (p−2).  
    Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD. .
    Distribuez. .
    Supprimez les facteurs courants. .
    Simplifiez. .
    Distribuez. .
    Résoudre. .
      .
      .
    Nous n'avons pas obtenu 2 ou −2 comme solutions algébriques.  
    .  
    Exemple\(\PageIndex{11}\)

    Résoudre :\(\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x−1}=\frac{1}{x^2−1}\).

    Réponse

    \(\frac{2}{3}\)

    Exemple\(\PageIndex{12}\)

    Résoudre :\(\frac{5}{y+3}+\frac{2}{y−3}=\frac{5}{y^2−9}\)

    Réponse

    2

    Exemple\(\PageIndex{13}\)

    Résoudre :\(\frac{4}{q−4}−\frac{3}{q−3}=1\).

    Réponse
      .
    Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. .
    Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation. L'écran LCD est (q−4) (q−3).  
    Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD. .
    Distribuez. .
    Supprimez les facteurs courants. .
    Simplifiez. .
    Simplifiez. .
    Combinez les mêmes termes. .
    Résoudre. Écrivez d'abord sous forme standard. .
    Facteur. .
    Utilisez la propriété Zero Product. .
    Nous n'en avons pas obtenu 4 ou 3 en tant que solutions algébriques.  
    .  
    Exemple\(\PageIndex{14}\)

    Résoudre :\(\frac{2}{x+5}−\frac{1}{x−1}=1\).

    Réponse

    −1, −2

    Exemple\(\PageIndex{15}\)

    Résoudre :\(\frac{3}{x+8}−\frac{2}{x−2}=1\).

    Réponse

    −2, −3

    Exemple\(\PageIndex{16}\)

    Résoudre :\(\frac{m+11}{m^2−5m+4}=\frac{5}{m−4}−\frac{3}{m−1}\).

    Réponse
      .
    Factoriez tous les dénominateurs, afin que nous puissions noter n'importe quelle valeur de la variable, ce qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. .
    Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation. L'écran LCD est (m−4) (m−1)  
    Effacez les fractions. .
    Distribuez. .
    Supprimez les facteurs courants. .
    Simplifiez. .
    Résolvez l'équation résultante. .
      .
    Vérifiez. La seule solution algébrique était 4, mais nous avons dit que 4 ferait un dénominateur égal à zéro. La solution algébrique est une solution étrangère. Il n'y a pas de solution à cette équation.  
    Exemple\(\PageIndex{17}\)

    Résoudre :\(\frac{x+13}{x^2−7x+10}=\frac{6}{x−5}−\frac{4}{x−2}\).

    Réponse

    aucune solution

    Exemple\(\PageIndex{18}\)

    Résoudre :\(\frac{y−14}{y^2+3y−4}=\frac{2}{y+4}+\frac{7}{y−1}\).

    Réponse

    aucune solution

    L'équation que nous avons résolue dans Example n'avait qu'une seule solution algébrique, mais il s'agissait d'une solution externe. Cela ne nous a laissé aucune solution à l'équation. Certaines équations n'ont pas de solution.

    Exemple\(\PageIndex{19}\)

    Résoudre :\(\frac{n}{12}+\frac{n+3}{3n}=\frac{1}{n}\).

    Réponse
      .
    Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. .
    Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation. L'écran LCD est 12n.  
    Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD. .
    Distribuez. .
    Supprimez les facteurs courants. .
    Simplifiez. .
    Résolvez l'équation résultante. .
      .
      .
      .
    Vérifiez.  
    n=0 est une solution étrangère.  
    .  
    Exemple\(\PageIndex{20}\)

    Résoudre :\(\frac{x}{18}+\frac{x+6}{9x}=\frac{2}{3x}\).

    Réponse

    −2

    Exemple\(\PageIndex{21}\)

    Résoudre :\(\frac{y+5}{5y}+\frac{y}{15}=\frac{1}{y}\).

    Réponse

    −3

    Exemple\(\PageIndex{22}\)

    Résoudre :\(\frac{y}{y+6}=\frac{72}{y^2−36}+4\).

    Réponse
      .
    Factoriez tous les dénominateurs, afin que nous puissions noter toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. .
    Trouvez le plus petit dénominateur commun. L'écran LCD est (y−6) (y+6).  
    Effacez les fractions. .
    Simplifiez. .
    Simplifiez. .
    Résolvez l'équation résultante. .
      .
      .
      .
      .
    Vérifiez.  
    y=−6 est une solution étrangère.  
    .  
    Exemple\(\PageIndex{23}\)

    Résoudre :\(\frac{x}{x+4}=\frac{32}{x^2−16}+5\).

    Réponse

    −4, 3

    Exemple\(\PageIndex{24}\)

    Résoudre :\(\frac{y}{y+8}=\frac{128}{y^2−64}+9\).

    Réponse

    7

    Exemple\(\PageIndex{25}\)

    Résoudre :\(\frac{x}{2x−2}−\frac{2}{3x+3}=\frac{5x^2−2x+9}{12x^2−12}\).

    Réponse
      .
    Nous commencerons par factoriser tous les dénominateurs, afin de faciliter l'identification des solutions superflues et de l'écran LCD. .
    Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. .
    Trouvez le plus petit dénominateur commun. L'écran LCD est 12 (x−1) (x+1)
    Effacez les fractions. .
    Simplifiez. .
    Simplifiez. .
    Résolvez l'équation résultante. .
      .
      .
      .
    Vérifiez.  
    x=1 et x=−1 sont des solutions étrangères.
    L'équation n'a pas de solution.    		  
    Exemple\(\PageIndex{26}\)

    Résoudre :\(\frac{y}{5y−10}−\frac{5}{3y+6}=\frac{2y^2−19y+54}{15y^2−60}\).

    Réponse

    aucune solution

    Exemple\(\PageIndex{27}\)

    Résoudre :\(\frac{z^2}{z+8}−\frac{3}{4z−8}=\frac{3z^2−16z−68}{z^2+8z−64}\).

    Réponse

    aucune solution

    Résoudre une équation rationnelle pour une variable spécifique

    Lorsque nous avons résolu des équations linéaires, nous avons appris à résoudre une formule pour une variable spécifique. De nombreuses formules utilisées dans les affaires, les sciences, l'économie et d'autres domaines utilisent des équations rationnelles pour modéliser la relation entre deux variables ou plus. Nous allons maintenant voir comment résoudre une équation rationnelle pour une variable spécifique.

    Nous allons commencer par une formule faisant le lien entre la distance, le taux et le temps. Nous l'avons déjà utilisé à de nombreuses reprises, mais généralement pas sous cette forme.

    Exemple\(\PageIndex{28}\)

    Résolvez :\(\frac{D}{T}=R\) pour T.

    Réponse
      .
    Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. .
    Effacez les fractions en multipliant les deux côtés des équations par l'écran LCD, T. .
    Simplifiez. .
    Divisez les deux côtés par R pour isoler T. .
    Simplifiez. .
    Exemple\(\PageIndex{29}\)

    Résolvez :\(\frac{A}{L}=W\) pour L.

    Réponse

    \(L=\frac{A}{W}\)

    Exemple\(\PageIndex{30}\)

    Résolvez :\(\frac{F}{A}=M\) pour A.

    Réponse

    \(A=\frac{F}{M}\)

    L'exemple utilise la formule de pente que nous avons utilisée pour obtenir la forme de pente ponctuelle d'une équation d'une droite.

    Exemple\(\PageIndex{31}\)

    Résolvez :\(m=\frac{x−2}{y−3}\) pour y.

    Réponse
      .
    Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. .
    Effacez les fractions en multipliant les deux côtés des équations par l'écran LCD, y−3. .
    Simplifiez. .
    Isolez le terme par y. .
    Divisez les deux côtés par m pour isoler y. .
    Simplifiez. .
    Exemple\(\PageIndex{32}\)

    Résolvez :\(\frac{y−2}{x+1}=\frac{2}{3}\) pour x.

    Réponse

    \(x=\frac{3y−8}{2}\)

    Exemple\(\PageIndex{33}\)

    Résolvez :\(x=\frac{y}{1−y}\) pour y.

    Réponse

    \(y=\frac{x}{1+x}\)

    Assurez-vous de suivre toutes les étapes de l'exemple. Cela peut sembler une formule très simple, mais nous ne pouvons pas la résoudre instantanément pour aucun des deux dénominateurs.

    Exemple\(\PageIndex{34}\)

    Résolvez\(\frac{1}{c}+\frac{1}{m}=1\) pour c.

    Réponse
      .
    Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro. .
    Effacer les fractions en multipliant les deux côtés des équations par l'écran LCD, cm .
    Distribuer. .
    Simplifiez. .
    Rassemblez les termes avec un c à droite. .
    Facturez l'expression sur la droite. .
    Pour isoler c, divisez les deux côtés par m−1. .
    Simplifiez en supprimant les facteurs courants. .

    Notez que même si nous avons exclu c=0 et m=0 de l'équation d'origine, nous devons également l'indiquer maintenant\(m \ne 1\).

    Exemple\(\PageIndex{35}\)

    Résolvez :\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=c\) pour un.

    Réponse

    \(a=\frac{b}{cb−1}\)

    Exemple\(\PageIndex{36}\)

    Résolvez :\(\frac{2}{x}+\frac{1}{3}=\frac{1}{y}\) pour y.

    Réponse

    \(y=\frac{3x}{6+x}\)

    Concepts clés

    • Stratégie pour résoudre des équations avec des expressions rationnelles
      1. Notez toute valeur de la variable qui ferait de n'importe quel dénominateur zéro.
      2. Trouvez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs de l'équation.
      3. Effacez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par l'écran LCD.
      4. Résolvez l'équation résultante.
      5. Vérifiez.
      • Si des valeurs trouvées à l'étape 1 sont des solutions algébriques, supprimez-les.
      • Vérifiez toutes les solutions restantes dans l'équation d'origine.

    Lexique

    équation rationnelle
    Une équation rationnelle est constituée de deux expressions rationnelles reliées par un signe égal.
    solution externe à une équation rationnelle
    Une solution externe à une équation rationnelle est une solution algébrique qui rendrait indéfinie n'importe laquelle des expressions de l'équation d'origine.