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4.6: बहुपद कार्य

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    168343
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    एक बहुपद कार्य एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसे सामान्य रूप में लिखा जा सकता है:

    \(f(x) = a_n x^n + a_{n−1} x^{n−1 }+ ... + a_1x + a_0\)

    गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए\(n\), जिसे बहुपद की डिग्री कहा जाता है। गुणांक\(a_0\),,\(a_1\)\(\ldots\), और प्रमुख गुणांक के साथ वास्तविक संख्याएं हैं\(a_n \neq 0\)। बहुपद कार्य का डोमेन है\((−\infty , \infty )\)। डिग्री के बहुपद कार्य का ग्राफ अधिकांश\(n\) समय में एक्स-अक्ष को काट\(n\) सकता है। ये बहुपद कार्य की जड़ें हैं।

    इस अनुभाग में कोई उदाहरण या होमवर्क नहीं है।

    द्विघात कार्य

    परिभाषा: प्रपत्र का एक कार्य

    \(f(x) = ax^2 + bx + c\)कहाँ\(a\neq 0\)

    मानक रूप में एक वर्गबद्ध फ़ंक्शन है, और इसका ग्राफ़ एक पैराबोला है। जब प्रमुख गुणांक\(a\), सकारात्मक होता है, तो क्वाड्रैटिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ ऊपर की ओर खुलता है। जब प्रमुख गुणांक\(a\), ऋणात्मक होता है, तो क्वाड्रैटिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ नीचे की ओर खुलता है।

    उदाहरण Template:index

    एक आयताकार समन्वय प्रणाली\(f(x) = −x^2 + 5x + 3\) में एक ग्राफ स्केच करें। वर्टेक्स, एक्स-इंटरसेप्ट (एस) और वाई-इंटरसेप्ट बीजगणितीय रूप से ढूंढें।

    समाधान

    \(a = −1\),\(b = 5\) और के\(\left(\dfrac{-b}{2 a}, f\left(\dfrac{-b}{2 a}\right)\right)\) साथ गणना करके शीर्ष का पता लगाएं\(c = 3\)

    \ (\ शुरू करें {संरेखित}
    \ बाएं (\ dfrac {-b} {2 a}, f\ left (\ dfrac {-b} {2 a}\ right) &=&&\ text {पैराबोला का शीर्ष ढूंढें}\
    \ dfrac {-5} {2 (-1)} &=\
    \ dfrac {5} {2} &=2.5\ text {सरल बनाएं}\\
    \ dfrac {-5} {2 (-1)} &=2.5\\
    f (2.5) &=- (2.5) ^ {2} +5 (2.5) +3=9.25=&& f\ बाएं (\ dfrac {-b} {2 a}\ दाएं) = 9.25\\\ बाएं (\ dfrac {-b} {2 a} {2 a} {2 a} {2 a} {2 a\ दाएं)\ दाएं) और =( 2.5,9.25) &&\ text {पैराबोला का वर्टेक्स}
    \ end {संरेखित}\)

    इंटरसेप्ट्स खोजने के लिए:

    \ (\ शुरू करें {संरेखित} 0&=-x^ {2} +5 x+3 &&\ text {x-intercept, set} f (x) =0\\ 0&=-x^ {2} +5 x+3 &&\ टेक्स्ट {इस समीकरण को हल करने के लिए वर्गबद्ध सूत्र का उपयोग करें (इसे फ़ैक्टर नहीं किया जा सकता है)। Let} a=-1, b=5, c=3\ x&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {(5) ^ {2} -4 (-1)} {2 (-1)} {2 (-1)} &&\ टेक्स्ट {क्वाड्रैटिक फॉर्मूला
    }\\ x&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {37}} {-2} &&\ text {सरल बनाएं}\\
    x&=-0.54\ text {या} x=5.54 &&\ text {इस वर्गबद्ध फ़ंक्शन में दो रूट (एक्स-इंटरसेप्ट्स) हैं। }\\ f (0) &=-0^ {2} +5 (0) +3 &&\ text {y-intercept, सेट} x=0\\ f (0) &=3 &&\ text {y-intercept}\ end {संरेखित}\)

    चार ऑर्डर किए गए जोड़े को ग्राफ़ करें, और यदि आवश्यक हो तो अधिक ऑर्डर किए गए जोड़े की गणना करें:\((2.5, 9.25)\)\((−.54, 0)\),\((5.54, 0)\),,\((0, 3)\)

    clipboard_e625cf2e8fcfd373b2138939bfc837a7d.png
    चित्र Template:index
    व्यायाम Template:index
    1. \(f(x) = 2x ^2 − 5x − 5\)
    2. \(f(x) = 0.5x ^2 − 6x + 21\)
    3. \(f(x) = −4x ^2 − 8x − 3\)
    4. \(f(x) = −4x^ 2 + 16x − 15\)
    5. \(f(x) = x^ 2 − 8x + 12\)
    6. \(f(x) = −7x^ 2 + 100x − 10\)

    घन और उच्चतर ऑर्डर फ़ंक्शंस

    परिभाषा: घन फ़ंक्शन

    एक घन फ़ंक्शन एक तृतीय-डिग्री बहुपद फ़ंक्शन है जिसे सामान्य रूप में लिखा जा सकता है:

    \(f(x) = a_3x^ 3 + a_2x^2 + a_1x + a_0\)

    घन फ़ंक्शन की डिग्री के रूप में 3 के साथ। गुणांक\(a_0\),,\(a_1\)\(a_2\), प्रमुख गुणांक के साथ वास्तविक संख्याएं\(a_3\) हैं\(a_3 \neq 0\)। एक घन फ़ंक्शन का डोमेन है\((−\infty , \infty )\)

    उदाहरण Template:index

    यदि संभव हो तो फैक्टर और समाधान की तालिका बनाकर फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें:

    \(f(x) = x^3 − 4x^2 + 6x − 1\)

    समाधान

    यह बहुपद डिग्री 3 का है, और इसका कारक बनना मुश्किल है। ग्राफ़ के लिए समाधान की एक तालिका बनाएं।

    clipboard_e63b46fb7a7a7500d56489bc1864a28e4.png
    चित्र Template:index
    के लिए समाधान तालिका\(f(x) = x^3 − 4x^2 + 6x − 1\)
    \(x\) \(f(x)\)
    -2 \(f(−2) = (−2)^3 − 4(−2)^2 + 6(−2) − 1 = −37\)
    -1 \(f(−1) = (−1)^3 − 4(−1)^2 + 6(−1) − 1 = −12\)
    0 \(f(0) = (0)^3 − 4(0)^2 + 6(0) − 1 = −1\)
    1 \(f(1) = (1)^3 − 4(1)^2 + 6(1) − 1 = 2\)
    दो \(f(2) = (2)^3 − 4(2)^2 + 6(2) − 1 = 3\)
    उदाहरण Template:index

    यदि संभव हो तो फैक्टर और समाधान की तालिका बनाकर फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें:

    \(g(x)=x^4-16\)

    समाधान

    यह बहुपद डिग्री 4 का है, और क्योंकि यह वर्गों का अंतर है, इसलिए इसे बहुपद के शून्य का पता लगाने के लिए द्विपद के उत्पाद में शामिल किया जा सकता है। ग्राफ़ के लिए समाधान की एक तालिका बनाएं।

    \(\begin{aligned} g(x)&=\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right) && \text{Factoring into the sum and difference of binomials.} \\ g(x)&=(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right) && \text{Further factoring. Set each binomial equal to zero to find the real number zeroes of the polynomial.} \\ x-2&=0, x=2 && \text{The first real number zero of the polynomial, }(2,0) \\ x+2&=0, x=-2 &&\text{The second real number zero of the polynomial, } (2,0) \\ x^{2}+4&=0, x^{2}=-4 && \text{The third binomial factor does not produce real number zeroes, } \\ & &&\text{because no number squared can result in a negative value.} \end{aligned}\)

    clipboard_e3a8186034b537bd9e90a75589196bb99.png
    चित्र Template:index
    के लिए समाधान तालिका\(g(x)=x^4-16\)
    \(x\) \(g(x)\)
    -2 \(g(−2) = (−2)^4 − 16 = 16 − 16 = 0\)
    -1 \(g(−1) = (−1)^4 − 16 = 1 − 16 = −15\)
    0 \(g(0) = (0)^4 − 16 = 0 − 16 = −16\)
    1 \(g(1) = g(1) = (1)^4 − 16 = 1 − 16 = −15\)
    दो \(g(2) = g(2) = (2)^4 − 16 = 16 − 16 = 0\)
    उदाहरण Template:index

    यदि संभव हो तो फैक्टर और समाधान की तालिका बनाकर फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें:

    \(f(x) = x ^6 − 5x ^2 + 3\)

    समाधान

    यह बहुपद 6 डिग्री का है, और इसे कारक बनाना मुश्किल है। ग्राफ़ के लिए समाधान की एक तालिका बनाएं।

    clipboard_e1d16c8f96ce4e763f64388c5d76040af.png
    चित्र Template:index
    के लिए समाधान तालिका\(f(x) = x ^6 − 5x ^2 + 3\)
    \(x\) \(f(x)\)
    -2 \(f(−2) = (−2)^6 − 5(−2)^2 + 3 = 47\)
    -1 \(f(−1) = (−1)^6 − 5(−1)^2 + 3 = −1\)
    0 \(f(0) = (0)^6 − 5(0)^2 + 3 = 3\)
    1 \(f(1) = (1)^6 − 5(1)^2 + 3 = −1\)
    दो \(f(2) = (2)^6 − 5(2)^2 + 3 = 47\)
    व्यायाम Template:index
    1. \(f(x) = x^3 − 27\)
    2. \(g(x) = 81x ^4 − 16\)
    3. \(h(x) = 2x ^5 − 4x ^2 − 6x + 3\)
    4. \(f(x) = 5x ^6 − 6x ^4 + 5\)

    तर्कसंगत कार्य

    परिभाषा: तर्कसंगत कार्य

    एक तर्कसंगत कार्य एक ऐसा कार्य है जिसे बहुपदों के भागफल के रूप में लिखा जा सकता है।

    \(f(x) = \dfrac{P (x) }{Q(x) }\),\(Q(x) \neq 0\)

    एक चर में बहुपद कहाँ\(P(x)\) और\(Q(x)\) हैं\(x\)। डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का समूह है जैसे कि\(Q(x) \neq 0\)

    उदाहरण Template:index

    फ़ंक्शन के लिए,\(f(x) = \dfrac{9 }{x − 3}\):

    1. फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें
    2. और के लिए फ़ंक्शन का मूल्यांकन\(x = 0\) करें\(x = 2\)
    समाधान

    इस फ़ंक्शन के डोमेन पर ध्यान दें। शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, इसलिए संख्या (ओं) जो भाजक 0 को बनाएगी, उन्हें डोमेन से बाहर रखा जाना चाहिए।

    इस समस्या में, फ़ंक्शन के भाजक में\(x − 3\) है। सेट करें\(x − 3 = 0\) और इसके लिए हल\(x\) करें। यदि\(x = 3\) विभाजन अपरिभाषित है, तो फ़ंक्शन के डोमेन से नंबर 3 को बाहर करें। इसे हमेशा सभी वास्तविक संख्याओं से शुरू करने के बारे में सोचें\((−\infty , \infty )\) और फिर उन मानों को हटा दें जो अपरिभाषित विभाजन का कारण बनेंगे।

    इस फ़ंक्शन का डोमेन है\((−\infty , 3) \cup (3, \infty )\)

    तर्कसंगत कार्यों में अक्सर स्पर्शोन्मुख होते हैं, एक रेखा जो किसी दिए गए वक्र तक लगातार पहुंचती है लेकिन किसी भी सीमित दूरी पर इसे पूरा नहीं करती है। आप गणित 162 के कर्व स्केचिंग सेक्शन में एसिम्प्टोट्स के बारे में जानेंगे।

    समाधान की एक तालिका बनाकर इस फ़ंक्शन का ग्राफ पाया जा सकता है:

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    चित्र Template:index
    के लिए समाधान तालिका\(f(x) = \dfrac{9 }{x − 3}\) डोमेन:\((−\infty , 3) \cup (3, \infty )\)
    \(x\) \(f(x)\)
    -4 \(-\dfrac{9}{7}\)
    -3 \(-\dfrac{3}{2}\)
    -2 \(-\dfrac{9}{5}\)
    -1 \(-\dfrac{9}{4}\)
    0 \(-3\)
    1 \(-\dfrac{9}{2}\)
    दो \(-9\)
    उदाहरण Template:index

    फ़ंक्शन के लिए,\(f(x) = \dfrac{100x}{ x^2 − 3x − 4}\)

    1. फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें
    2. और के लिए फ़ंक्शन का मूल्यांकन\(x = −1\) करें\(x = 3\)
    समाधान

    इस फ़ंक्शन के डोमेन पर ध्यान दें। शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, इसलिए संख्या (ओं) जो भाजक 0 को बनाएगी, उन्हें डोमेन से बाहर रखा जाना चाहिए।

    इस समस्या में, फ़ंक्शन के भाजक में\(x^2 − 3x − 4\) है। प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर प्राप्त करने\((x − 4)(x + 1)\) और सेट करने के लिए वर्गबद्ध अभिव्यक्ति का कारक बनाएं और इसके लिए हल करें\(x\):\(x − 4 = 0\), इसलिए\(x = 4\);\(x + 1 = 0\), इसलिए\(x = −1\)। यदि\(x = 4\) या\(x = −1\), विभाजन अपरिभाषित है, तो फ़ंक्शन के डोमेन से संख्या 4 और −1 को बाहर करें। इसे हमेशा सभी वास्तविक संख्याओं से शुरू करने के बारे में सोचें\((−\infty , \infty )\) और फिर उन मानों को हटा दें जिनके परिणामस्वरूप अपरिभाषित विभाजन होगा।

    इस फ़ंक्शन का डोमेन है\((−\infty , −1) \cup (−1, 4) \cup (4, \infty )\)। समाधान की एक तालिका बनाकर इस फ़ंक्शन का ग्राफ पाया जा सकता है:

    clipboard_e281de07416cad838070d8993ba6d12c7.png
    चित्र Template:index
    के लिए समाधान तालिका\(f(x) = \dfrac{100x}{ x^2 − 3x − 4}\) डोमेन:\((−\infty , −1) \cup (−1, 4) \cup (4, \infty )\)
    \(x\) \(f(x)\)
    -4 -16.67
    -3 -21.429
    -2 −33.33
    -1 अनिश्चित
    0 0
    1 -16.67
    दो −33.33
    3 -75
    4 अनिश्चित
    व्यायाम Template:index
    1. \(f(x) = \dfrac{3x + 6 }{x − 1}\)
    2. \(f(x) = \dfrac{9 }{x^2 − 9}\)
    3. \(f(x) = \dfrac{x^ 2 − 4 }{x^2 − 4x}\)