6.2 : Résolution d'équations de valeurs absolues

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Pour résoudre des équations de valeurs absolues, considérez d'abord les deux propriétés de valeur absolue suivantes :

Définition : Propriétés de valeur absolue

Propriété 1 : Pour$b > 0$,$|a| = b$ si et seulement si$a = b$ ou$a = −b$

Propriété 2 : Pour tous les nombres réels$a$ et$b$,$|a| = |b|$ si et seulement si$a = b$ ou$a = −b$

Avant d'appliquer la propriété 1, isolez l'expression de valeur absolue de chaque côté de l'équation.
Vérifiez les solutions en les replaçant dans l'équation d'origine.
Les solutions sont présentées sous la forme d'un ensemble de solutions du formulaire$\{p, q\}$, où$p$ et$q$ sont des nombres réels.
L'ensemble de solutions d'une équation de valeur absolue est représenté sous forme de points sur une ligne numérique.

Exemple Template:index

Résolvez chaque équation et tracez l'ensemble de solutions.

$|x| = 7$
$|5x – 3| = 2$
$|20 – x| = −80$

Solution

Pour résoudre ce problème$|x| = 7$, appliquez la propriété 1 avec$a = x$ et$b = 7$.

Par conséquent, les solutions sont$x = −7$ et$x = 7$, et l'ensemble de solutions est$\{-7,7\}$. Le graphique de l'ensemble de solutions est illustré dans la figure ci-dessous.

$clipboard_e4e661622afb19f733118b1049d678a57.png$

La méthode de résolution d'équations utilisée dans la partie a peut être étendue à l'équation donnée dans cette partie avec$a = 5x – 3$ et$b = 2$.

Ainsi, l'équation de la valeur absolue$|5x – 3| = 2$ est équivalente à :

$\begin{array} &&5x − 3 = 2 &\text{ or } &5x − 3 = −2 &\text{Property 1} \\ &5x = 5 &\text{ or } &5x = 1 &\text{Add \(3$aux deux côtés des équations} \ \ &x = 1 & \ text {ou} &x = \ dfrac {1} {5} & \ text {Diviser par$5$ les deux côtés des équations} \ end {array} \)

Maintenant, vérifiez si$x = 1$ et$x = \dfrac{1}{5}$ sont des solutions à l'équation de valeur absolue donnée.

$\begin{array} &&\text{For } x = 1 &\text{For } x = \dfrac{1}{5} &\\ &|5x − 3| = 2 &|5x − 3| = 2 &\text{Given} \\ &|5(1) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &|5 \left( \dfrac{1}{5} \right) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &\text{Substitute the \(x$-valeurs} \ \ &|5 − 3| \ stackrel {?} {=} 2 &|1 − 3| \ stackrel {?} {=} 2 & \ text {Simplifier} \ \ &|2| \ stackrel {?} {=} 2 &|− 2| \ stackrel {?} {=} 2 & \ text {Appliquer la définition de la valeur absolue} \ \ &2 = 2 \ ; \ checkmark &2 = 2 \ ; \ checkmark \ end {array} \)

Puisque les équations ci-dessus sont vraies, alors,$x = 1$ et$x = \dfrac{1}{5}$ sont des solutions à l'équation de valeur absolue donnée. L'ensemble de solutions est$\left\{\dfrac{1}{5} , 1\right\}$. Le graphique de l'ensemble de solutions est illustré dans la figure ci-dessous.

$clipboard_e78f4a9bbcf248134874230631b7dada3.png$

Comme une valeur absolue ne peut jamais être négative, aucun nombre$x$ réel ne peut être$|20 – x| = −80$ vrai. L'équation n'a pas de solution et l'ensemble de solutions est$∅$.

Exemple Template:index

Résolvez et graphiez l'ensemble de solutions.

$\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18$
$4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5$
$|4x – 3| = |x + 6|$

Solution

Notez que l'expression de valeur absolue n'est pas isolée, ce qui signifie que les propriétés ne peuvent pas être appliquées. Tout d'abord, isolez$\left| \dfrac{4}{3}x + 3 \right|$ sur le côté gauche de l'équation, puis appliquez la propriété 1.

$\begin{array} &&\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18 &\text{Given equation} \\ & \left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 &\text{Subtract \(8$des deux côtés de l'équation} \ end {array} \)

La valeur absolue étant maintenant isolée, résolvez$\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10$ à l'aide de la propriété 1, avec$a = \dfrac{4}{3} x + 3$ et$b = 10$ comme suit,

$\begin{array} && &\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 & & \\ &\dfrac{4}{3} + 3 = 10 &\text{ or } & \dfrac{4}{3} + 3 = -10 &\text{Property 1} \\ &\dfrac{4}{3} x = 7 &\text{ or } &\dfrac{4}{3}x = −13 &\text{Subtract \(3$des deux côtés} \ \ &x = \ dfrac {21} {4} & \ text {ou} &x = − \ dfrac {39} {4} & \ text {Multipliez les deux côtés par$\dfrac{3}{4}$} \ end {array} \)

Vérifiez les solutions$x = −\dfrac{39}{4}$ et$x = \dfrac{21}{4}$ en les substituant dans l'équation de valeur absolue d'origine. L'ensemble de solutions est$\left\{ −\dfrac{39}{4}, \dfrac{21}{4} \right\}$ et le graphique de l'ensemble de solutions est illustré dans la figure ci-dessous.

$clipboard_e42b1bbc90f71c52e8a95664a185e2c67.png$

Comme dans la partie a, isolez l'expression de la valeur absolue. Donc, isolez d'abord$\left| \dfrac{1}{3} x − 6 \right|$ sur le côté gauche de l'équation et appliquez la propriété 1.

$\begin{array} &&4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5 &\text{Given equation} \\ &4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| = 0 &\text{Add \(5$aux deux côtés de l'équation} \ \ & \ left| \ dfrac {1} {3} x − 6 \ right| = 0 & \ text {Diviser par$4$ les deux côtés de l'équation} \ end {array} \)

La valeur absolue est isolée. Comme$0$ c'est le seul nombre dont la valeur absolue est$0$, l'expression$\dfrac{1}{3}x − 6$ doit être égale à$0$. Donc,

$\begin{array} &&\dfrac{1}{3}x − 6 = 0 & \\ &\dfrac{1}{3}x − 6 &\text{Add \(6$aux deux côtés de l'équation} \ \ &x = 18 & \ text {Multipliez les deux côtés par$3$} \ end {array} \)

La solution est$18$ et l'ensemble de solutions l'est$\{18\}$. Vérifiez qu'elle est conforme à l'équation d'origine. Le graphique de l'ensemble de solutions est illustré dans la figure ci-dessous.

$clipboard_e2acd5153df84bfef5569962926db627b.png$

$|4x − 7| = |x + 14|$Notez que pour résoudre$|4x − 7| = |x + 14|$, utilisez la propriété 2 avec$a = 4x − 7$ et$b = x + 14$.

$\begin{array} && &|4x − 7| = |x + 14| & &\text{Given} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −(x + 14) &\text{Property 2} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −x − 14 &\text{Distribute \(−1$pour simplifier la bonne équation} \ \ &4x = x + 21 & \ text {ou} &4x = −x − 7 & \ text {Ajoutez$7$ des deux côtés de chaque égalité} \ \ &3x = 21 & \ text {ou} &5x = −7 & \ text {Simplifier} \ \ &x = 7 & \ text {ou} &x = − \ dfrac {7} {5} & x = − \ dfrac {5} \ & texte {Divisez chaque équation par le$x$ -coefficient} \ end {array} \)

Vérifiez les solutions$x = −\dfrac{7}{5}$ et$x = 7$ en les substituant dans l'équation de valeur absolue d'origine. L'ensemble de solutions est$\left\{ −\dfrac{7}{5}, 7\right\}$. Le graphique de la solution est illustré dans la figure ci-dessous.

$clipboard_eb0f0ab26e578678046e463bf1d8ac854.png$

Exercice Template:index

Résolvez chaque équation, vérifiez la solution et représentez graphiquement l'ensemble de solutions.

$|x| = 19$
$|x − 4| = 10$
$|2x − 5| = 12$
$\left|\dfrac{x}{11} \right| = 2.5$
$|x − 3.8| = −2.7$
$|3x − 4.5| = 9.3$
$\dfrac{8}{3} |x − 6| = 14$
$|x + 15| − 19 = 7$
$|11x + 3| + 28 = 16$
$ \left| \dfrac{8}{7} x + 9 \right| − 2 = 8$
$ −3|2x − 7| + 13 = 13$
$ 8 − 5|10x + 6| = 5$
$ |5x − 14| = |3x − 9|$
$ |15x| = |x − 21|$
$ |4x − 7| = |5(2x + 3)|$
$ \dfrac{7}{8} = \dfrac{3x}{2} + \dfrac{2x}{5}$