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5.8 : Puissance d'une règle de quotient pour les exposants

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    La puissance d'une règle de quotient pour les exposants se concentrera sur ce qu'il advient d'un quotient lorsqu'il est élevé à une certaine puissance.

    Définition : La puissance d'une règle de quotient pour les exposants

    Pour tout nombre réel\(a\)\(b\) et tout entier\(n\), la puissance d'une règle de quotient pour les exposants est la suivante :

    \(\left( \dfrac{a }{b} \right)^n = \dfrac{a^n }{b^n }\),

    où\(b \neq 0\).

    Simplifiez ce qui suit en utilisant la puissance d'une règle de quotient pour les exposants.

    Exemple Template:index

    Simplifiez ce qui suit en utilisant la puissance d'une règle de quotient pour les exposants.

    \(\left( \dfrac{a }{b} \right)^4\)

    Solution

    \(\begin{aligned} &\left( \dfrac{a}{ b} \right)^4 && \text{Given} \\ &= \dfrac{a }{b} \cdot \dfrac{a }{b} \cdot \dfrac{a }{b} \cdot \dfrac{a }{b} &&\text{Expand using the exponent definition} \\ &= \dfrac{a^4 }{b^4} && \text{Multiply as needed to simplify} \end{aligned}\)

    Exemple Template:index

    \(\left(\dfrac{x^2 }{3y^5} \right)^3\)

    Solution

    \(\begin{aligned} &\left( \dfrac{x^2 }{3y^5 }\right)^3 && \text{Given} \\ &= \dfrac{x^{2\cdot 3 }}{3^3 \cdot y^{5\cdot 3 }} && \text{power of quotient rule for exponents applied} \\ &= \dfrac{x^6 }{3^3 \cdot y^{15 }} &&\text{Simplify exponent product} \\ &= \dfrac{x^6 }{27y^{15 }} && \text{Multiply as needed to simplify.} \end{aligned}\)

    Exemple Template:index

    \(\left( \dfrac{2x }{y }\right)^{−3}\)

    Solution

    \(\begin{aligned} &\left( \dfrac{2x }{y }\right)^{−3 } &&\text{Given} \\ &= \left( \dfrac{y }{2x} \right)^3 && \text{Negative exponent rule applied} \\ &= \dfrac{y^3 }{2^3 \cdot x^3} && \text{Power of a quotient rule for exponents applied.} \\ &= \dfrac{y^3 }{8x^3 } && \text{Multiply as needed to simplify.} \end{aligned}\)

    L'ordre dans lequel les règles des exposants sont appliquées n'a pas d'importance. Dans l'exemple 3, les étapes 2 et 3 peuvent être effectuées dans n'importe quel ordre. Les résultats seront les mêmes.

    Exercice Template:index

    Simplifiez l'expression en utilisant la puissance d'une règle de quotient pour les exposants.

    1. \(\left( \dfrac{p^4 }{p^7 }\right) ^3\)
    2. \(−\left(\dfrac{ x^2 \cdot x^3 }{x \cdot y^3} \right) ^2\)
    3. \(\left( \dfrac{5x^3 }{2y^{13 }}\right) ^{−2}\)
    4. \(\left( \dfrac{2c^3}{ c^4} \right) ^3\)
    5. \(\left( \dfrac{a ^{−7}b }{a^2b^{−4 }}\right)^3\)
    6. \(\left( \dfrac{f^{−7 }}{f^5 }\right)^9\)
    7. \(\left(\dfrac{ xy^2z^3}{ x^3y^2z} \right) ^5\)