3.5E : Exercices

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

La pratique rend la perfection

Vérifier les solutions à une inégalité entre deux variables

Dans les exercices suivants, déterminez si chaque paire ordonnée est une solution à l'inégalité donnée.

1. Déterminez si chaque paire ordonnée est une solution à l'inégalité$y>x−1$ :

a.$(0,1)$
b.$(−4,−1)$
c.$(4,2)$
d.$(3,0)$
e.$(−2,−3)$

Réponse: a. oui b. oui c. non d. non e. non

2. Déterminez si chaque paire ordonnée est une solution à l'inégalité$y>x−3$ :

a.$(0,0)$
b.$(2,1)$
c.$(−1,−5)$
d.$(−6,−3)$
e.$(1,0)$

3. Déterminez si chaque paire ordonnée est une solution à l'inégalité$y<3x+2$ :

a.$(0,3)$
b.$(−3,−2)$
c.$(−2,0)$
d.$(0,0)$
e.$(−1,4)$

Réponse: a. non b. non c. oui d. oui e. non

4. Déterminez si chaque paire ordonnée est une solution à l'inégalité$y<−2x+5$ :

a. \ ((−3,0) (−3,0)
b.$(1,6)$
c.$(−6,−2)$
d.$(0,1)$
e.$(5,−4)$

5. Déterminez si chaque paire ordonnée est une solution à l'inégalité$3x−4y>4$ :

a.$(5,1)$
b.$(−2,6)$
c.$(3,2)$
d.$(10,−5)$
e.$(0,0)$

Réponse: a. oui b. non c. non d. non e. non

6. Déterminez si chaque paire ordonnée est une solution à l'inégalité$2x+3y>2$ :

a.$(1,1)$
b.$(4,−3)$
c.$(0,0)$
d.$(−8,12)$
e.$(3,0)$

Reconnaître la relation entre les solutions d'une inégalité et son graphe

Dans les exercices suivants, écrivez l'inégalité indiquée par la région ombrée.

7. Écrivez l'inégalité indiquée par le graphique avec la ligne de démarcation$y=3x−4$.

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne est tracée entre les points (0, moins 4), (1, moins 1) et (2, 2). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié inférieure droite sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

Réponse: $y\leq 3x−4$

8. Écrivez l'inégalité indiquée par le graphique avec la ligne de démarcation$y=2x−4$.

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne est tracée entre les points (0, moins 4), (1, moins 2) et (2, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié inférieure droite sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

9. Écrivez l'inégalité indiquée par le graphique avec la ligne de démarcation$y=−\frac{1}{2}x+1$.

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne passe par les points (0, 1), (2, 0) et (4, moins 1). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié inférieure droite sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

Réponse: $y\leq −\frac{1}{2}x+1$

10. Écrivez l'inégalité indiquée par le graphique avec la ligne de démarcation$y=-\frac{1}{3}x−2$.

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne est tracée entre les points (0, moins 2), (3, moins 3) et (6, moins 4). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié inférieure gauche sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

11. Écrivez l'inégalité indiquée par la région ombrée dans le graphique avec la ligne de démarcation$x+y=5$.

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne passe par les points (0, 5), (1, 4) et (5, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié supérieure droite sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

Réponse: $x+y\geq 5$

12. Écrivez l'inégalité indiquée par la région ombrée dans le graphique avec la ligne de démarcation$x+y=3$.

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne passe par les points (0, 3), (1, 2) et (3, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié supérieure droite sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

13. Écrivez l'inégalité indiquée par la région ombrée dans le graphique avec la ligne de démarcation$3x−y=6$.

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne est tracée entre les points (0, moins 6), (1, moins 3) et (2, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié supérieure gauche sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

Réponse: $3x−y\leq 6$

14. Écrivez l'inégalité indiquée par la région ombrée dans le graphique avec la ligne de démarcation$2x−y=4$.

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne est tracée entre les points (0, moins 4), (1, moins 2) et (2, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié supérieure gauche sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

Représenter graphiquement les inégalités linéaires dans deux variables

Dans les exercices suivants, représentez graphiquement chaque inégalité linéaire.

15. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$y>\frac{2}{3}x−1$.

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne droite pointillée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne droite en pointillés est tracée entre les points (0, moins 1), (3, 1) et (6, 3). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié supérieure gauche est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

16. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$y<\frac{3}{5}x+2$.

17. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$y\leq −\frac{1}{2}x+4$.

Réponse: $Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne passe par les points (0, 4), (2, 3) et (4, 2). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié supérieure droite sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

18. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$y\geq −\frac{1}{3}x−2$.

19. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$x−y\leq 3$.

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne droite pointillée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne droite en pointillés est tracée entre les points (0, moins 3), (1, moins 2) et (3, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié supérieure gauche est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

20. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$x−y\geq −2$.

21. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$4x+y>−4$.

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne droite pointillée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne droite en pointillés est tracée entre les points (0, moins 4), (moins 1, 0) et (1, moins 8). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié supérieure droite est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

22. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$x+5y<−5$.

23. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$3x+2y\geq −6$.

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne droite pointillée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne droite en pointillés est tracée entre les points (0, moins 3), (3, moins 5) et (moins 2, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié supérieure droite est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

24. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$4x+2y\geq −8$.

25. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$y>4x$.

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne droite pointillée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne droite en pointillés est tracée entre les points (0, 0), (moins 1, moins 4) et (1, 4). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié supérieure gauche est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

26. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$y\leq −3x$.

27. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$y<−10$.

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne droite pointillée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne droite en pointillés est tracée entre les points (0, 0), (négatif 1, 3) et (1, moins 3). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié inférieure gauche est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

28. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$y\geq 2$.

29. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$x\leq 5$.

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne pointillée verticale droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne pointillée verticale est tracée à travers les points (5, moins 1), (5, 0) et (5, 1). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié gauche est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

30. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$x\geq 0$.

31. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$x−y<4$.

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne droite pointillée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne droite en pointillés est tracée entre les points (0, moins 4), (1, moins 3) et (4, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié supérieure gauche est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

32. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$x−y<−3$.

33. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$y\geq \frac{3}{2}x$.

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne droite pointillée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne droite pointillée est tracée entre les points (0, 0), (2, 3) et (moins 2, moins 3). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié supérieure gauche est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

34. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$y\leq \frac{5}{4}x$.

35. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$y>−2x+1$.

Réponse: $Cette figure présente le graphique d'une ligne droite pointillée sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne droite pointillée est tracée entre les points (0, 1), (1, moins 1) et (2, moins 3). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La moitié supérieure droite est ombrée en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

36. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$y<−3x−4$.

37. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$2x+y\geq −4$.

Réponse: $Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne est tracée entre les points (0, moins 4), (1, moins 6) et (moins 2, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié inférieure gauche sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

38. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$x+2y\leq −2$.

39. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$2x−5y>10$.

Réponse: $Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de moins 10 à 10. Une ligne est tracée entre les points (0, moins 2), (5, 0) et (moins 5, moins 4). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié inférieure droite sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

40. Représentez graphiquement l'inégalité linéaire :$4x−3y>12$.

Résolvez des applications en utilisant des inégalités linéaires dans deux variables

41. Harrison occupe deux emplois à temps partiel. L'un dans une station-service qui paie 11 dollars de l'heure et l'autre est un dépannage informatique pour 16,50 dollars 16,50 dollars de l'heure. Entre les deux emplois, Harrison veut gagner au moins 330$ par semaine. Combien d'heures Harrison doit-il travailler pour chaque emploi pour gagner au moins 330$ ?

a. Soit x le nombre d'heures pendant lesquelles il travaille à la station-service et y le nombre d'heures pendant lesquelles il travaille au dépannage. Écrivez une inégalité qui modéliserait cette situation.

b. Représentez graphiquement l'inégalité.

c. Trouvez trois paires ordonnées$(x,y)$ qui seraient des solutions à l'inégalité. Ensuite, expliquez ce que cela signifie pour Harrison.

Réponse

a.$11x+16.5y\geq 330$
b.

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 0 à 35. Une ligne passe par les points (0, 20), (15, 10) et (30, 0). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié supérieure droite sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

c. Les réponses peuvent varier.

42. Elena doit gagner au moins 450$ par semaine pendant ses vacances d'été pour payer ses études universitaires. Elle a deux emplois. L'un en tant que moniteur de natation payant 9 dollars de l'heure et l'autre en tant que stagiaire dans un laboratoire de génétique pour 22,50 dollars de l'heure. Combien d'heures Elena doit-elle travailler à chaque emploi pour gagner au moins 450$ par semaine ?

a. Soit x le nombre d'heures pendant lesquelles elle enseigne la natation et y le nombre d'heures pendant lesquelles elle travaille en tant que stagiaire. Écrivez une inégalité qui modéliserait cette situation.

b. Représentez graphiquement l'inégalité.

c. Trouvez trois paires ordonnées (x, y) (x, y) qui seraient des solutions à l'inégalité. Ensuite, expliquez ce que cela signifie pour Elena.

43. Le médecin dit à Laura qu'elle doit faire suffisamment d'exercice pour brûler 500 calories par jour. Elle préfère courir ou faire du vélo et brûle 15 calories par minute en courant et 10 calories par minute en faisant du vélo.

a. Si x est le nombre de minutes pendant lesquelles Laura court et y le nombre de minutes pendant lesquelles elle fait du vélo, trouvez l'inégalité qui modélise la situation.

b. Représentez graphiquement l'inégalité.

c. Énumérez trois solutions à l'inégalité. Quelles options les solutions offrent-elles à Laura ?

Réponse

a.$15x+10y\geq 500$
b.

$Cette figure montre le graphique d'une ligne droite sur le plan de coordonnées x. Les axes x et y vont de 0 à 60. Une ligne est tracée entre les points (0, 50) et (20, 20). La ligne divise le plan de coordonnées x y en deux moitiés. La ligne et la moitié supérieure droite sont ombrées en rouge pour indiquer que c'est là que se trouvent les solutions à l'inégalité.$

c. Les réponses peuvent varier.

44. Les entraînements d'Armando comprennent le kickboxing et la natation. Pendant le kickboxing, il brûle 10 calories par minute et il brûle 7 calories par minute en nageant. Il veut brûler 600 calories par jour.

a. Si x est le nombre de minutes qu'Armando va lancer et y est le nombre de minutes qu'il va nager, trouvez l'inégalité qui aidera Armando à créer un entraînement pour aujourd'hui.

b. Représentez graphiquement l'inégalité.

c. Énumérez trois solutions à l'inégalité. Quelles options les solutions offrent-elles à Armando ?

Exercices d'écriture

45. Lester pense que la solution de toute inégalité avec un signe >> est la région au-dessus de la ligne et que la solution de toute inégalité avec un signe << est la région située en dessous de la ligne. Lester a-t-il raison ? Expliquez pourquoi ou pourquoi pas.

Réponse: Les réponses peuvent varier.

46. Expliquez pourquoi, dans certains graphiques d'inégalités linéaires, la ligne de démarcation est pleine alors que dans d'autres graphiques, elle est pointillée.

Auto-vérification

a. Une fois les exercices terminés, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

$Ce tableau comporte 4 lignes et 4 colonnes. La première ligne est une ligne d'en-tête et elle étiquette chaque colonne. Le premier en-tête de colonne est « Je peux... », le second est « En toute confiance », le troisième est « Avec de l'aide » et le quatrième est « Non, je ne comprends pas ». Sous la première colonne se trouvent les phrases « vérifier les solutions à une inégalité dans deux variables », « reconnaître la relation entre les solutions d'une inégalité et son graphe » et « représenter graphiquement les inégalités linéaires ». Les autres colonnes sont laissées vides afin que l'apprenant puisse indiquer son niveau de maîtrise pour chaque sujet.$

b. Sur une échelle de 1 à 10, comment évalueriez-vous votre maîtrise de cette section à la lumière de vos réponses à la liste de contrôle ? Comment pouvez-vous améliorer cela ?