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8.1 : Simplifier les expressions rati

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    194898
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    Résumé

    À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

    • Déterminer les valeurs pour lesquelles une expression rationnelle n'est pas définie
    • Evaluer les expressions
    • Simplifier les expressions
    • Simplifiez les expressions rationnelles avec des facteurs
    Es-tu prêt ?

    Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

    Si vous manquez un problème, revenez à la section répertoriée et passez en revue les informations.

    1. Simplifiez :\(\frac{90y}{15y^2}\).
      Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].
    2. Facteur :\(6x^2−7x+2\).
      Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].
    3. Facteur :\(n^3+8\).
      Si vous avez oublié ce problème, consultez [lien].

    Dans le chapitre 1, nous avons examiné les propriétés des fractions et leur fonctionnement. Nous avons introduit des nombres rationnels, qui ne sont que des fractions où les numérateurs et les dénominateurs sont des nombres entiers, et le dénominateur n'est pas zéro.

    Dans ce chapitre, nous allons travailler avec des fractions dont les numérateurs et les dénominateurs sont des polynômes. Nous appelons cela des expressions rationnelles.

    Définition : EXPRESSION RATIONNELLE

    Une expression rationnelle est une expression de la forme\(\frac{p(x)}{q(x)}\), où p et q sont des polynômes et\(q \ne 0\).

    N'oubliez pas que la division par 0 n'est pas définie.

    Voici quelques exemples d'expressions rationnelles :

    \[\begin{array}{cccc} {−\frac{13}{42}}&{\frac{7y}{8z}}&{\frac{5x+2}{x^2−7}}&{\frac{4x^2+3x−1}{2x−8}}\\ \nonumber \end{array}\]

    Notez que la première expression rationnelle répertoriée ci-dessus,\(−\frac{13}{42}\), n'est qu'une fraction. Comme une constante est un polynôme de degré zéro, le rapport de deux constantes est une expression rationnelle, à condition que le dénominateur ne soit pas nul.

    Nous effectuerons les mêmes opérations avec des expressions rationnelles que nous effectuerons avec des fractions. Nous allons les simplifier, les ajouter, les soustraire, les multiplier, les diviser et les utiliser dans des applications.

    Déterminer les valeurs pour lesquelles une expression rationnelle n'est pas définie

    Lorsque nous travaillons avec une fraction numérique, il est facile d'éviter de diviser par zéro, car nous pouvons voir le nombre dans le dénominateur. Afin d'éviter de diviser par zéro dans une expression rationnelle, nous ne devons pas autoriser les valeurs de la variable qui feront du dénominateur zéro.

    Si le dénominateur est zéro, l'expression rationnelle n'est pas définie. Le numérateur d'une expression rationnelle peut être 0, mais pas le dénominateur.

    Donc, avant de commencer une opération avec une expression rationnelle, nous l'examinons d'abord pour trouver les valeurs qui rendraient le dénominateur zéro. Ainsi, lorsque nous résolvons une équation rationnelle par exemple, nous saurons si les solutions algébriques que nous trouvons sont autorisées ou non.

    Définition : DÉTERMINEZ LES VALEURS POUR LESQUELLES UNE EXPRESSION RATIONNELLE N'EST PAS DÉFINIE.
    1. Réglez le dénominateur à zéro.
    2. Résolvez l'équation dans l'ensemble des réels, si possible.
    Exemple\(\PageIndex{1}\)

    Déterminez les valeurs pour lesquelles l'expression rationnelle n'est pas définie :

    1. \(\frac{9y}{x}\)
    2. \(\frac{4b−3}{2b+5}\)
    3. \(\frac{x+4}{x^2+5x+6x}\)

    Solution

    L'expression ne sera pas définie lorsque le dénominateur est zéro.

    1. \(\frac{9y}{x}\)
    Réglez le dénominateur à zéro. Résolvez la variable. x=0
      \(\frac{9y}{x}\)n'est pas défini pour x=0.
    2.

    \(\frac{4b−3}{2b+5}\)

    Réglez le dénominateur à zéro. Résolvez la variable. 2b+5=0
      2b = −5
      \(b=−\frac{5}{2}\)
      \(\frac{4b−3}{2b+5}\)n'est pas défini pour\(b=−\frac{5}{2}\).
    3. \(\frac{x+4}{x^2+5x+6x}\)
    Réglez le dénominateur à zéro. Résolvez la variable. \(x^2+5x+6x=0\)
      \((x+2)(x+3)=0\)
      x+2=0 ou x+3=0
      x=−2 ou x=−3
      \(\frac{x+4}{x^2+5x+6x}\)n'est pas défini pour x=−2 ou x=−3.

    Dire que l'expression rationnelle n'\(\frac{x+4}{x^2+5x+6x}\)est pas définie pour x=−2orx=−3 revient à écrire l'expression « nulle là où elle est interdite » dans les règles du concours.

    Essayez-le\(\PageIndex{2}\)

    Déterminez les valeurs pour lesquelles l'expression rationnelle n'est pas définie :

    1. \(\frac{3y}{x}\)
    2. \(\frac{8n−5}{3n+1}\)
    3. \(\frac{a+10}{a^2+4a+3a}\)
    Answer
    1. x=0
    2. \(n=−\frac{1}{3}\)
    3. a=−1, a=−3
    Try It \(\PageIndex{3}\)

    Déterminez les valeurs pour lesquelles l'expression rationnelle n'est pas définie :

    1. \(\frac{4p}{5q}\)
    2. \(\frac{y−1}{3y+2}\)
    3. \(\frac{m−5}{m^2+m−6}\)
    Réponse
    1. q=0
    2. \(y=−\frac{2}{3}\)
    3. m=2, m=−3

    Évaluation des expressions rationnelles

    Pour évaluer une expression rationnelle, nous substituons les valeurs des variables dans l'expression et la simplifions, comme nous l'avons fait pour de nombreuses autres expressions dans ce livre.

    Exemple\(\PageIndex{4}\)

    Évaluez\(\frac{2x+3}{3x−5}\) pour chaque valeur :

    1. x=0
    2. x=2
    3. x=−3

    Solution

    1. .
    . .
    Simplifiez. .
    2. .
    . .
    Simplifiez. .
      .
      .
    3. .
    . .
    Simplifiez. .
      .
      .
    Essayez-le\(\PageIndex{5}\)

    Évaluer\(\frac{y+1}{2y−3}\) for each value:

    1. y=1
    2. y=−3
    3. y=0
    Answer
    1. −2
    2. \(\frac{2}{9}\)
    3. \(−\frac{1}{3}\)
    Try It \(\PageIndex{6}\)

    Évaluez\(\frac{5x−1}{2x+1}\) pour chaque valeur :

    1. x=1
    2. x=−1
    3. x=0
    Réponse
    1. \(\frac{4}{3}\)
    2. 6
    3. −1
    Exemple\(\PageIndex{7}\)

    Évaluez\(\frac{x^2+8x+7}{x^2−4}\) pour chaque valeur :

    1. x=0
    2. x=2
    3. x=−1

    Solution

    1. .
    . .
    Simplifiez. .
      .
    2. .
    . .
    Simplifiez. .
      .
    Cette expression rationnelle n'est pas définie pour x = 2.
    3. .
    . .
    Simplifiez. .
      .
      .
      .
    Essayez-le\(\PageIndex{8}\)

    Évaluer\(\frac{x^2+1}{x^2−3x+2}\) for each value:

    1. x=0
    2. x=−1
    3. x=3
    Answer
    1. \(\frac{1}{2}\)
    2. \(\frac{1}{3}\)
    3. 2
    Try It \(\PageIndex{9}\)

    \(\frac{x^2+x−6}{x^2−9}\)Évaluez chaque valeur.

    1. x=0
    2. x=−2
    3. x=1
    Réponse
    1. \(\frac{2}{3}\)
    2. \(\frac{4}{5}\)
    3. \(\frac{1}{2}\)

    N'oubliez pas qu'une fraction est simplifiée lorsqu'elle n'a aucun facteur commun, autre que 1, dans son numérateur et son dénominateur. Lorsque nous évaluons une expression rationnelle, nous veillons à simplifier la fraction résultante.

    Exemple\(\PageIndex{10}\)

    \(\frac{a^2+2ab+b^2}{3ab}\)Évaluez chaque valeur.

    1. a=1, b=2
    2. a=−2, b=−1
    3. \(a=\frac{1}{3}\), b=0

    Solution

    1. \(\frac{a^2+2ab+b^2}{3ab}\)lorsque a=1, b=2
    . .
    Simplifiez. .
      .
      .
    2. \(\frac{a^2+2ab+b^2}{3ab}\)lorsque a=−2, b=−1
    . .
    Simplifiez. .
      .
      .
    3. \(\frac{a^2+2ab+b^2}{3ab}\)lorsque\(a=\frac{1}{3}\), b=0
    . .
    Simplifiez. .
      .
    Essayez-le\(\PageIndex{11}\)

    Évaluer\(\frac{2a^{3}b}{a^2+2ab+b^2}\) for each value.

    1. a=−1, b=2
    2. a=0, b=−1
    3. a=1, \(b=\frac{1}{2}\)
    Answer
    1. −4
    2. 0
    3. \(\frac{4}{9}\)
    Try It \(\PageIndex{12}\)

    Évaluez\(\frac{a^2−b^2}{8ab^3}\) pour chaque valeur :

    1. a=1, b=−1
    2. \(a=\frac{1}{2}\), b=−1
    3. a=−2, b=1
    Réponse
    1. 0
    2. \(\frac{3}{16}\)
    3. \(\frac{3}{16}\)

    Simplifier les expressions

    Tout comme une fraction est considérée comme simplifiée s'il n'y a aucun facteur commun, autre que 1, dans son numérateur et son dénominateur, une expression rationnelle est simplifiée si elle n'a aucun facteur commun, autre que 1, dans son numérateur et son dénominateur.

    Définition : EXPRESSION RATIONNELLE SIMPLIFIÉE

    Une expression rationnelle est considérée comme simplifiée si son numérateur et son dénominateur ne présentent aucun facteur commun.

    Par exemple :

    • \(\frac{2}{3}\)est simplifié car il n'y a pas de facteurs communs de 2 et 3.
    • \(\frac{2x}{3x}\)n'est pas simplifié car x est un facteur commun à 2 x et 3 x.

    Nous utilisons la propriété Fractions équivalentes pour simplifier les fractions numériques. Nous le reformulons ici car nous l'utiliserons également pour simplifier les expressions rationnelles s.

    Définition : PROPRIÉTÉ DE FRACTIONS ÉQUIVALENTES

    Si a, b et c sont des nombres où\(b \ne 0\)\(c\ne 0\), alors\(\frac{a}{b}=\frac{a·c}{b·c}\) et\(\frac{a·c}{b·c}=\frac{a}{b}\)

    Notez que dans la propriété Fractions équivalentes, les valeurs qui rendraient les dénominateurs nuls sont spécifiquement interdites. Nous voyons\(b \ne 0\),\(c\ne 0\) clairement indiqué. Chaque fois que nous écrivons une expression rationnelle, nous devons faire une déclaration similaire interdisant les valeurs qui donneraient un dénominateur zéro. Cependant, pour nous concentrer sur le travail à accomplir, nous omettrons de l'écrire dans les exemples.

    Commençons par examiner comment nous simplifions les fractions numériques.

    Exemple\(\PageIndex{13}\)

    Simplifiez :\(−\frac{36}{63}\).

    Solution

      .
    Réécrivez le numérateur et le dénominateur en indiquant les facteurs communs. .
    Utilisez la propriété Fractions équivalentes pour simplifier. .

    Notez que la fraction\(−\frac{4}{7}\) est simplifiée car il n'y a plus de facteurs communs.

    Essayez-le\(\PageIndex{14}\)

    Simplifiez :\(−\frac{45}{81}\).

    Answer

    \(−\frac{5}{9}\)

    Try It \(\PageIndex{15}\)

    Simplifiez :\(−\frac{42}{54}\).

    Réponse

    \(−\frac{7}{9}\)

    Tout au long de ce chapitre, nous supposerons que toutes les valeurs numériques qui rendraient le dénominateur nul sont exclues. Nous n'écrirons pas les restrictions pour chaque expression rationnelle, mais gardez à l'esprit que le dénominateur ne peut jamais être zéro. Donc, dans l'exemple suivant,\(x \ne 0\) et\(y \ne 0\).

    Exemple\(\PageIndex{16}\)

    Simplifiez :\(\frac{3xy}{18x^{2}y^{2}}\).

    Solution

      .
    Réécrivez le numérateur et le dénominateur en indiquant les facteurs communs. .
    Utilisez la propriété Fractions équivalentes pour simplifier. .

    Avez-vous remarqué que ce sont les mêmes étapes que celles que nous avons suivies lorsque nous avons divisé les monômes en polynômes ?

    Essayez-le\(\PageIndex{17}\)

    Simplifiez :\(\frac{4x^{2}y}{12xy^2}\).

    Answer

    \(\frac{x}{3y}\)

    Try It \(PageIndex{18}\)

    Simplifiez :\(\frac{16x^{2}y}{2xy^2}\).

    Réponse

    \(\frac{8x}{y}\)

    Pour simplifier les expressions rationnelles, nous écrivons d'abord le numérateur et le dénominateur sous forme factorielle. Ensuite, nous supprimons les facteurs communs en utilisant la propriété des fractions équivalentes.

    Soyez très prudent lorsque vous supprimez les facteurs courants. Les facteurs sont multipliés pour fabriquer un produit. Vous pouvez supprimer un facteur d'un produit. Vous ne pouvez pas supprimer un terme d'une somme.

    Cette figure contient trois colonnes. La première colonne indique le numérateur et le dénominateur sous forme factorielle. Le numérateur a 2 fois 3 fois 7. Le dénominateur a 3 fois 5 fois 7. Les facteurs communs, 3 et 7, sont barrés. La deuxième rangée, première colonne, montre ce qui reste après que les trois et sept ont été barrés, soit 2 sur 5 sous forme de fraction. La dernière ligne de la première colonne se lit comme suit : « Nous avons supprimé les facteurs communs de 3 et 7. Ce sont les facteurs du produit. » La première ligne de la colonne centrale indique 3 x, puis x moins 9 entre parenthèses dans le numérateur. Le dénominateur indique 5, puis x-9 entre parenthèses. Les facteurs communs x moins 9 sont barrés. La deuxième ligne de la colonne centrale indique ce qui reste après la suppression des facteurs communs, soit 3 x sur 5 sous forme de fraction. La dernière ligne de la colonne centrale se lit comme suit : « Nous avons supprimé le facteur commun x moins 9. C'est un facteur du produit. » La première ligne de la troisième colonne indique x plus 5 au numérateur et x au dénominateur. La deuxième rangée indique « Aucun facteur commun » et la troisième rangée indique : « Bien qu'il y ait un x à la fois au numérateur et au dénominateur, le x dans le numérateur est un terme d'une somme ».

    Notez que supprimer les x de la fraction\(\frac{x+5}{x}\) reviendrait à annuler les 2 de la fraction\(\frac{2+5}{2}\) !

    Comment simplifier les binômes rationnels

    Exemple\(\PageIndex{19}\)

    Simplifiez :\(\frac{2x+8}{5x+20}\).

    Solution

    Cette figure est un tableau composé de trois colonnes et de deux rangées. La première colonne est une colonne d'en-tête qui contient les noms et les numéros de chaque étape. La deuxième colonne contient d'autres instructions écrites. La troisième colonne contient des données mathématiques. Sur la rangée supérieure du tableau, la première cellule indique « Étape 1. Facturez complètement le numérateur et le dénominateur. » La deuxième cellule indique « Facteur 2x plus 8 et 5x moins 20 ». La troisième cellule contient 2x plus 8, divisée par 5x plus 20. En dessous, il y a 2 fois x plus 4 divisés par 5 fois x plus 4.Dans la deuxième rangée, la première cellule indique « Étape 2. Simplifiez en divisant les facteurs communs. » La deuxième cellule indique « Répartissez les facteurs communs ». La troisième cellule contient 2 fois x plus 4 divisée par 5 fois x plus 4, où x plus 4 annule le numérateur et le dénominateur. Il se simplifie à 2 cinquièmes.

    Essayez-le\(\PageIndex{20}\)

    Simplifiez :\(\frac{3x−6}{2x−4}\).

    Answer

    \(\frac{3}{2}\)

    Try It \(\PageIndex{21}\)

    Simplifiez :\(\frac{7y+35}{5y+25}\).

    Réponse

    \(\frac{7}{5}\)

    Nous résumons maintenant les étapes à suivre pour simplifier les expressions rationnelles.

    Définition : SIMPLIFIER UNE EXPRESSION RATIONNELLE.
    1. Facturez complètement le numérateur et le dénominateur.
    2. Simplifiez en divisant les facteurs communs.
    Habituellement, nous laissons l'expression rationnelle simplifiée sous forme factorielle. De cette façon, il est facile de vérifier que nous avons supprimé tous les facteurs courants !

    Nous utiliserons les méthodes que nous avons abordées dans Factorisation pour factoriser les polynômes dans les numérateurs et les dénominateurs dans les exemples suivants.

    Exemple\(\PageIndex{22}\)

    Simplifiez :\(\frac{x^2+5x+6}{x^2+8x+12}\).

    Solution

      \(\frac{x^2+5x+6}{x^2+8x+12}\)
    Facturez le numérateur et le dénominateur. \(\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+6)}\)
    Supprimez le facteur commun x+2 du numérateur et du dénominateur. \(\frac{x+3}{x+6}\)

    Pouvez-vous dire quelles valeurs de x doivent être exclues dans cet exemple ?

    Essayez-le\(\PageIndex{23}\)

    Simplifiez :\(\frac{x^2−x−2}{x^2−3x+2}\).

    Answer

    \(\frac{x+1}{x−1}\)

    Try It \(\PageIndex{24}\)

    Simplifiez :\(\frac{x^2−3x−10}{x^2+x−2}\).

    Réponse

    \(\frac{x−5}{x−1}\)

    Exemple\(\PageIndex{25}\)

    Simplifiez :\(\frac{y^2+y−42}{y^2−36}\).

    Solution

      \(\frac{y^2+y−42}{y^2−36}\).
    Facturez le numérateur et le dénominateur. \(\frac{(y+7)(y−6)}{(y+6)(y−6)}\)
    Supprimez le facteur commun y−6 du numérateur et du dénominateur. \(\frac{y+7}{y+6}\)
    Essayez-le\(\PageIndex{26}\)

    Simplifiez :\(\frac{x^2+x−6}{x^2−4}\).

    Answer

    \(\frac{x+3}{x+2}\)

    Try It \(\PageIndex{27}\)

    Simplifiez :\(\frac{x^2+8x+7}{x^2−49}\).

    Réponse

    \(\frac{x+1}{x−7}\)

    Exemple\(\PageIndex{28}\)

    Simplifiez :\(\frac{p^3−2p^2+2p−4}{p^2−7p+10}\).

    Solution

      \(\frac{p^3−2p^2+2p−4}{p^2−7p+10}\)
    Factoriez le numérateur et le dénominateur, en utilisant le regroupement pour factoriser le numérateur. \(\frac{p^2(p−2)+2(p−2)}{(p−5)(p−2)}\)
      \(\frac{(p^2+2)(p−2)}{(p−5)(p−2)}\)
    Supprimez le facteur commun p−2 du numérateur et du dénominateur. \(\frac{p^2+2}{p−5}\)
    Essayez-le\(\PageIndex{29}\)

    Simplifiez :\(\frac{y^3−3y^2+y−3}{y^2−y−6}\).

    Answer

    \(\frac{y^2+1}{y+2}\)

    Try It \(\PageIndex{30}\)

    Simplifiez :\(\frac{p^3−p^2+2p−2}{p^2+4p−5}\).

    Réponse

    \(\frac{p^2+2}{p+5}\)

    Exemple\(\PageIndex{31}\)

    Simplifiez :\(\frac{2n^2−14n}{4n^2−16n−48}\).

    Solution

      \(\frac{2n^2−14n}{4n^2−16n−48}\)
    Factorisez le numérateur et le dénominateur, en déduisant d'abord le GCF. \(\frac{2n(n−7)}{4(n^2−4n−12)}\)
      \(\frac{2n(n−7)}{4(n−6)(n+2)}\)
    Supprimer le facteur commun, 2. \(\frac{n(n−7)}{2(n−6)(n+2)}\)
    Essayez-le\(\PageIndex{32}\)

    Simplifiez :\(\frac{2n^2−10n}{4n^2−16n−20}\).

    Answer

    \(\frac{n}{2(n+1)}\)

    Try It \(\PageIndex{33}\)

    Simplifiez :\(\frac{4x^2−16x}{8x^2−16x−64}\).

    Réponse

    \(\frac{x}{2(x+2)}\)

    Exemple\(\PageIndex{34}\)

    Simplifiez :\(\frac{3b^2−12b+12}{6b^2−24}\).

    Solution

      \(\frac{3b^2−12b+12}{6b^2−24}\)
    Factorisez le numérateur et le dénominateur, en déduisant d'abord le GCF. \(\frac{3(b^2−4b+4)}{6(b^2−4)}\)
      \(\frac{3(b−2)(b−2)}{6(b−2)(b+2)}\)
    Supprimez les facteurs communs de b−2 et 3. \(\frac{3(b−2)}{2(b+2)}\)
    Essayez-le\(\PageIndex{35}\)

    Simplifiez :\(\frac{2x^2−12x+18}{3x^2−27}\).

    Answer

    \(\frac{2(x−3)}{3(x+3)}\)

    Try It \(PageIndex{36}\)

    Simplifiez :\(\frac{5y^2−30y+25}{2y^2−50}\).

    Réponse

    \(\frac{5(x−1)}{2(x+5)}\)

    Exemple\(\PageIndex{37}\)

    Simplifiez :\(\frac{m^3+8}{m^2−4}\).

    Solution

      \(\frac{m^3+8}{m^2−4}\)
    Factoriez le numérateur et le dénominateur en utilisant les formules de somme des cubes et de différence des carrés. \(\frac{(m+2)(m^2−2m+4)}{(m+2)(m−2)}\)
    Supprimez les facteurs communs de m+2. \(\frac{m^2−2m+4}{m−2}\)
    Essayez-le\(\PageIndex{38}\)

    Simplifiez :\(\frac{p^3−64}{p^2−16}\).

    Answer

    \(\frac{p^2+4p+16}{p+4}\)

    Try It \(\PageIndex{39}\)

    Simplifiez :\(\frac{x^3+8}{x^2−4}\).

    Réponse

    \(\frac{x^2−2x+4}{x−2}\)

    Simplifiez les expressions rationnelles à l'aide

    Nous allons maintenant voir comment simplifier une expression rationnelle dont le numérateur et le dénominateur ont des facteurs opposés. Commençons par une fraction numérique, par exemple\(\frac{7}{−7}\).

    Nous savons que cette fraction se simplifie à −1. Nous reconnaissons également que le numérateur et le dénominateur sont opposés.

    Dans Foundations, nous avons introduit la notation opposée : l'opposé de a est −a. Nous nous souvenons également que −a=−1·a

    Nous simplifions la fraction\(\frac{a}{−a}\)

    \[\begin{array}{ll} {}&{\frac{a}{−a}}\\ {\text{We could rewrite this.}}&{\frac{1·a}{−1·a}}\\ {\text{Remove the common factors.}}&{\frac{1}{−1}}\\ {\text{Simplify.}}&{−1}\\ \nonumber \end{array}\]

    Ainsi, de la même manière, nous pouvons simplifier la fraction\(\frac{x−3}{−(x−3)}\)

    \[\begin{array}{ll} {}&{\frac{x−3}{−(x−3)}}\\ {\text{We could rewrite this.}}&{\frac{1·(x−3)}{−1·(x−3)}}\\ {\text{Remove the common factors.}}&{\frac{1}{−1}}\\ {\text{Simplify.}}&{−1}\\ \nonumber \end{array}\]

    Mais le contraire de x−3 pourrait s'écrire différemment :

    \[\begin{array}{ll} {}&{−(x−3)}\\ {\text{Distribute.}}&{−x+3}\\ {\text{Rewrite.}}&{3−x}\\ \nonumber \end{array}\]

    Cela signifie que la fraction se\(\frac{x−3}{3−x}\) simplifie à -1.

    En général, on pourrait écrire le contraire de a−b sous la forme b−a. L'expression rationnelle est donc\(\frac{a−b}{b−a}\) simplifiée à −1.

    Définition : OPPOSÉS DANS UNE EXPRESSION RATIONNELLE

    L'opposé de a−b est b−a

    \(\frac{a−b}{b−a}=−1\),\(a \ne b\)

    Une expression et son opposé se divisent en −1

    Nous utiliserons cette propriété pour simplifier les expressions rationnelles qui contiennent des contraires dans leurs numérateurs et dénominateurs.

    Exemple\(\PageIndex{40}\)

    Simplifiez :\(\frac{x−8}{8−x}\).

    Solution

      \(\frac{x−8}{8−x}\).
    Reconnaître que x−8 et 8−x sont opposés −1
    Essayez-le\(\PageIndex{41}\)

    Simplifiez :\(\frac{y−2}{2−y}\).

    Answer

    −1

    Try It \(\PageIndex{42}\)

    Simplifiez :\(\frac{n−9}{9−n}\).

    Réponse

    −1

    N'oubliez pas que la première étape pour simplifier une expression rationnelle consiste à factoriser complètement le numérateur et le dénominateur.

    Exemple\(\PageIndex{43}\)

    Simplifiez :\(\frac{14−2x}{x^2−49}\).

    Solution

      .
    Facturez le numérateur et le dénominateur. .
    Reconnaissez que 7−x et x−7 sont opposés. .
    Simplifiez. .
    Essayez-le\(\PageIndex{44}\)

    Simplifiez :\(\frac{10−2y}{y^2−25}\).

    Answer

    \(−\frac{2}{y+5}\)

    Try It \(\PageIndex{45}\)

    Simplifiez :\(\frac{3y−27}{81−y^2}\).

    Réponse

    \(−\frac{3}{9+y}\)

    Exemple\(\PageIndex{46}\)

    Simplifiez :\(\frac{x^2−4x−32}{64−x^2}\).

    Solution

      .
    Facturez le numérateur et le dénominateur. .
    Reconnaissez les facteurs opposés. .
    Simplifiez. .
    Essayez-le\(\PageIndex{47}\)

    Simplifiez :\(\frac{x^2−4x−5}{25−x^2}\).

    Answer

    \(−\frac{x+1}{x+5}\)

    Try It \(\PageIndex{48}\)

    Simplifiez :\(\frac{x^2+x−2}{1−x^2}\).

    Réponse

    \(−\frac{x+2}{x+1}\)

    Concepts clés

    • Déterminer les valeurs pour lesquelles une expression rationnelle n'est pas définie
      1. Réglez le dénominateur à zéro.
      2. Résolvez l'équation, si possible.
    • Expression rationnelle simplifiée
      • Une expression rationnelle est considérée comme simplifiée si son numérateur et son dénominateur ne présentent aucun facteur commun.
    • Simplifier une expression rationnelle
      1. Facturez complètement le numérateur et le dénominateur.
      2. Simplifiez en divisant les facteurs communs.
    • Les contraires dans une expression rationnelle
      • L'opposé de a−b est b−a
        \(\frac{a−b}{b−a}=−1\)\(a \ne b\)\(b \ne 0\),\(a \ne b\)

    La pratique rend parfait

    Dans les exercices suivants, déterminez les valeurs pour lesquelles l'expression rationnelle n'est pas définie.

    Exemple\(\PageIndex{49}\)
    1. \(\frac{2x}{z}\)
    2. \(\frac{4p−1}{6p−5}\)
    3. \(\frac{n−3}{n^2+2n−8}\)
    Réponse
    1. z=0
    2. \(p=\frac{5}{6}\)
    3. n = 4, n = 2
    Exemple\(\PageIndex{50}\)
    1. \(\frac{10m}{11n}\)
    2. \(\frac{6y+13}{4y−9}\)
    3. \(\frac{b−8}{b^2−36}\)
    Exemple\(\PageIndex{51}\)
    1. \(\frac{4x^{2}y}{3y}\)
    2. \(\frac{3x−2}{2x+1}\)
    3. \(\frac{u−1}{u^2−3u−28}\)
    Réponse
    1. y=0
    2. \(x=−\frac{1}{2}\)
    3. u=−4, u=7
    Exemple\(\PageIndex{52}\)
    1. \(\frac{5pq^{2}}{9q}\)
    2. \(\frac{7a−4}{3a+5}\)
    3. \(\frac{1}{x^2−4}\)
    Évaluation des expressions rationnelles

    Dans les exercices suivants, évaluez l'expression rationnelle pour les valeurs données.

    Exemple\(\PageIndex{53}\)

    \(\frac{2x}{x−1}\)

    1. x=0
    2. x=2
    3. x=−1
    Réponse
    1. 0
    2. 4
    3. 1
    Exemple\(\PageIndex{54}\)

    \(\frac{4y−1}{5y−3}\)

    1. y=0
    2. y=2
    3. y=−1
    Exemple\(\PageIndex{55}\)

    \(\frac{2p+3}{p^2+1}\)

    1. p=0
    2. p=1
    3. p=−2
    Réponse
    1. 3
    2. \(\frac{5}{2}\)
    3. \(−\frac{1}{5}\)
    Exemple\(\PageIndex{56}\)

    \(\frac{x+3}{2−3x}\)

    1. x=0
    2. x=1
    3. x=−2
    Exemple\(\PageIndex{57}\)

    \(\frac{y^2+5y+6}{y^2−1}\)

    1. y=0
    2. y=2
    3. y=−2
    Réponse
    1. −6
    2. \(\frac{20}{3}\)
    3. 0
    Exemple\(\PageIndex{58}\)

    \(\frac{z^2+3z−10}{z^2−1}\)

    1. z=0
    2. z=2
    3. z=−2
    Exemple\(\PageIndex{59}\)

    \(\frac{a^2−4}{a^2+5a+4}\)

    1. a=0
    2. a=1
    3. a=−2
    Réponse
    1. −1
    2. \(−\frac{3}{10}\)
    3. 0
    Exemple\(\PageIndex{60}\)

    \(\frac{b^2+2}{b^2−3b−4}\)

    1. b=0
    2. b=2
    3. b=−2
    Exemple\(\PageIndex{61}\)

    \(\frac{x^2+3xy+2y^2}{2x^{3}y}\)

    1. x=1, y=−1
    2. x=2, y=1
    3. x=−1, y=−2
    Réponse
    1. 0
    2. \(\frac{3}{4}\)
    3. \(\frac{15}{4}\)
    Exemple\(\PageIndex{62}\)

    \(\frac{c^2+cd−2d^2}{cd^{3}}\)

    1. c=2, d=−1
    2. c=1, d=−1
    3. c=−1, d=2
    Exemple\(\PageIndex{63}\)

    \(\frac{m^2−4n^2}{5mn^3}\)

    1. m=2, n=1
    2. m=−1, n=−1
    3. m=3, n = 2
    Réponse
    1. 0
    2. \(−\frac{3}{5}\)
    3. \(−\frac{7}{20}\)
    Exemple\(\PageIndex{64}\)

    \(\frac{2s^{2}t}{s^2−9t^2}\)

    1. s=4, t=1
    2. s=−1, t=−1
    3. s=0, t=2
    Simplifier les expressions

    Dans les exercices suivants, simplifiez.

    Exemple\(\PageIndex{65}\)

    \(−\frac{4}{52}\)

    Réponse

    \(−\frac{1}{13}\)

    Exemple\(\PageIndex{66}\)

    \(−\frac{44}{55}\)

    Exemple\(\PageIndex{67}\)

    \(\frac{56}{63}\)

    Réponse

    \(\frac{8}{9}\)

    Exemple\(\PageIndex{68}\)

    \(\frac{65}{104}\)

    Exemple\(\PageIndex{69}\)

    \(\frac{6ab^{2}}{12a^{2}b}\)

    Réponse

    \(\frac{b}{2ab}\)

    Exemple\(\PageIndex{70}\)

    \(\frac{15xy^{3}}{x^{3}y^{3}}\)

    Exemple\(\PageIndex{71}\)

    \(\frac{8m^{3}n}{12mn^2}\)

    Réponse

    \(\frac{2m^2}{3n}\)

    Exemple\(\PageIndex{72}\)

    \(\frac{36v^{3}w^2}{27vw^3}\)

    Exemple\(\PageIndex{73}\)

    \(\frac{3a+6}{4a+8}\)

    Réponse

    \(\frac{3}{4}\)

    Exemple\(\PageIndex{74}\)

    \(\frac{5b+5}{6b+6}\)

    Exemple\(\PageIndex{75}\)

    \(\frac{3c−9}{5c−15}\)

    Réponse

    \(\frac{3}{5}\)

    Exemple\(\PageIndex{76}\)

    \(\frac{4d+8}{9d+18}\)

    Exemple\(\PageIndex{77}\)

    \(\frac{7m+63}{5m+45}\)

    Réponse

    \(\frac{7}{5}\)

    Exemple\(\PageIndex{78}\)

    \(\frac{8n−96}{3n−36}\)

    Exercice\(\PageIndex{79}\)

    \(\frac{12p−240}{5p−100}\)

    Réponse

    \(\frac{12}{5}\)

    Exemple\(\PageIndex{80}\)

    \(\frac{6q+210}{5q+175}\)

    Exemple\(\PageIndex{81}\)

    \(\frac{a^2−a−12}{a^2−8a+16}\)

    Réponse

    \(\frac{a+3}{a−4}\)

    Exemple\(\PageIndex{82}\)

    \(\frac{x^2+4x−5}{x^2−2x+1}\)

    Exemple\(\PageIndex{83}\)

    \(\frac{y^2+3y−4}{y^2−6y+5}\)

    Réponse

    \(\frac{y+4}{y−5}\)

    Exemple\(\PageIndex{84}\)

    \(\frac{v^2+8v+15}{v^2−v−12}\)

    Exemple\(\PageIndex{85}\)

    \(\frac{x^2−25}{x^2+2x−15}\)

    Réponse

    \(\frac{x−5}{x−3}\)

    Exemple\(\PageIndex{86}\)

    \(\frac{a^2−4}{a^2+6a−16}\)

    Exemple\(\PageIndex{87}\)

    \(\frac{y^2−2y−3}{y^2−9}\)

    Réponse

    \(\frac{y+1}{y+3}\)

    Exemple\(\PageIndex{88}\)

    \(\frac{b^2+9b+18}{b^2−36}\)

    Exemple\(\PageIndex{89}\)

    \(\frac{y^3+y^2+y+1}{y^2+2y+1}\)

    Réponse

    \(\frac{y^2+1}{y+1}\)

    Exemple\(\PageIndex{90}\)

    \(\frac{p^3+3p^2+4p+12}{p^2+p−6}\)

    Exemple\(\PageIndex{91}\)

    \(\frac{x^3−2x^2−25x+50}{x^2−25}\)

    Réponse

    x−2

    Exemple\(\PageIndex{92}\)

    \(\frac{q^3+3q^2−4q−12}{q^2−4}\)

    Exemple\(\PageIndex{93}\)

    \(\frac{3a^2+15a}{6a^2+6a−36}\)

    Réponse

    \(\frac{a(a+5)}{2(a+3)(a−2)}\)

    Exemple\(\PageIndex{94}\)

    \(\frac{8b^2−32b}{2b^2−6b−80}\)

    Exemple\(\PageIndex{95}\)

    \(\frac{−5c^2−10c}{−10c^2+30c+100}\)

    Réponse

    \(\frac{c}{2(c−5)}\)

    Exemple\(\PageIndex{96}\)

    \(\frac{4d^2−24d}{2d^2−4d−48}\)

    Exemple\(\PageIndex{97}\)

    \(\frac{3m^2+30m+75}{4m^2−100}\)

    Réponse

    \(\frac{3(m+5)}{4(m−5)}\)

    Exemple\(\PageIndex{98}\)

    \(\frac{5n^2+30n+45}{2n^2−18}\)

    Exemple\(\PageIndex{99}\)

    \(\frac{5r^2+30r−35}{r^2−49}\)

    Réponse

    \(\frac{5(r−1)}{r+7}\)

    Exemple\(\PageIndex{100}\)

    \(\frac{3s^2+30s+24}{3s^2−48}\)

    Exemple\(\PageIndex{101}\)

    \(\frac{t^3−27}{t^2−9}\)

    Réponse

    \(\frac{t^2+3t+9}{t+3}\)

    Exemple\(\PageIndex{102}\)

    \(\frac{v^3−1}{v^2−1}\)

    Exemple\(\PageIndex{103}\)

    \(\frac{w^3+216}{w^2−36}\)

    Réponse

    \(\frac{w^2−6w+36}{w−6}\)

    Exemple\(\PageIndex{104}\)

    \(\frac{v^3+125}{v^2−25}\)

    Simplifiez les expressions rationnelles à l'aide

    Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression rationnelle.

    Exemple\(\PageIndex{105}\)

    \(\frac{a−5}{5−a}\)

    Réponse

    −1

    Exemple\(\PageIndex{106}\)

    \(\frac{b−12}{12−b}\)

    Exemple\(\PageIndex{107}\)

    \(\frac{11−c}{c−11}\)

    Réponse

    −1

    Exemple\(\PageIndex{108}\)

    \(\frac{5−d}{d−5}\)

    Exemple\(\PageIndex{109}\)

    \(\frac{12−2x}{x^2−36}\)

    Réponse

    \(−\frac{2}{x+6}\)

    Exemple\(\PageIndex{110}\)

    \(\frac{20−5y}{y^2−16}\)

    Exemple\(\PageIndex{111}\)

    \(\frac{4v−32}{64−v^2}\)

    Réponse

    \(−\frac{4}{8+v}\)

    Exemple\(\PageIndex{112}\)

    \(\frac{7w−21}{9−w^2}\)

    Exemple\(\PageIndex{113}\)

    \(\frac{y^2−11y+24}{9−y^2}\)

    Réponse

    \(−\frac{y−8}{3+y}\)

    Exemple\(\PageIndex{114}\)

    \(\frac{z^2−9z+20}{16−z^2}\)

    Exemple\(\PageIndex{115}\)

    \(\frac{a^2−5a−36}{81−a^2}\)

    Réponse

    \(−\frac{a+4}{9+a}\)

    Exemple\(\PageIndex{116}\)

    \(\frac{b^2+b−42}{36−b^2}\)

    Mathématiques quotidiennes

    Exemple\(\PageIndex{117}\)

    Taux d'imposition Pour l'année d'imposition 2015, le montant d'impôt dû par une personne seule gagnant entre 37 450$ et 90 750$ peut être déterminé en évaluant la formule 0,25 x − 4206,25, où x est le revenu. Le taux d'imposition moyen de ce revenu peut être déterminé en évaluant la formule\(\frac{0.25x−4206.25}{x}\). Quel serait le taux d'imposition moyen pour une personne seule gagnant 50 000$ ?

    Réponse

    16,5 %

    Exemple\(\PageIndex{118}\)

    Travail Le temps qu'il faut à deux personnes pour effectuer la même tâche si elles travaillent ensemble peut être déterminé en évaluant la formule\(\frac{xy}{x+y}\). Si Tom peut peindre la tanière en x=45 minutes et que son frère Bobby peut la peindre en y=60 minutes, combien de minutes leur faudra-t-il s'ils travaillent ensemble ?

    Exercices d'écriture

    Exemple\(\PageIndex{119}\)

    Expliquez comment trouver les valeurs de x pour lesquelles l'expression rationnelle n'\(\frac{x^2−x−20}{x^2−4}\)est pas définie.

    Exemple\(\PageIndex{120}\)

    Expliquez toutes les étapes à suivre pour simplifier l'expression rationnelle\(\frac{p^2+4p−21}{9−p^2}\).

    Auto-vérification

    ⓐ Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

    Cette figure montre un tableau composé de quatre colonnes et de cinq lignes. La première ligne est une ligne d'en-tête et chaque colonne est étiquetée. Le premier en-tête de colonne est intitulé « Je peux... », le second est intitulé « En toute confiance », le troisième est intitulé « Avec de l'aide » et le quatrième est intitulé « Non, je ne comprends pas ! » Dans la première colonne, sous « Je peux », les cellules indiquent « déterminer les valeurs pour lesquelles une expression rationnelle n'est pas définie », « évaluer les expressions rationnelles », « simplifier les expressions rationnelles » et « simplifier les expressions rationnelles avec des facteurs opposés ». Les autres cellules sont vides.

    ⓑ Si la plupart de vos chèques étaient :

    ... en toute confiance. Félicitations ! Vous avez atteint vos objectifs dans cette section ! Réfléchissez aux compétences d'étude que vous avez utilisées afin de pouvoir continuer à les utiliser. Qu'avez-vous fait pour avoir confiance en votre capacité à faire ces choses ? Soyez précis !

    ... avec de l'aide. Cela doit être abordé rapidement, car les sujets que vous ne maîtrisez pas deviennent des nids-de-poule sur votre chemin vers le succès. Les mathématiques sont séquentielles : chaque sujet s'appuie sur des travaux antérieurs. Il est important de vous assurer d'avoir une base solide avant de passer à autre chose. À qui pouvez-vous demander de l'aide ? Vos camarades de classe et votre instructeur sont de bonnes ressources. Y a-t-il un endroit sur le campus où des professeurs de mathématiques sont disponibles ? Vos compétences d'étude peuvent-elles être améliorées ?

    ... non, je ne comprends pas ! C'est essentiel et vous ne devez pas l'ignorer. Vous devez obtenir de l'aide immédiatement ou vous serez rapidement dépassé. Consultez votre instructeur dès que possible pour discuter de votre situation. Ensemble, vous pouvez élaborer un plan pour obtenir l'aide dont vous avez besoin.

    Lexique

    expression rationnelle
    Une expression rationnelle est une expression de la forme\(\frac{p}{q}\), où p et q sont des polynômes et\(q \ne 0\).