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5.3 : La règle du quotient des exposants

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    Définition : La règle du quotient pour les exposants

    Pour tout nombre réel\(a\) et positif\(m\) et\(n\), où\(m > n\).

    La règle du quotient pour les exposants est la suivante.

    \(\dfrac{a^m }{a^n} = a^{ m−n}\)

    Remarque : les bases DOIVENT être identiques. Le résultat aura la même base.

    Idée :

    À partir de la dernière section,

    \(x^3 = \textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x} \qquad x^5 = \textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}\)

    Leur quotient

    \(\dfrac{x^ 5 }{x^3} = \dfrac{\textcolor{red}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x }}{\textcolor{blue}{x \cdot x \cdot x }}= \dfrac{\textcolor{red}{\cancel{x \cdot x\cdot x \cdot x }\cdot x }}{\textcolor{blue}{\cancel{x \cdot x\cdot x }}}= \dfrac{\textcolor{red}{x \cdot x }}{1} = \textcolor{red}{x \cdot x}\).

    Donc,\(\dfrac{x^5 }{x^3 }= x^{5−3 }= x^2\)

    Exemple Template:index

    Utiliser la règle du quotient des exposants pour simplifier les expressions.

    1. \(\dfrac{k^3 }{k^2}\)
    2. \(\dfrac{r^{32} }{r^{21}}\)
    3. \(\dfrac{\sqrt{2}^ 7 }{\sqrt{2 }^4}\)
    4. \(\dfrac{(−7)^9 }{(−7)^6}\)
    5. \(\dfrac{(x \sqrt{5})^8 }{x\sqrt{ 5}}\)
    6. \(\dfrac{(xy)^{18} }{(xy)^{17}}\)
    Solution
    Expression Règle du quotient Base
    \(\dfrac{k^3 }{k^2}\) \(k^{3−2 }= k\) \(k\)
    \(\dfrac{r^{32} }{r^{21}}\) \(r^{32−21 }= r^{11}\) \(r\)
    \(\dfrac{\sqrt{2}^ 7 }{\sqrt{2 }^4}\) \(\sqrt{2 }^{7−4 }= \sqrt{2 }^3\) \(\sqrt{2}\)
    \(\dfrac{(−7)^9 }{(−7)^6}\) \((−7)^{9−6 }= (−7)^3\) \(-7\)
    \(\dfrac{(x \sqrt{5})^8 }{x\sqrt{ 5}}\) \((x \sqrt{5})^{8−1 }= (x \sqrt{5})^7\) \(x\sqrt{5}\)
    \(\dfrac{(xy)^{18} }{(xy)^{17}}\) \((xy)^{18−17 }= xy\) \(xy\)

    Remarque : Dans cette section, l'exposant du numérateur était supérieur à l'exposant du dénominateur. Ce ne sera pas toujours le cas. Le cas où l'exposant du dénominateur est supérieur à l'exposant du numérateur sera discuté dans une section ultérieure.

    Exercice Template:index

    Utilisez la règle du quotient des exposants pour simplifier l'expression donnée.

    1. \(\dfrac{−y ^{13} }{−y^7}\)
    2. \(\dfrac{(2x)^{25}}{ 2x}\)
    3. \(\dfrac{\sqrt{7 }^{17 }}{\sqrt{7 }^{12}}\)
    4. \(\dfrac{(−7)^9 }{(−7)^6}\)
    5. \(\dfrac{(x + y) ^{78}}{ (x + y)^{43}}\)
    6. \(\dfrac{\sqrt{xy }^{15 }}{\sqrt{xy }^{11}}\)