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1.5 : Incertitude, exactitude et précision des mesures

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    194013
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    Objectifs d'apprentissage
    • Comparez et opposez des nombres exacts et incertains.
    • Représentez correctement l'incertitude en quantité à l'aide de chiffres significatifs
    • Identifiez le nombre de chiffres significatifs en valeur.
    • Résolvez les problèmes qui impliquent divers calculs et rapportez les résultats avec le nombre approprié de chiffres significatifs.
    • Appliquer les règles d'arrondissement appropriées aux quantités calculées
    • Définissez l'exactitude et la précision, et utilisez l'exactitude et la précision pour décrire les ensembles de données.

    Le comptage est le seul type de mesure exempt d'incertitude, à condition que le nombre d'objets comptés ne change pas pendant le processus de comptage. Le résultat d'une telle mesure de comptage est un exemple de nombre exact. Si nous comptons les œufs dans un carton, nous savons exactement combien d'œufs contient le carton. Les nombres de quantités définies sont également exacts. Par définition, 1 pied correspond exactement à 12 pouces, 1 pouce correspond exactement à 2,54 centimètres et 1 gramme correspond exactement à 0,001 kilogramme. Les quantités dérivées de mesures autres que le comptage sont toutefois incertaines à des degrés divers en raison des limites pratiques du processus de mesure utilisé.

    Chiffres de mesure significatifs

    Les nombres de grandeurs mesurées, contrairement aux quantités définies ou directement comptées, ne sont pas exacts. Pour mesurer le volume de liquide dans un cylindre gradué, vous devez effectuer une lecture au bas du ménisque, le point le plus bas de la surface incurvée du liquide.

    Figure\(\PageIndex{1}\) : Pour mesurer le volume de liquide dans ce cylindre gradué, vous devez subdiviser mentalement la distance entre les marques de 21 et 22 ml en dixièmes de millilitre, puis effectuer une lecture (estimation) au bas du ménisque.
    Un cylindre gradué de 25 millilitres rempli de liquide. Les marques sur les cylindres sont zoomées pour montrer le bas du ménisque entre 21 et 22 millilitres.

    Reportez-vous à l'illustration de la figure\(\PageIndex{1}\). Dans ce cas, le bas du ménisque se situe clairement entre les marques 21 et 22, ce qui signifie que le volume de liquide est certainement supérieur à 21 ml mais inférieur à 22 ml. Le ménisque semble être un peu plus proche de la marque des 22 ml que de la marque des 21 ml, de sorte qu'une estimation raisonnable du volume du liquide serait de 21,6 ml. Dans le nombre 21,6, les chiffres 2 et 1 sont donc certains, mais le 6 est une estimation. Certaines personnes peuvent estimer que la position du ménisque est égale à la distance de chacune des marques et estiment que le chiffre de la dixième place est 5, tandis que d'autres peuvent penser qu'il est encore plus proche de la marque de 22 ml et estimer ce chiffre à 7. Notez qu'il serait inutile de tenter d'estimer un chiffre pour la centième place, étant donné que le chiffre de la dixième place est incertain. En général, les échelles numériques telles que celle de ce cylindre gradué permettent de mesurer jusqu'à un dixième de la plus petite division d'échelle. Dans ce cas, l'échelle comporte des divisions de 1 ml, de sorte que les volumes peuvent être mesurés à 0,1 ml près.

    Ce concept s'applique à toutes les mesures, même si vous n'effectuez pas activement d'estimation. Si vous placez un quart sur une balance électronique standard, vous pouvez obtenir une lecture de 6,72 g. Les chiffres 6 et 7 sont certains, et le 2 indique que la masse du quart est probablement comprise entre 6,71 et 6,73 grammes. Le quart pèse environ 6,72 grammes, avec une incertitude nominale quant à la mesure de ± 0,01 gramme. Si nous pesons le quart sur une balance plus sensible, nous pouvons constater que sa masse est de 6,723 g. Cela signifie que sa masse se situe entre 6,722 et 6,724 grammes, soit une incertitude de 0,001 gramme. Chaque mesure comporte une certaine incertitude, qui dépend de l'appareil utilisé (et de la capacité de l'utilisateur). Tous les chiffres d'une mesure, y compris le dernier chiffre incertain, sont appelés chiffres significatifs ou chiffres significatifs. Notez que zéro peut être une valeur mesurée ; par exemple, si vous vous tenez sur une balance qui indique le poids à la livre la plus proche et indique « 120 », alors les valeurs 1 (centaines), 2 (dizaines) et 0 (une) sont toutes des valeurs significatives (mesurées).

    Chaque fois que vous effectuez une mesure correctement, tous les chiffres du résultat sont significatifs. Mais que se passerait-il si vous analysiez une valeur déclarée et que vous essayiez de déterminer ce qui est significatif et ce qui ne l'est pas ? Eh bien, pour commencer, tous les chiffres non nuls sont significatifs, et seuls les zéros nécessitent une certaine réflexion. Nous utiliserons les termes « leader », « arrière » et « captif » pour les zéros et nous examinerons comment les traiter.

     

    Le diagramme de gauche utilise l'exemple de 3090. Le zéro à la place des centaines est étiqueté « captif » et le zéro à la place des uns est étiqueté à la fin. Le diagramme de droite utilise l'exemple 0.008020. Les trois zéros situés aux une, dixième et centième places sont étiquetés « en tête ». Le zéro au dix millième est étiqueté « captif » et le zéro à la millionième place est étiqueté « arrière ».

    En commençant par le premier chiffre différent de zéro sur la gauche, comptez ce chiffre et tous les chiffres restants vers la droite. Il s'agit du nombre de chiffres significatifs de la mesure, sauf si le dernier chiffre est un zéro final situé à gauche de la virgule décimale.

     

    Le diagramme de gauche utilise l'exemple de 1267 mètres. Le chiffre 1 est le premier chiffre différent de zéro sur la gauche. 1267 compte 4 chiffres significatifs au total. Le diagramme de droite utilise l'exemple de 55,0 grammes. Le chiffre 5 à la place des dizaines est le premier chiffre non nul sur la gauche. 55,0 contient 3 chiffres significatifs. Notez que le 0 se trouve à droite de la virgule décimale et qu'il s'agit donc d'un chiffre significatif.

    Les zéros captifs résultent de la mesure et sont donc toujours significatifs. Les zéros en tête, cependant, ne sont jamais significatifs : ils nous indiquent simplement où se trouve le point décimal.

     

    Le diagramme de gauche utilise l'exemple de 70,607 millilitres. Le chiffre 7 est le premier chiffre différent de zéro sur la gauche. 70.607 contient 5 chiffres significatifs au total, car tous les chiffres sont mesurés, y compris les 2 zéros. Le diagramme de droite utilise l'exemple de 0,00832407 M L. Le chiffre 8 est le premier chiffre différent de zéro sur la gauche. 0,00832407 comporte 6 chiffres significatifs.

    Dans cet exemple, les zéros en tête ne sont pas significatifs. Nous pourrions utiliser la notation exponentielle (comme décrit à l'annexe B) et exprimer le nombre sous la forme 8,32407\(\times\) 10 −3 ; ensuite, le nombre 8,32407 contient tous les chiffres significatifs et 10 −3 localise la virgule décimale.

    Le nombre de chiffres significatifs est incertain lorsqu'il s'agit d'un nombre qui se termine par un zéro à gauche de la virgule décimale. Les zéros de la mesure de 1 300 grammes peuvent être significatifs ou ils peuvent simplement indiquer où se trouve la virgule décimale. L'ambiguïté peut être résolue en utilisant la notation exponentielle : 1,3\(\times\) 10 3 (deux chiffres significatifs), 1,30\(\times\) 10 3 (trois chiffres significatifs, si la place des dizaines a été mesurée) ou 1,300\(\times\) 10 3 (quatre chiffres significatifs, si la première place était également mesuré). Dans les cas où seul le nombre au format décimal est disponible, il est prudent de supposer que tous les zéros de fin de page ne sont pas significatifs.

     

    Cette figure utilise l'exemple de 1 300 grammes. Le 1 et le 3 sont des chiffres significatifs car ils sont clairement le résultat de mesures. Les 2 zéros peuvent être significatifs s'ils étaient mesurés ou ils peuvent être des espaces réservés.

    Lorsque vous déterminez des chiffres significatifs, faites attention aux valeurs déclarées et réfléchissez à la mesure et aux chiffres significatifs en fonction de ce qui est raisonnable ou probable, c'est-à-dire de savoir si la valeur est logique. Par exemple, le recensement officiel de janvier 2014 a révélé que la population résidente des États-Unis s'élevait à 317 297 725 personnes. Pensez-vous que la population américaine a été correctement déterminée sur la base des neuf chiffres significatifs signalés, c'est-à-dire du nombre exact de personnes ? Des personnes naissent, meurent ou entrent dans le pays ou en sortent constamment, et des hypothèses sont faites pour expliquer le grand nombre de personnes qui ne sont pas réellement comptées. En raison de ces incertitudes, il serait peut-être plus raisonnable de s'attendre à ce que nous connaissions une population d'environ un million d'habitants, auquel cas la population devrait être déclarée à 317 millions, ou\(3.17 \times 10^8 \) personnes.

    Chiffres significatifs dans les calculs

    Un deuxième principe d'incertitude important est que les résultats calculés à partir d'une mesure sont au moins aussi incertains que la mesure elle-même. Nous devons prendre en compte l'incertitude de nos mesures afin d'éviter de déformer l'incertitude dans les résultats calculés. Pour ce faire, vous pouvez indiquer le résultat d'un calcul avec le nombre correct de chiffres significatifs, qui est déterminé par les trois règles suivantes pour arrondir les nombres :

    1. Lorsque nous ajoutons ou soustrayons des nombres, nous devons arrondir le résultat au même nombre de décimales que le nombre comportant le moins de décimales (la valeur la moins précise en termes d'addition et de soustraction).
    2. Lorsque nous multiplions ou divisons des nombres, nous devons arrondir le résultat au même nombre de chiffres que le nombre contenant le moins de chiffres significatifs (la valeur la moins précise en termes de multiplication et de division).
    3. Si le chiffre à supprimer (celui qui se trouve immédiatement à droite du chiffre à retenir) est inférieur à 5, nous « arrondissons » et laissons le chiffre retenu inchangé ; s'il est supérieur à 5, nous « arrondissons » et augmentons le chiffre retenu de 1 ; si le chiffre supprimé est 5, nous arrondissons vers le haut ou vers le bas, selon le rendement une valeur paire pour le chiffre retenu. (La dernière partie de cette règle peut vous paraître un peu étrange, mais elle est basée sur des statistiques fiables et vise à éviter tout biais lors de la suppression du chiffre « 5 », car il est également proche des deux valeurs possibles du chiffre conservé.)

    Les exemples suivants illustrent l'application de cette règle en arrondissant quelques nombres différents à trois chiffres significatifs :

    • 0,028675 arrondit « vers le haut » à 0,0287 (le chiffre supprimé, 7, est supérieur à 5)
    • 18,3384 arrondit « vers le bas » à 18,3 (le chiffre supprimé, 3, est inférieur à 5)
    • 6,8752 arrondit « vers le haut » à 6,88 (le chiffre supprimé est 5 et le chiffre conservé est pair)
    • 92,85 arrondit « vers le bas » à 92,8 (le chiffre supprimé est 5 et le chiffre conservé est pair)

    Examinons ces règles à l'aide de quelques exemples.

    Exemple\(\PageIndex{1}\): Rounding Numbers

    Arrondissez ce qui suit au nombre de chiffres significatifs indiqué :

    1. 31,57 (à deux chiffres significatifs)
    2. 8,1649 (à trois chiffres significatifs)
    3. 0,051065 (jusqu'à quatre chiffres significatifs)
    4. 0,90275 (jusqu'à quatre chiffres significatifs)
    Solution
    1. 31,57 arrondit « vers le haut » à 32 (le chiffre supprimé est 5 et le chiffre conservé est pair)
    2. 8,1649 arrondit « vers le bas » à 8,16 (le chiffre supprimé, 4, est inférieur à 5)
    3. 0,051065 arrondit « vers le bas » à 0,05106 (le chiffre supprimé est 5 et le chiffre conservé est pair)
    4. 0,90275 arrondit « vers le haut » à 0,9028 (le chiffre supprimé est 5 et le chiffre conservé est pair)
    Exercice\(\PageIndex{1}\)

    Arrondissez ce qui suit au nombre de chiffres significatifs indiqué :

    1. 0,424 (à deux chiffres significatifs)
    2. 0,0038661 (jusqu'à trois chiffres significatifs)
    3. 421,25 (à quatre chiffres significatifs)
    4. 28 683,5 (à cinq chiffres significatifs)
    Répondez à une

    0,42

    Réponse b

    0,00387

    Réponse c

    421,2

    Réponse d

    28 684

    Exemple\(\PageIndex{2}\): Addition and Subtraction with Significant Figures Rule:

    Lorsque nous ajoutons ou soustrayons des nombres, nous devons arrondir le résultat au même nombre de décimales que le nombre comportant le moins de décimales (c'est-à-dire la valeur la moins précise en termes d'addition et de soustraction).

    1. Ajoutez 1,0023 g et 4,383 g.
    2. Soustrayez 421,23 g de 486 g.
    Solution

    (a)

    \ [\ begin {align*}
    & \ mathrm {1.0023 \ : g} \ \ + \ : & \ underline {\ mathrm {4.383 \ : g} \ : \ :} \ \ & \ mathrm {5.3853 \ : g}
     \ end {align*} \ nonnumber \]

    La réponse est 5,385 g (arrondie à la millième ; trois décimales)

    (b)

    \ [\ begin {align*}
    & \ mathrm {486 \ : g} \ \ - \ : & \ underline {\ mathrm {421.23 \ : g}} \ \ & \ mathrm {\ : \ :64.77 \ : g}
     \ end {align*} \ nonumber \]

    La réponse est de 65 g (arrondie à une décimale ; pas de décimales)

    Exercice\(\PageIndex{2}\)
    1. Ajouter 2,334 ml et 0,31 ml.
    2. Soustrayez 55,8752 m de 56,533 m.
    Répondez à une

    2,64 ml

    Réponse b

    0,658 m

    Exemple\(\PageIndex{3}\): Multiplication and Division with Significant Figures

    Règle : Lorsque nous multiplions ou divisons des nombres, nous devons arrondir le résultat au même nombre de chiffres que le nombre contenant le moins de chiffres significatifs (la valeur la moins précise en termes de multiplication et de division).

    1. Multipliez 0,6238 cm par 6,6 cm.
    2. Divisez 421,23 g par 486 ml.
    Solution

    (a)

    \[\mathrm{0.6238\: cm\times6.6\:cm=4.11708\:cm^2\rightarrow result\: is\:4.1\:cm^2}\:\textrm{(round to two significant figures)} \nonumber \]
    \[\textrm{four significant figures}\times \textrm{two significant figures}\rightarrow \textrm{two significant figures answer} \nonumber \]

    (b)

    \[\mathrm{\dfrac{421.23\: g}{486\: mL}=0.86728...\: g/mL\rightarrow result\: is\: 0.867\: g/mL} \: \textrm{(round to three significant figures)} \nonumber \]

    \[\mathrm{\dfrac{five\: significant\: figures}{three\: significant\: figures}\rightarrow three\: significant\: figures\: answer} \nonumber \]

    Exercice\(\PageIndex{3}\)
    1. Multipliez 2,334 cm et 0,320 cm.
    2. Diviser 55,8752 m par 56,53 s.
    Répondez à une

    0,747 cm 2

    Réponse b

    0,9884 m/s

    Au milieu de tous ces détails techniques, il est important de garder à l'esprit la raison pour laquelle nous utilisons des chiffres significatifs et des règles d'arrondissement, afin de représenter correctement la certitude des valeurs que nous déclarons et de veiller à ce qu'un résultat calculé ne soit pas présenté comme étant plus certain que la valeur la moins certaine utilisée dans le calcul.

    Exemple\(\PageIndex{4}\): Calculation with Significant Figures

    Une baignoire commune mesure 13,44 cm de long, 5,920 cm de large et 2,54 cm de profondeur. Supposons que la cuve soit rectangulaire et calculez son volume approximatif en litres.

    Solution

    \ [\ begin {align*}
    V&=L \ times w \ times d \ \ &= \ mathrm {13,44 \ : dm \ times 5,920 \ : dm \ times 2,54 \ : dm} \ \ &= \ mathrm {202,09459... dm^3} \ : \ textrm {(valeur tirée du calculateur)} \ \ &= \ mathrm {202 \ : dm^3} \ textrm {ou 202 L (réponse arrondie à trois chiffres significatifs)}
     \ end {align*} \ aucun numéro [\]

    Exercice\(\PageIndex{4}\): Determination of Density Using Water Displacement

    Quelle est la densité d'un liquide d'une masse de 31,1415 g et d'un volume de 30,13 cm 3 ?

    Réponse

    1,034 g/mL

    Exemple\(\PageIndex{4}\)

    Une pièce de barre d'armature est pesée puis immergée dans un cylindre gradué partiellement rempli d'eau, avec les résultats indiqués.

     

    Un cylindre gradué rempli de liquide est représenté. L'un indique le niveau avant l'ajout de la barre d'armature et l'autre indique le niveau où l'armature est immergée dans le liquide. La masse des barres d'armature est de 69,658 grammes, le volume final de 22,4 millilitres et le volume initial de 13,5 millilitres.
    1. Utilisez ces valeurs pour déterminer la densité de cette pièce de barre d'armature.
    2. Les barres d'armature sont principalement en fer. Votre résultat en (a) confirme-t-il cette affirmation ? Comment ?
    Solution

    Le volume de la pièce d'armature est égal au volume de l'eau déplacée :

    \[\mathrm{volume=22.4\: mL-13.5\: mL=8.9\: mL=8.9\: cm^3}\nonumber \]

    (arrondi au 0,1 ml le plus proche, conformément à la règle d'addition et de soustraction)

    La densité est le rapport masse/volume :

    \[\mathrm{density=\dfrac{mass}{volume}=\dfrac{69.658\: g}{8.9\: cm^3}=7.8\: g/cm^3}\nonumber \]

    (arrondi à deux chiffres significatifs, conformément à la règle de multiplication et de division)

    La densité du fer est de 7,9 g/cm 3, très proche de celle des barres d'armature, ce qui confirme que les barres d'armature sont principalement en fer.

    Exercice\(\PageIndex{4}\)

    Une pièce de forme irrégulière d'un matériau jaunâtre brillant est pesée puis immergée dans un cylindre gradué, avec les résultats indiqués.

     

    Un cylindre gradué rempli de liquide est représenté. L'un indique le niveau avant que le matériau ne soit ajouté et l'autre indique le niveau avec le matériau immergé dans le liquide. La masse est de 51,842 grammes, le volume final est de 19,8 millilitres et le volume initial est de 17,1 millilitres.
    1. Utilisez ces valeurs pour déterminer la densité de ce matériau.
    2. Avez-vous des suppositions raisonnables quant à l'identité de ce matériel ? Expliquez votre raisonnement.
    Répondez à une

    19 g/cm 3

    Réponse b

    Il s'agit probablement d'or ; il a la bonne apparence pour l'or et est très proche de la densité donnée pour l'or.

     

    Exactitude et précision

    Les scientifiques effectuent généralement des mesures répétées d'une quantité pour garantir la qualité de leurs résultats et pour connaître à la fois la précision et l'exactitude de leurs résultats. Les mesures sont dites précises si elles donnent des résultats très similaires lorsqu'elles sont répétées de la même manière. Une mesure est considérée comme précise si elle donne un résultat très proche de la valeur vraie ou acceptée. Les valeurs précises sont en accord les unes avec les autres ; les valeurs exactes sont en accord avec une valeur vraie. Ces caractérisations peuvent être étendues à d'autres contextes, tels que les résultats d'une compétition de tir à l'arc (Figure\(\PageIndex{2}\)).

    Figure\(\PageIndex{2}\) : (a) Ces flèches sont proches à la fois du taureau et l'une de l'autre, elles sont donc à la fois précises et précises. (b) Ces flèches sont proches les unes des autres mais pas sur la cible, elles sont donc précises mais imprécises. (c) Ces flèches ne sont ni ciblées ni proches les unes des autres, elles ne sont donc ni précises ni précises.

    Supposons qu'un chimiste du contrôle qualité d'une société pharmaceutique soit chargé de vérifier l'exactitude et la précision de trois machines différentes destinées à distribuer 10 onces (296 ml) de sirop contre la toux dans des flacons de stockage. Elle utilise chaque machine pour remplir cinq bouteilles, puis détermine soigneusement le volume réel distribué, obtenant les résultats présentés dans le tableau\(\PageIndex{2}\).

    Tableau\(\PageIndex{2}\) : Volume (ml) de médicament contre la toux administré par des distributeurs de 10 oz (296 ml)
    Distributeur #1 Distributeur #2 Distributeur #3
    283,3 298,3 296,1
    284,1 294,2 295,9
    283,9 296,0 296,1
    284,0 297,8 296,0
    284,1 293,9 296,1

    Compte tenu de ces résultats, elle indiquera que le distributeur #1 est précis (valeurs toutes proches les unes des autres, à quelques dixièmes de millilitre près) mais pas exact (aucune des valeurs n'est proche de la valeur cible de 296 ml, chacune étant trop faible de plus de 10 ml). Les résultats pour le distributeur #2 indiquent une précision améliorée (chaque volume se trouve à moins de 3 ml de 296 ml) mais une précision moindre (les volumes varient de plus de 4 ml). Enfin, elle peut signaler que le distributeur #3 fonctionne bien, distribuant du sirop contre la toux à la fois avec précision (tous les volumes se situant à moins de 0,1 ml du volume cible) et précisément (volumes ne différant pas les uns des autres de plus de 0,2 ml).

    Résumé

    Les quantités peuvent être exactes ou mesurées. Les quantités mesurées sont associées à une incertitude qui est représentée par le nombre de chiffres significatifs de la mesure. L'incertitude d'une valeur calculée dépend des incertitudes des valeurs utilisées dans le calcul et se reflète dans la façon dont la valeur est arrondie. Les valeurs mesurées peuvent être précises (proches de la valeur réelle) et/ou précises (elles peuvent présenter peu de variations lorsqu'elles sont mesurées à plusieurs reprises).

    Lexique

    incertitude
    estimation de la différence entre la mesure et la valeur réelle
    chiffres significatifs
    (également, chiffres significatifs) tous les chiffres mesurés dans une détermination, y compris le dernier chiffre incertain
    arrondi
    procédure utilisée pour garantir que les résultats calculés reflètent correctement l'incertitude des mesures utilisées dans le calcul
    précision
    dans quelle mesure une mesure correspond à la même mesure lorsqu'elle est répétée
    nombre exact
    nombre dérivé par comptage ou par définition
    précision
    dans quelle mesure une mesure s'aligne avec une valeur correcte