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6.2 : Le modèle de Bohr

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    193925
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    Objectifs d'apprentissage
    • Décrire le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène
    • Utilisez l'équation de Rydberg pour calculer les énergies de la lumière émise ou absorbée par les atomes d'hydrogène

    À la suite des travaux d'Ernest Rutherford et de ses collègues au début du XXe siècle, l'image d'atomes composés de minuscules noyaux denses entourés d'électrons plus légers et encore plus petits se déplaçant continuellement autour du noyau était bien établie. Cette image s'appelait le modèle planétaire, car elle dépeignait l'atome comme un « système solaire » miniature dans lequel les électrons orbitaient autour du noyau, comme des planètes orbitant autour du soleil. L'atome le plus simple est l'hydrogène, composé d'un seul proton comme noyau autour duquel se déplace un seul électron. La force électrostatique attirant l'électron vers le proton dépend uniquement de la distance entre les deux particules.

    \[ F_{gravity} = G \dfrac{ m_1 m_2}{r^2} \nonumber \]

    avec

    • \(G\)est une constante gravitationnelle
    • \(m_1\)et\(m_2\) sont les masses des particules 1 et 2, respectivement
    • \(r\)est la distance entre les deux particules

    La force électrostatique a la même forme que la force gravitationnelle entre deux particules de masse, sauf que la force électrostatique dépend des magnitudes des charges sur les particules (+1 pour le proton et -1 pour l'électron) au lieu des magnitudes des masses de particules qui régissent la gravitationnelle force.

    \[ F_{electrostatic} = k \dfrac{ m_1 m_2}{r^2} \nonumber \]

    avec

    • \(k\)est une constante
    • \(m_1\)et\(m_2\) sont les masses des particules 1 et 2, respectivement
    • \(r\)est la distance entre les deux particules

    Comme les forces peuvent être dérivées des potentiels, il est préférable de travailler avec les potentiels, car ce sont des formes d'énergie. Le potentiel électrostatique est également appelé potentiel de Coulomb. Comme le potentiel électrostatique a la même forme que le potentiel gravitationnel, selon la mécanique classique, les équations du mouvement devraient être similaires, l'électron se déplaçant autour du noyau sur des orbites circulaires ou elliptiques (d'où l'étiquette de modèle « planétaire » de l'atome). Les potentiels de la forme V (r) qui dépendent uniquement de la distance radiale\(r\) sont appelés potentiels centraux. Les potentiels centraux ont une symétrie sphérique. Ainsi, plutôt que de spécifier la position de l'électron dans les coordonnées cartésiennes habituelles (x, y, z), il est plus pratique d'utiliser des coordonnées sphériques polaires centrées sur le noyau, consistant en une coordonnée linéaire r et deux coordonnées angulaires, généralement spécifiées par les lettres grecques theta (θ) et phi (Φ). Ces coordonnées sont similaires à celles utilisées dans les appareils GPS et la plupart des téléphones intelligents qui suivent les positions sur notre Terre (presque) sphérique, les deux coordonnées angulaires étant spécifiées par la latitude et la longitude, et la coordonnée linéaire spécifiée par l'altitude du niveau de la mer. En raison de la symétrie sphérique des potentiels centraux, l'énergie et le moment cinétique de l'atome d'hydrogène classique sont constants, et les orbites sont contraintes de se situer dans un plan comme les planètes orbitant autour du soleil. Cette description mécanique classique de l'atome est toutefois incomplète, car un électron se déplaçant sur une orbite elliptique accélérerait (en changeant de direction) et, selon l'électromagnétisme classique, il devrait émettre un rayonnement électromagnétique en continu. Cette perte d'énergie orbitale devrait entraîner une réduction continue de l'orbite de l'électron jusqu'à ce qu'il entre en spirale dans le noyau, ce qui implique que les atomes sont intrinsèquement instables.

    En 1913, Niels Bohr a tenté de résoudre le paradoxe atomique en ignorant la prédiction de l'électromagnétisme classique selon laquelle l'électron en orbite dans l'hydrogène émettrait continuellement de la lumière. Il a plutôt intégré à la description mécanique classique de l'atome les idées de Planck sur la quantification et la découverte d'Einstein selon laquelle la lumière est constituée de photons dont l'énergie est proportionnelle à leur fréquence. Bohr a supposé que l'électron en orbite autour du noyau n'émettrait normalement aucun rayonnement (hypothèse de l'état stationnaire), mais qu'il émettrait ou absorberait un photon s'il se déplaçait sur une autre orbite. L'énergie absorbée ou émise refléterait les différences d'énergies orbitales selon cette équation :

    \[ |ΔE|=|E_f−E_i|=h u=\dfrac{hc}{\lambda} \label{6.3.1} \]

    Dans cette équation, h est la constante de Planck et E i et E f sont les énergies orbitales initiale et finale, respectivement. La valeur absolue de la différence d'énergie est utilisée, car les fréquences et les longueurs d'onde sont toujours positives. Au lieu de prendre en compte des valeurs continues pour le moment cinétique, l'énergie et le rayon de l'orbite, Bohr a supposé que seules des valeurs discrètes pouvaient être obtenues (en fait, la quantification de l'une de ces valeurs impliquerait que les deux autres soient également quantifiées). L'expression de Bohr pour les énergies quantifiées est la suivante :

    \[E_n=−\dfrac{k}{n^2} \label{6.3.2} \]

    avec\(n=1,2,3, ...\)

    Dans cette expression,\(k\) est une constante comprenant des constantes fondamentales telles que la masse et la charge des électrons et la constante de Planck. Insérer l'expression des énergies orbitales dans l'équation pour\(ΔE\) donne

    \[ \color{red} ΔE=k \left(\dfrac{1}{n^2_1}−\dfrac{1}{n_2^2}\right)=\dfrac{hc}{\lambda} \label{6.3.3} \]

    ou

    \[ \dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{k}{hc} \left(\dfrac{1}{n^2_1}−\dfrac{1}{n_2^2}\right) \label{6.3.4} \]

    Les quelques niveaux d'énergie les plus bas sont illustrés sur la figure\(\PageIndex{1}\). L'une des lois fondamentales de la physique est que la matière est la plus stable avec la plus faible énergie possible. Ainsi, l'électron d'un atome d'hydrogène se déplace généralement\(n = 1\) sur l'orbite, celle sur laquelle il possède la plus faible énergie. Lorsque l'électron se trouve sur cette orbite à plus faible énergie, on dit que l'atome est dans son état électronique fondamental (ou simplement dans son état fondamental). Si l'atome reçoit de l'énergie d'une source extérieure, il est possible que l'électron se déplace vers une orbite de\(n\) valeur plus élevée et l'atome se trouve maintenant dans un état électronique excité (ou simplement un état excité) avec une énergie plus élevée. Lorsqu'un électron passe d'un état excité (orbite à haute énergie) à un état moins excité, ou état fondamental, la différence d'énergie est émise sous forme de photon. De même, si un photon est absorbé par un atome, l'énergie du photon déplace un électron d'une orbite à faible énergie vers une orbite plus excitée.

    alt
    Figure\(\PageIndex{1}\) : Nombres quantiques et niveaux d'énergie dans un atome d'hydrogène. Plus la valeur calculée est négative, plus l'énergie est faible.

    Nous pouvons relier l'énergie des électrons dans les atomes à ce que nous avons appris précédemment sur l'énergie. La loi de conservation de l'énergie stipule que nous ne pouvons ni créer ni détruire de l'énergie. Ainsi, si une certaine quantité d'énergie externe est nécessaire pour exciter un électron d'un niveau d'énergie à un autre, cette même quantité d'énergie sera libérée lorsque l'électron reviendra à son état initial (Figure\(\PageIndex{2}\)). En effet, un atome peut « stocker » de l'énergie en l'utilisant pour faire passer un électron à un état d'énergie plus élevée et la libérer lorsque l'électron revient à un état inférieur. L'énergie peut être libérée sous forme d'un quantum d'énergie, lorsque l'électron revient à son état fondamental (disons, de\(n = 5\) à\(n = 1\)), ou elle peut être libérée sous forme de deux quanta plus petits ou plus lorsque l'électron tombe à un état intermédiaire, puis à l'état fondamental (disons, de\(n = 5\) à\(n = 4\), en émettant un quantique, puis à\(n = 1\), émettant un second quantum).

    Figure\(\PageIndex{2}\) : Les lignes horizontales montrent l'énergie relative des orbites dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, et les flèches verticales représentent l'énergie des photons absorbés (à gauche) ou émis (à droite) lorsque les électrons se déplacent entre ces orbites.
    La figure comprend un diagramme représentant les niveaux d'énergie relatifs des nombres quantiques de l'atome d'hydrogène. Une flèche pointant vers le haut à gauche du diagramme est intitulée « E ». Un rectangle gris ombré orienté verticalement est placé juste à droite de la flèche. La hauteur du rectangle correspond à la longueur de la flèche. Des segments de ligne horizontaux colorés sont placés à l'intérieur du rectangle et des étiquettes sont placées à droite de la boîte, disposées dans une colonne avec le titre « Énergie, n. » À la base même du rectangle, un segment de ligne horizontale violette est dessiné. Une ligne noire s'étend vers la droite jusqu'à l'étiquette « 1 ». À un niveau situé à environ trois quarts de la distance jusqu'au sommet du rectangle, un segment de ligne horizontale bleue est dessiné. Une ligne noire s'étend vers la droite jusqu'à l'étiquette « 2 ». À environ sept huitièmes de la distance de la base du rectangle, un segment de ligne horizontale verte est dessiné. Une ligne noire s'étend vers la droite jusqu'à l'étiquette « 3 ». Juste à une courte distance au-dessus de ce segment, un segment de ligne horizontale orange est dessiné. Un segment de ligne noire s'étend vers la droite jusqu'à l'étiquette « 4 ». Juste au-dessus de ce segment, un segment de ligne horizontale rouge est dessiné. Une ligne noire s'étend vers la droite jusqu'à l'étiquette « 5 ». Juste à une courte distance au-dessus de ce segment, un segment de ligne horizontale brune est dessiné. Une ligne noire s'étend vers la droite jusqu'à l'étiquette « infini ». Les flèches sont dessinées pour représenter les énergies des photons absorbés, comme indiqué par des flèches pointant vers le haut sur la gauche, ou relâchées comme indiqué par des flèches pointant vers le bas sur le côté droit du diagramme entre les segments de ligne colorés. L'étiquette, « L'électron passe à une énergie plus élevée lorsque la lumière est absorbée », est placée sous les flèches pointant vers le haut. De même, l'étiquette « L'électron se déplace vers une énergie plus faible lorsque de la lumière est émise » apparaît sous les flèches pointant vers le bas. En se déplaçant de gauche à droite sur le diagramme, les flèches s'étendent d'un segment de ligne coloré à l'autre dans l'ordre suivant : violet au bleu, violet au vert, violet à orange, violet au rouge, violet au brun, bleu au vert, bleu à orange et bleu à rouge. Les flèches provenant du même segment coloré sont regroupées par placement rapproché des flèches. De même, les flèches vers le bas suivent cet ordre : du brun au violet, du rouge au violet, de l'orange au violet, du vert au violet, du bleu au violet, du rouge au bleu, de l'orange au bleu et du vert au bleu. Les flèches sont à nouveau regroupées par placement rapproché en fonction de la couleur à laquelle elles se terminent.

    Comme le modèle de Bohr n'impliquait qu'un seul électron, il pourrait également être appliqué aux ions à un seul électron He +, Li 2 +, Be 3 +, etc., qui ne diffèrent de l'hydrogène que par leurs charges nucléaires, de sorte que les atomes et les ions à un électron sont collectivement appelés atomes de type hydrogène ou atomes hydrogéniques. L'expression énergétique pour les atomes de type hydrogène est une généralisation de l'énergie des atomes d'hydrogène, dans laquelle\(Z\) est la charge nucléaire (+1 pour l'hydrogène, +2 pour He, +3 pour Li, etc.) et\(k\) a une valeur de\(2.179 \times 10^{–18}\; J\).

    \[ \color{red} E_n=−\dfrac{kZ^2}{n^2} \label{6.3.5} \]

    Les tailles des orbites circulaires des atomes de type hydrogène sont données en termes de rayons par l'expression suivante, dans laquelle\(a_o\) est une constante appelée rayon de Bohr, avec une valeur de\(5.292 \times 10^{−11}\; m\) :

    \[ \color{red} r=\dfrac{n^2}{Z} a_0 \label{6.3.6} \]

    L'équation nous montre également que lorsque l'énergie de l'électron augmente (à mesure qu'elle\(n\) augmente), l'électron se trouve à de plus grandes distances du noyau. Cela est sous-entendu par la dépendance\(r\) inverse du potentiel de Coulomb, car, à mesure que l'électron s'éloigne du noyau, l'attraction électrostatique entre celui-ci et le noyau diminue et il est maintenu moins étroitement dans l'atome. Notez qu'au\(n\) fur et à mesure que les orbites s'agrandissent, leurs énergies se rapprochent de zéro, et donc les limites\(n⟶∞\)\(r⟶∞\) impliquent que cela\(E = 0\) correspond à la limite d'ionisation où l'électron est complètement retiré du noyau. Ainsi, pour l'hydrogène à l'état fondamental\(n = 1\), l'énergie d'ionisation serait :

    \[ ΔE=E_{n⟶∞} −E_1=0+k=k \label{6.3.7} \]

    Trois paradoxes extrêmement déroutants étant désormais résolus (le rayonnement du corps noir, l'effet photoélectrique et l'atome d'hydrogène) et impliquant tous de manière fondamentale la constante de Planck, il est devenu clair pour la plupart des physiciens de l'époque que les théories classiques qui fonctionnaient si bien dans le monde macroscopique étaient fondamentalement imparfaite et ne pouvait pas être étendue au domaine microscopique des atomes et des molécules. Malheureusement, malgré la remarquable réussite de Bohr dans l'élaboration d'une expression théorique pour la constante de Rydberg, il n'a pas été en mesure d'étendre sa théorie à l'atome le plus simple suivant, He, qui ne possède que deux électrons. Le modèle de Bohr présentait de graves lacunes, car il reposait toujours sur la notion classique de mécanique précise des orbites, un concept qui s'est révélé plus tard intenable dans le domaine microscopique, lorsqu'un modèle approprié de mécanique quantique a été développé pour remplacer la mécanique classique.

    Exemple\(\PageIndex{1}\): Calculating the Energy of an Electron in a Bohr Orbit

    Les premiers chercheurs étaient très enthousiastes lorsqu'ils ont pu prédire l'énergie d'un électron à une certaine distance du noyau d'un atome d'hydrogène. Si une étincelle fait passer l'électron d'un atome d'hydrogène sur une orbite avec\(n = 3\), quelle est l'énergie calculée, en joules, de l'électron ?

    Solution

    L'énergie de l'électron est donnée par l'équation\(\ref{6.3.5}\) :

    \[ E=\dfrac{−kZ^2}{n^2} \nonumber \]

    Le numéro atomique de\(Z\) l'hydrogène est 1\(k = 2.179 \times 10^{–18}\; J\) ; et l'électron est caractérisé par une valeur n de\(3\). Ainsi,

    \[E=\dfrac{−(2.179 \times 10^{−18}\;J)×(1)^2}{(3)^2}=−2.421 \times 10^{−19}\;J \nonumber \]

    Exercice\(\PageIndex{1}\)

    L'électron dans l'exemple\(\PageIndex{1}\) dans l'\(n=3\)état est promu encore plus loin sur une orbite avec\(n = 6\). Quelle est sa nouvelle énergie ?

    Réponse

    À DÉTERMINER

    Exemple\(\PageIndex{2}\): Calculating Electron Transitions in a One–electron System

    Quelles sont l'énergie (en joules) et la longueur d'onde (en mètres) de la raie dans le spectre de l'hydrogène qui représente le mouvement d'un électron de l'orbite de Bohr avec n = 4 à l'orbite avec n = 6 ? Dans quelle partie du spectre électromagnétique trouve-t-on ce rayonnement ?

    Solution

    Dans ce cas, l'électron commence par\(n = 4\), donc\(n_1 = 4\). Il s'arrête sur l'\(n = 6\)orbite, donc\(n_2 = 6\). La différence d'énergie entre les deux états est donnée par cette expression :

    \[ΔE=E_1−E_2=2.179 \times 10^{−18}\left(\dfrac{1}{n^2_1}−\dfrac{1}{n_2^2}\right) \nonumber \]

    \[ΔE=2.179 \times 10^{−18} \left(\dfrac{1}{4^2}−\dfrac{1}{6^2}\right)\; J \nonumber \]

    \[ΔE=2.179 \times 10^{−18} \left(\dfrac{1}{16}−\dfrac{1}{36}\right)\;J \nonumber \]

    \[ΔE=7.566 \times 10^{−20}\;J \nonumber \]

    Cette différence d'énergie est positive, ce qui indique qu'un photon entre dans le système (est absorbé) pour exciter l'électron depuis l'orbite n = 4 jusqu'à l'\(n = 6\)orbite. La longueur d'onde d'un photon avec cette énergie est déterminée par l'expression\(E=hc \lambda\). Le réarrangement donne :

    \[ \lambda=\dfrac{hc}{E} \nonumber \]

    À partir de la figure du rayonnement électromagnétique, nous pouvons voir que cette longueur d'onde se trouve dans la partie infrarouge du spectre électromagnétique.

    Exercice\(\PageIndex{2}\)

    Quelle est l'énergie en joules et la longueur d'onde en mètres du photon produit lorsqu'un électron tombe du\(n = 3\) niveau\(n = 5\) au niveau d'un\(He^+\) ion (\(Z = 2\)pour\(He^+\)) ?

    Réponse

    \(6.198 \times 10^{–19}\; J\)et\(3.205 \times 10^{−7}\; m\)

    Le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène permet de mieux comprendre le comportement de la matière au niveau microscopique, mais il ne tient pas compte des interactions électron—électron dans les atomes comportant plus d'un électron. Il introduit plusieurs caractéristiques importantes de tous les modèles utilisés pour décrire la distribution des électrons dans un atome. Ces fonctionnalités sont notamment les suivantes :

    • Les énergies des électrons (niveaux d'énergie) d'un atome sont quantifiées, décrites par des nombres quantiques : des nombres entiers n'ayant qu'une valeur autorisée spécifique et utilisés pour caractériser la disposition des électrons dans un atome.
    • L'énergie d'un électron augmente à mesure que l'on s'éloigne du noyau.
    • Les énergies discrètes (raies) dans les spectres des éléments résultent d'énergies électroniques quantifiées.

    Parmi ces caractéristiques, la plus importante est le postulat des niveaux d'énergie quantifiés pour un électron dans un atome. En conséquence, le modèle a jeté les bases du modèle de mécanique quantique de l'atome. Bohr a remporté un prix Nobel de physique pour sa contribution à notre compréhension de la structure des atomes et de son lien avec les émissions de spectres linéaires.

     

     

    Résumé

    Bohr a intégré les idées de quantification de Planck et d'Einstein dans un modèle de l'atome d'hydrogène qui a résolu le paradoxe de la stabilité des atomes et des spectres discrets. Le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène explique le lien entre la quantification des photons et l'émission quantifiée des atomes. Bohr a décrit l'atome d'hydrogène comme un électron se déplaçant sur une orbite circulaire autour d'un noyau. Il a postulé que l'électron était limité à certaines orbites caractérisées par des énergies discrètes. Les transitions entre ces orbites autorisées entraînent l'absorption ou l'émission de photons. Lorsqu'un électron passe d'une orbite à haute énergie à une orbite plus stable, de l'énergie est émise sous la forme d'un photon. Pour déplacer un électron d'une orbite stable vers une orbite plus excitée, un photon d'énergie doit être absorbé. À l'aide du modèle de Bohr, nous pouvons calculer l'énergie d'un électron et le rayon de son orbite dans n'importe quel système à un électron.

    Lexique

    Modèle de Bohr pour l'atome d'hydrogène
    modèle structurel dans lequel un électron se déplace autour du noyau uniquement sur des orbites circulaires, chacune ayant un rayon autorisé spécifique ; l'électron en orbite n'émet normalement pas de rayonnement électromagnétique, mais le fait lorsqu'il passe d'une orbite à l'autre.
    état excité
    état ayant une énergie supérieure à l'énergie de l'état fondamental
    état du sol
    état dans lequel les électrons d'un atome, d'un ion ou d'une molécule ont la plus faible énergie possible
    nombre quantique
    nombre entier ne comportant que des valeurs autorisées spécifiques et utilisé pour caractériser la disposition des électrons dans un atome