Skip to main content
Global

10.4: تقييم الدوال اللوغاريتمية ورسمها البياني

  • Page ID
    201630
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • التحويل بين الصورة الأسية واللوغاريتمية
    • تقييم الدوال اللوغاريتمية
    • الدوال اللوغاريتمية للرسم البياني
    • حل المعادلات اللوغاريتمية
    • استخدم النماذج اللوغاريتمية في التطبيقات

    قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

    1. حل:\(x^{2}=81\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 6.46.
    2. تقييم:\(3^{−2}\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع المثال 5.15.
    3. حل:\(2^{4}=3x−5\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع مثال 2.2.

    لقد أمضينا بعض الوقت في العثور على معكوس العديد من الوظائف. يعمل بشكل جيد على «التراجع» عن عملية بعملية أخرى. طرح «التراجع» عن الجمع، والضرب «يلغي» القسمة، مع أخذ الجذر التربيعي «يلغي» التربيع.

    عندما درسنا الدالة الأسية، رأينا أنها واحدة إلى واحدة عندما تجتاز رسوماتها البيانية اختبار الخط الأفقي. هذا يعني أن الدالة الأسية لها معكوس. إذا جربنا الطريقة الجبرية لإيجاد معكوس، فسوف نواجه مشكلة.

    \(f(x)=a^{x}\)

    أعد الكتابة باستخدام\(y=f(x)\).

    \(y=a^{x}\)

    قم بتبادل المتغيرات\(x\) و\(y\).

    \(x=a^{y}\)

    حل لـ\(y\).

    عفوا! ليس لدينا طريقة لحلها\(y\)!

    للتعامل مع هذا، نحدد دالة اللوغاريتم باستخدام القاعدة a لتكون معكوس الدالة الأسية\(f(x)=a^{x}\). نستخدم الترميز\(f^{−1}(x)=log_{a}x\) ونقول أن الدالة العكسية للدالة الأسية هي الدالة اللوغاريتمية.

    تعريف\(\PageIndex{1}\): Logarithmic Function

    الدالة\(f(x)=\log_{a}x\) هي الدالة اللوغاريتمية مع القاعدة وأين\(a\)\(a>0,x>0\) و\(a≠1\).

    \(y=\log _{a} x\)يعادل\(x=a^{y}\)

    التحويل بين الصورة الأسية والصورة اللوغاريتمية

    بما أن المعادلات\(y=\log _{a} x\)\(x=a^{y}\) A متكافئة، يمكننا الانتقال ذهابًا وإيابًا بينهما. غالبًا ما تكون هذه هي الطريقة لحل بعض المعادلات الأسية واللوغاريتمية. للمساعدة في التحويل ذهابًا وإيابًا، دعنا نلقي نظرة فاحصة على المعادلات. انظر الشكل 10.3.1. لاحظ مواضع الأس والقاعدة.

    يوضح هذا الشكل التعبير y يساوي log sub a من x، حيث y هو الأس و a هو الأساس. بجانب هذا التعبير لدينا x يساوي a إلى y، حيث مرة أخرى y هو الأس و a هو الأساس.
    الشكل 10.3.1

    إذا أدركنا أن اللوغاريتم هو الأس، فإنه يجعل التحويل أسهل. قد ترغب في تكرار عبارة «قاعدة الأس أعطنا الرقم».

    مثال\(\PageIndex{1}\)

    تحويل إلى شكل لوغاريتمي:

    1. \(2^{3}=8\)
    2. \(5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\)
    3. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{16}\)

    الحل:

    في الجزء (أ) لدينا 2 إلى 3 قوة تساوي 8، حيث 2 حمراء و3 زرقاء. بعد ذلك، لدينا y الأزرق يساوي السجل الفرعي الأحمر a من x. ثم 3 يساوي اللوغ الفرعي 2 من 8. وبالتالي، إذا كان 2 مكعبًا يساوي 8، فإن 3 يساوي اللوغاريتم الفرعي 2 من 8. في الجزء (ب) لدينا 5 إلى 1 على 2 قوة تساوي الجذر التربيعي لـ 5، حيث 5 أحمر و1 على 2 أزرق. بعد ذلك، لدينا القيمة الزرقاء y تساوي اللوغ الفرعي الأحمر a من x. ثم 1 على 2 يساوي اللوغاريتم الفرعي 5 من الجذر التربيعي لـ 5. وبالتالي، إذا كانت قوة 5 إلى 1 على 2 تساوي الجذر التربيعي لـ 5، فإن 1 على 2 يساوي اللوغاريتم الفرعي 5 من الجذر التربيعي لـ 5. في الجزء (ج) لدينا 1 على 2 مقابل قوة x تساوي 1 على 16، حيث 1 على 2 باللون الأحمر و x باللون الأزرق. بعد ذلك، يكون لدينا y الأزرق يساوي السجل الفرعي الأحمر a من x. ثم x يساوي السجل الفرعي 1 على 2 من 1 على 16. وبالتالي، إذا كان 1 على 2 إلى قوة x يساوي 1 على 16، فإن x يساوي اللوغاريتم الفرعي 1 على 2 من 1 على 16.
    الشكل 10.3.2
    التمارين\(\PageIndex{1}\)

    تحويل إلى شكل لوغاريتمي:

    1. \(3^{2}=9\)
    2. \(7^{\frac{1}{2}}=\sqrt{7}\)
    3. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=\frac{1}{27}\)
    إجابة
    1. \(\log _{3} 9=2\)
    2. \(\log _{7} \sqrt{7}=\frac{1}{2}\)
    3. \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}=x\)
    التمارين\(\PageIndex{2}\)

    تحويل إلى شكل لوغاريتمي:

    1. \(4^{3}=64\)
    2. \(4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}\)
    3. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{32}\)
    إجابة
    1. \(\log _{4} 64=3\)
    2. \(\log _{4} \sqrt[3]{4}=\frac{1}{3}\)
    3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}=x\)

    في المثال التالي نقوم بعمل العكس - تحويل الشكل اللوغاريتمي إلى الصورة الأسية.

    مثال\(\PageIndex{2}\)

    التحويل إلى الصورة الأسية:

    1. \(2=\log _{8} 64\)
    2. \(0=\log _{4} 1\)
    3. \(-3=\log _{10} \frac{1}{1000}\)

    الحل:

    في الجزء (أ) لدينا 2 يساوي السجل الفرعي 8 من 64، حيث 2 باللون الأزرق و 8 باللون الأحمر. بعد ذلك، لدينا x يساوي الأحمر a إلى قوة y الزرقاء. ثم 64 يساوي 8 مربع. وبالتالي، إذا كان 2 يساوي اللوغاريتم الفرعي 8 من 64، فإن 64 يساوي 8 مربعًا. في الجزء (ب) لدينا 0 يساوي السجل الفرعي 4 من 1، حيث يكون 0 أزرق و 4 باللون الأحمر. بعد ذلك، لدينا x يساوي الأحمر a إلى قوة y الزرقاء. ثم 1 يساوي 4 لقوة الصفر. وبالتالي، إذا كان 0 يساوي اللوغاريتم الفرعي 4 من 1، فإن 1 يساوي 4 إلى القوة الصفرية. في الجزء (ج) لدينا سالب 3 يساوي اللوغاريتم الفرعي 10 من 1 فوق 1000، حيث يكون السالب 3 أزرق و10 أحمر. بعد ذلك، لدينا x يساوي الأحمر a إلى قوة y الزرقاء. ثم 1 فوق 1000 يساوي 10 للقوة السالبة الثلاثة. وبالتالي، إذا كان سالب 3 يساوي اللوغاريتم الفرعي 10 من 1 على 1000، فإن 1 فوق 1000 يساوي 10 إلى القوة السالبة 3.
    الشكل 10.3.3
    التمارين\(\PageIndex{3}\)

    التحويل إلى الصورة الأسية:

    1. \(3=\log _{4} 64\)
    2. \(0=\log _{x} 1\)
    3. \(-2=\log _{10} \frac{1}{100}\)
    إجابة
    1. \(64=4^{3}\)
    2. \(1=x^{0}\)
    3. \(\frac{1}{100}=10^{-2}\)
    التمارين\(\PageIndex{4}\)

    التحويل إلى الصورة الأسية:

    1. \(3=\log _{3} 27\)
    2. \(0=\log _{x} 1\)
    3. \(-1=\log _{10} \frac{1}{10}\)
    إجابة
    1. \(27=3^{3}\)
    2. \(1=x^{0}\)
    3. \(\frac{1}{10}=10^{-1}\)

    تقييم الدوال اللوغاريتمية

    يمكننا حل المعادلات اللوغاريتمية وتقييمها باستخدام تقنية تحويل المعادلة إلى المعادلة الأسية المكافئة لها.

    مثال\(\PageIndex{3}\)

    ابحث عن قيمة\(x\):

    1. \(\log _{x} 36=2\)
    2. \(\log _{4} x=3\)
    3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=x\)

    الحل:

    أ.

    \(\log _{x} 36=2\)

    قم بالتحويل إلى الصورة الأسية.

    \(x^{2}=36\)

    حل الدرجة التربيعية.

    \(x=6, \quad \cancel{x=-6}\)

    يجب أن تكون قاعدة الدالة اللوغاريتمية موجبة، لذلك نزيل\(x=−6\).

    \(x=6 \quad\)لذلك،\(\log _{6} 36=2\)

    ب.

    \(\log _{4} x=3\)

    قم بالتحويل إلى الصورة الأسية.

    \(4^{3}=x\)

    قم بالتبسيط.

    \(x=64 \quad\)لذلك\(, \log _{4} 64=3\)

    ج.

    \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=x\)

    قم بالتحويل إلى الصورة الأسية.

    \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\frac{1}{8}\)

    أعد الكتابة\(\frac{1}{8}\) باسم\(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\).

    \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\)

    باستخدام نفس القاعدة، يجب أن تكون الأسس متساوية.

    \(x=3 \quad\)لذلك\(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}=3\)

    التمارين\(\PageIndex{5}\)

    ابحث عن قيمة\(x\):

    1. \(\log _{x} 64=2\)
    2. \(\log _{5} x=3\)
    3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}=x\)
    إجابة
    1. \(x=8\)
    2. \(x=125\)
    3. \(x=2\)
    التمارين\(\PageIndex{6}\)

    ابحث عن قيمة\(x\):

    1. \(\log _{x} 81=2\)
    2. \(\log _{3} x=5\)
    3. \(\log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}=x\)
    إجابة
    1. \(x=9\)
    2. \(x=243\)
    3. \(x=3\)

    عندما نرى تعبيرًا مثل\(log_{3}27\)، يمكننا العثور على قيمته الدقيقة بطريقتين. من خلال التفتيش ندرك أنه يعني «\(3\)إلى أي قوة ستكون\(27\)»؟ منذ\(3^{3}=27\) ذلك الحين، نعلم\(log_{3}27=3\). الطريقة البديلة هي تعيين التعبير مساويًا\(x\) ثم تحويله إلى معادلة أسية.

    مثال\(\PageIndex{4}\)

    ابحث عن القيمة الدقيقة لكل لوغاريتم بدون استخدام الآلة الحاسبة:

    1. \(\log _{5} 25\)
    2. \(\log _{9} 3\)
    3. \(\log _{2} \frac{1}{16}\)

    الحل:

    أ.

    \(\log _{5} 25\)

    \(5\)إلى أي قوة ستكون\(25\)؟

    \(\log _{5} 25=2\)

    أو

    قم بتعيين التعبير مساويًا لـ\(x\).

    \(\log _{5} 25=x\)

    التغيير إلى الصورة الأسية.

    \(5^{x}=25\)

    أعد الكتابة\(25\) باسم\(5^{2}\).

    \(5^{x}=5^{2}\)

    باستخدام نفس القاعدة، يجب أن تكون الأسس متساوية.

    \(x=2 \quad\)لذلك\(, \log _{5} 25=2\).

    ب.

    \(\log _{9} 3\)

    قم بتعيين التعبير مساويًا لـ\(x\).

    \(\log _{9} 3=x\)

    التغيير إلى الصورة الأسية.

    \(9^{x}=3\)

    أعد الكتابة\(9\) باسم\(3^{2}\).

    \(\left(3^{2}\right)^{x}=3^{1}\)

    قم بتبسيط الأسس.

    \(3^{2 x}=3^{1}\)

    باستخدام نفس القاعدة، يجب أن تكون الأسس متساوية.

    \(2 x=1\)

    حل المعادلة.

    \(x=\frac{1}{2} \quad\)لذلك\(, \log _{9} 3=\frac{1}{2}\).

    ج.

    \(\log _{2} \frac{1}{16}\)

    قم بتعيين التعبير مساويًا لـ\(x\).

    \(\log _{2} \frac{1}{16}=x\)

    التغيير إلى الصورة الأسية.

    \(2^{x}=\frac{1}{16}\)

    أعد الكتابة\(16\) باسم\(2^{4}\).

    \(2^{x}=\frac{1}{2^{4}}\)

    \(2^{x}=2^{-4}\)

    باستخدام نفس القاعدة، يجب أن تكون الأسس متساوية.

    \(x=-4 \quad\)لذلك\(, \log _{2} \frac{1}{16}=-4\).

    التمارين\(\PageIndex{7}\)

    ابحث عن القيمة الدقيقة لكل لوغاريتم بدون استخدام الآلة الحاسبة:

    1. \(\log _{12} 144\)
    2. \(\log _{4} 2\)
    3. \(\log _{2} \frac{1}{32}\)
    إجابة
    1. \(2\)
    2. \(\frac{1}{2}\)
    3. \(-5\)
    التمارين\(\PageIndex{8}\)

    ابحث عن القيمة الدقيقة لكل لوغاريتم بدون استخدام الآلة الحاسبة:

    1. \(\log _{9} 81\)
    2. \(\log _{8} 2\)
    3. \(\log _{3} \frac{1}{9}\)
    إجابة
    1. \(2\)
    2. \(\frac{1}{3}\)
    3. \(-2\)

    الدوال اللوغاريتمية للرسم البياني

    لرسم دالة لوغاريتمية بيانيًا\(y=log_{a}x\)، من الأسهل تحويل المعادلة إلى صورتها الأسية\(x=a^{y}\). بشكل عام، عندما نبحث عن أزواج مرتبة للرسم البياني لدالة، نختار عادةً\(x\) قيمة -ثم نحدد\(y\) قيمة -المقابلة لها. في هذه الحالة، قد تجد أنه من الأسهل اختيار\(y\) -values ثم تحديد\(x\) القيمة المقابلة لها.

    مثال\(\PageIndex{5}\)

    رسم بياني\(y=\log _{2} x\).

    الحل:

    لتمثيل الدالة بيانيًا، سنعيد أولًا كتابة المعادلة اللوغاريتمية\(y=\log _{2} x\)، في الصورة الأسية،\(2^{y}=x\).

    سنستخدم التخطيط النقطي لرسم الدالة بيانيًا. سيكون من الأسهل البدء بقيم\(y\) ثم الحصول عليها\(x\).

    الجدول 10-3-1
    \(y\) \(2^{y}=x\) \((x,y)\)
    \ (y\) ">\(-2\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}\) \ ((x, y)\) ">\((\frac{1}{4},2)\)
    \ (y\) ">\(-1\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}\) \ ((x, y)\) ">\((\frac{1}{2},-1)\)
    \ (y\) ">\(0\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{0}=1\) \ ((x, y)\) ">\((1,0)\)
    \ (y\) ">\(1\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{1}=2\) \ ((x, y)\) ">\((2,1)\)
    \ (y\) ">\(2\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{2}=4\) \ ((x, y)\) ">\((4,2)\)
    \ (y\) ">\(3\) \ (2^ {y} =x\) ">\(2^{3}=8\) \ ((x, y)\) ">\((8,3)\)
    يوضح هذا الشكل المنحنى اللوغاريتمي الذي يمر بالنقاط (1 على 2، سالب 1)، (1، 0)، (2، 1).
    الشكل 10.3.4
    التمارين\(\PageIndex{9}\)

    رسم بياني:\(y=\log _{3} x\).

    إجابة
    يوضح هذا الشكل المنحنى اللوغاريتمي الذي يمر بالنقاط (1 على 3، سالب 1)، (1، 0)، (3، 1).
    الشكل 10.3.5
    التمارين\(\PageIndex{10}\)

    رسم بياني:\(y=\log _{5} x\).

    إجابة
    يوضح هذا الشكل المنحنى اللوغاريتمي الذي يمر بالنقاط (1 على 5، سالب 1)، (1، 0)، (5، 1).
    الشكل 10.3.6

    الرسوم البيانية لـ\(y=\log _{2} x, y=\log _{3} x\) و\(y=\log _{5} x\) هي الشكل الذي نتوقعه من الدالة اللوغاريتمية حيث\(a>1\).

    نلاحظ أن الرسم البياني لكل دالة يحتوي على النقطة\((1,0)\). هذا منطقي لأنه\(0=log_{a}1\) يعني\(a^{0}=1\) ما ينطبق على أي شخص\(a\).

    يحتوي الرسم البياني لكل دالة أيضًا على النقطة\((a,1)\). هذا منطقي\(1=\log _{a} a\) كوسيلة\(a^{1}=a\). وهو ما ينطبق على أي شخص\(a\).

    لاحظ أيضًا أن الرسم البياني لكل دالة يحتوي\(y=\log _{a} x\) أيضًا على النقطة\(\left(\frac{1}{a},-1\right)\). هذا أمر منطقي\(-1=\log _{a} \frac{1}{a}\) كوسيلة\(a^{-1}=\frac{1}{a}\)، وهذا ينطبق على أي شخص\(a\).

    انظر إلى كل رسم بياني مرة أخرى. سنرى الآن أن العديد من خصائص دالة اللوغاريتم هي ببساطة «صور معكوسة» لخصائص الدالة الأسية المقابلة.

    ما مجال الدالة؟ لا يصل الرسم البياني أبدًا إلى\(y\) المحور -. المجال كله عبارة عن أرقام موجبة. نكتب المجال بالتدوين الفاصل الزمني كـ\((0,∞)\).

    ما النطاق لكل وظيفة؟ من الرسوم البيانية يمكننا أن نرى أن النطاق هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية. لا توجد قيود على النطاق. نكتب النطاق في الترميز الفاصل الزمني كـ\((−∞,∞)\).

    عندما يقترب الرسم البياني من\(y\) المحور السيني بشكل وثيق جدًا ولكنه لن يعبره أبدًا، فإننا نسمي الخط\(x=0\)،\(y\) المحور السيني، خط التقارب الرأسي.

    الجدول 10.3.2: خصائص الرسم البياني\(y=\log _{a} x\) للوقت\(a>1\)
    اسم النطاق \((0, \infty)\)
    النطاق \((-\infty, \infty)\)
    \(x\)-اعتراض \((1,0)\)
    \(y\)-اعتراض لا شيء
    يحتوي على \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\)
    خط التقارب \(y\)-محور
    يوضح هذا الشكل المنحنى اللوغاريتمي الذي يمر بالنقاط (1 فوق a، سالب 1)، (1، 0)، (a، 1).
    الشكل 10.3.7

    يبحث المثال التالي في الرسم البياني\(y=log_{a}x\) للوقت\(0<a<1\).

    مثال\(\PageIndex{6}\)

    رسم بياني\(y=\log _{\frac{1}{3}} x\).

    الحل:

    لتمثيل الدالة بيانيًا، سنعيد أولًا كتابة المعادلة اللوغاريتمية\(y=\log _{\frac{1}{3}} x\)، في الصورة الأسية،\(\left(\frac{1}{3}\right)^{y}=x\).

    سنستخدم التخطيط النقطي لرسم الدالة بيانيًا. سيكون من الأسهل البدء بقيم\(y\) ثم الحصول عليها\(x\).

    الجدول 10-3-3
    \(y\) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{y}=x\) \((x,y)\)
    \ (y\) ">\(-2\) \ (\ يسار (\ فراك {1} {3}\ يمين) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^{2}=9\) \ ((x, y)\) ">\((9,-2)\)
    \ (y\) ">\(-1\) \ (\ يسار (\ فراك {1} {3}\ يمين) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3^{1}=3\) \ ((x, y)\) ">\((3,-1)\)
    \ (y\) ">\(0\) \ (\ يسار (\ فراك {1} {3}\ يمين) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{0}=1\) \ ((x, y)\) ">\((1,0)\)
    \ (y\) ">\(1\) \ (\ يسار (\ فراك {1} {3}\ يمين) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{1}=\frac{1}{3}\) \ ((x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{3}, 1\right)\)
    \ (y\) ">\(2\) \ (\ يسار (\ فراك {1} {3}\ يمين) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}\) \ ((x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{9}, 2\right)\)
    \ (y\) ">\(3\) \ (\ يسار (\ فراك {1} {3}\ يمين) ^ {y} =x\) ">\(\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}\) \ ((x, y)\) ">\(\left(\frac{1}{27}, 3\right)\)
    يوضح هذا الشكل المنحنى اللوغاريتمي الذي يمر بالنقاط (1 على 3، 1)، (1، 0)، (3، سالب 1).
    التمارين\(\PageIndex{11}\)

    رسم بياني:\(y=\log _{\frac{1}{2}} x\).

    إجابة
    يوضح هذا الشكل المنحنى اللوغاريتمي الذي يمر بالنقاط (1 على 2، 1)، (1، 0)، (2، سالب 1).
    التمارين\(\PageIndex{12}\)

    رسم بياني:\(y=\log _{\frac{1}{4}} x\).

    إجابة
    يوضح هذا الشكل المنحنى اللوغاريتمي الذي يمر بالنقاط (1 على 4، 1)، (1، 0)، (4، سالب 1).

    الآن، دعونا ننظر إلى الرسوم البيانية\(y=\log _{\frac{1}{4}} x\)،\(y=\log _{\frac{1}{2}} x, y=\log _{\frac{1}{3}} x\) وحتى نتمكن من تحديد بعض خصائص الدوال اللوغاريتمية حيث\(0<a<1\).

    جميع الرسوم البيانية لها نفس الشكل الأساسي. في حين أن هذا هو الشكل الذي نتوقعه من الدالة اللوغاريتمية حيث\(0<a<1\).

    نلاحظ أنه بالنسبة لكل دالة مرة أخرى، يحتوي الرسم البياني على النقاط،\((1,0),(a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\). هذا منطقي لنفس الأسباب التي جادلنا بها أعلاه.

    نلاحظ أن المجال والنطاق متماثلان أيضًا - المجال هو\((0,∞)\) والنطاق هو\((−∞,∞)\). يمثل\(y\) المحور السيني مرة أخرى خط التقارب الرأسي.

    سنلخص هذه الخصائص في الرسم البياني أدناه. والتي تشمل أيضًا متى\(a>1\).

    الجدول 10.3.4: خصائص الرسم البياني لـ\(y=\log _{a} x\)
    عندما\(a>1\) عندما\(0<a<1\)
    \ («>1\)" >المجال \((0, \infty)\) \ (0<a<1\) ">المجال \((0, \infty)\)
    \ («>1\)" >النطاق \((-\infty, \infty)\) \ (0 <a <1\) ">النطاق \((-\infty, \infty)\)
    \ («>1\)" >\(x\) - الاعتراض \((1,0)\) \ (0<a <1\) ">\(x\) -التقاطع \((1,0)\)
    \ («>1\)" >\(y\) - الاعتراض لا شيء \ (0<a <1\) ">\(y\) -التقاطع لا شيء
    \ («>1\)" >يحتوي على \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) \ (0<a<1\) ">يحتوي على \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\)
    \ («>1\)" >التقارب \(y\)-محور \ (0 <a <1\) ">خط التقارب \(y\)-محور
    \ («>1\)" >الشكل الأساسي زيادة \ (0<a<1\) ">الشكل الأساسي تناقص
    يوضح هذا الشكل أنه بالنسبة للعدد الأكبر من 1، يمر المنحنى اللوغاريتمي بالنقاط (1 فوق a، سالب 1)، (1، 0)، (a، 1). يوضح هذا الشكل أنه بالنسبة للعدد الأكبر من 0 وأقل من 1، يمر المنحنى اللوغاريتمي بالنقاط (أ، 1)، (1، 0)، و (1 فوق أ، سالب 1).
    الشكل 10.3.11

    تحدثنا سابقًا عن كيف أن الدالة اللوغاريتمية\(f^{-1}(x)=\log _{a} x\) هي معكوس الدالة الأسية\(f(x)=a^{x}\). تُظهر الرسوم البيانية في الشكل 10.3.12 كلاً من الدوال الأسية (الزرقاء) واللوغاريتمية (الحمراء) على نفس الرسم البياني لكل من\(a>1\) و\(0<a<1\).

    يوضح هذا الشكل أنه بالنسبة للعدد الأكبر من 1، يمر المنحنى اللوغاريتمي بالنقاط (1 فوق a، سالب 1)، (1، 0)، (a، 1). كما يُظهر المنحنى الأسي الذي يمر بالنقاط (1، 1 فوق أ)، (0، 1)، (1، أ) جنبًا إلى جنب مع الخط y يساوي x. المنحنى اللوغاريتمي هو صورة معكوسة للمنحنى الأسي عبر y يساوي x. يوضح هذا الشكل أنه بالنسبة للعدد الأكبر من 0 وأقل من 1، يمر المنحنى اللوغاريتمي بالنقاط (أ، 1)، (1، 0)، و (1 فوق أ، سالب 1). كما يُظهر المنحنى الأسي الذي يمر بالنقاط (سالب 1، 1 فوق a)، (0، 1)، (1، أ) جنبًا إلى جنب مع الخط y يساوي x. المنحنى اللوغاريتمي هو صورة معكوسة للمنحنى الأسي عبر y يساوي x.
    الشكل 10.3.12

    لاحظ كيف أن الرسوم البيانية هي انعكاسات لبعضها البعض من خلال الخط\(y=x\). نحن نعلم أن هذا ينطبق على الدوال العكسية. سيساعدك وضع صورة مرئية في ذهنك لهذه الرسوم البيانية على تذكر مجال ونطاق كل وظيفة. لاحظ أن\(x\) المحور السيني هو خط التقارب الأفقي للدوال الأسية\(y\) والمحور السيني هو خط التقارب الرأسي للدوال اللوغاريتمية.

    حل المعادلات اللوغاريتمية

    عندما تحدثنا عن الدوال الأسية، قدمنا العدد\(e\). تمامًا كما\(e\) كانت قاعدة للدالة الأسية، يمكن استخدامها كأساس للدوال اللوغاريتمية أيضًا. تسمى الدالة اللوغاريتمية ذات القاعدة\(e\) بالدالة اللوغاريتمية الطبيعية. تتم كتابة الوظيفة\(f(x)=\log _{e} x\) بشكل عام\(f(x)=\ln x\) ونقرأها باسم «el en of»\(x\).

    تعريف\(\PageIndex{2}\): Natural Logarithmic Function

    الدالة\(f(x)=\ln x\) هي الدالة اللوغاريتمية الطبيعية مع القاعدة\(e\)، أين\(x>0\).

    \(y=\ln x\)يعادل\(x=e^{y}\)

    عندما تكون قاعدة دالة اللوغاريتم\(10\)، فإننا نسميها الدالة اللوغاريتمية الشائعة ولا تظهر القاعدة. إذا لم يتم عرض قاعدة\(a\) اللوغاريتم، فإننا نفترض ذلك\(10\).

    تعريف\(\PageIndex{3}\): Common Logarithmic Function

    الدالة\(f(x)=\log x\) هي الدالة اللوغاريتمية الشائعة مع القاعدة\(10\)، أين\(x>0\).

    \(y=\log x\)يعادل\(x=10^{y}\)

    سيكون من المهم بالنسبة لك استخدام الآلة الحاسبة لتقييم اللوغاريتمات الشائعة والطبيعية. ابحث عن السجل ومفاتيح ln في الآلة الحاسبة الخاصة بك.

    لحل المعادلات اللوغاريتمية، تتمثل إحدى الإستراتيجيات في تغيير المعادلة إلى الصورة الأسية ثم حل المعادلة الأسية كما فعلنا من قبل. عندما نحل المعادلات اللوغاريتمية\(y=log_{a}x\)، نحتاج إلى تذكر ذلك بالنسبة للقاعدة\(a\)،\(a>0\) و\(a≠1\). كما أن المجال هو\(x>0\). كما هو الحال مع المعادلات الجذرية، يجب علينا التحقق من حلولنا لإزالة أي حلول خارجية.

    مثال\(\PageIndex{7}\)

    حل:

    1. \(\log _{a} 49=2\)
    2. \(\ln x=3\)

    الحل:

    أ.

    \(\log _{a} 49=2\)

    أعد الكتابة في الصورة الأسية.

    \(a^{2}=49\)

    حل المعادلة باستخدام خاصية الجذر التربيعي.

    \(a=\pm 7\)

    لا يمكن أن تكون القاعدة سلبية، لذلك نزيل\(a=-7\).

    \(a=7, \quad \cancel{a=-7}\)

    تحقق. \(a=7\)

    \(\begin{aligned} \log _{a} 49&=2 \\ \log_{7}49&\stackrel{?}{=}2 \\ 7^{2}&\stackrel{?}{=}49 \\ 49&=49 \end{aligned}\)

    ب.

    \(\ln x=3\)

    أعد الكتابة في الصورة الأسية.

    \(e^{3}=x\)

    تحقق. \(x=e^{3}\)

    \(\begin{aligned} \ln x &=3 \\ \ln e^{3} & \stackrel{?}{=} 3 \\ e^{3} &=e^{3} \end{aligned}\)

    التمارين\(\PageIndex{13}\)

    حل:

    1. \(\log _{a} 121=2\)
    2. \(\ln x=7\)
    إجابة
    1. \(a=11\)
    2. \(x=e^{7}\)
    التمارين\(\PageIndex{14}\)

    حل:

    1. \(\log _{a} 64=3\)
    2. \(\ln x=9\)
    إجابة
    1. \(a=4\)
    2. \(x=e^{9}\)
    مثال\(\PageIndex{8}\)

    حل:

    1. \(\log _{2}(3 x-5)=4\)
    2. \(\ln e^{2 x}=4\)

    الحل:

    أ.

    \(\log _{2}(3 x-5)=4\)

    أعد الكتابة في الصورة الأسية.

    \(2^{4}=3 x-5\)

    قم بالتبسيط.

    \(16=3 x-5\)

    حل المعادلة.

    \(21=3 x\)

    \(7=x\)

    تحقق. \(x=7\)

    \(\begin{aligned} \log _{2}(3 x-5)&=4 \\ \log_{2}(3\cdot7-5)&\stackrel{?}{=}4\\ \log_{2}(16)&\stackrel{?}{=}4 \\ 2^{4}& \stackrel{?}{=}16 \\ 16&=16 \end{aligned}\)

    ب.

    \(\ln e^{2 x}=4\)

    أعد الكتابة في الصورة الأسية.

    \(e^{4}=e^{2 x}\)

    نظرًا لأن القواعد هي نفسها، فإن الأسس متساوية.

    \(4=2 x\)

    حل المعادلة.

    \(2=x\)

    تحقق. \(x=2\)

    \(\begin{aligned} \ln e^{2 x} &=4 \\ \ln e^{2 \cdot 2} & \stackrel{?}{=} 4 \\ \ln e^{4} &=4 \\ e^{4} &=e^{4} \end{aligned}\)

    التمارين\(\PageIndex{15}\)

    حل:

    1. \(\log _{2}(5 x-1)=6\)
    2. \(\ln e^{3 x}=6\)
    إجابة
    1. \(x=13\)
    2. \(x=2\)
    التمارين\(\PageIndex{16}\)

    حل:

    1. \(\log _{3}(4 x+3)=3\)
    2. \(\ln e^{4 x}=4\)
    إجابة
    1. \(x=6\)
    2. \(x=1\)

    استخدم النماذج اللوغاريتمية في التطبيقات

    هناك العديد من التطبيقات التي تم تصميمها بواسطة المعادلات اللوغاريتمية. سننظر أولاً إلى المعادلة اللوغاريتمية التي تعطي مستوى الديسيبل (dB) للصوت. تتراوح وحدات الديسيبل بين\(0\)، والتي بالكاد يمكن سماعها\(160\)، والتي يمكن أن تمزق طبلة الأذن. تمثل الصيغة\(10^{−12}\) في شدة الصوت الذي بالكاد يمكن سماعه.

    تعريف\(\PageIndex{4}\)

    مستوى الصوت بالديسيبل

    يُقاس مستوى جهارة الصوت بالديسيبل، الذي يُقاس بالديسيبل\(I\)، بالواط لكل بوصة مربعة\(D\)

    \(D=10 \log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\)

    مثال\(\PageIndex{9}\)

    يمكن أن يتسبب التعرض المطول للضوضاء التي تقيس\(85\) ديسيبل في تلف دائم للأذن الداخلية مما يؤدي إلى فقدان السمع. ما هو مستوى الديسيبل للموسيقى التي تأتي عبر سماعات الأذن\(10^{−2}\) بقوة الواط لكل بوصة مربعة؟

    الحل:

      .
    استبدل في مستوى الكثافة،\(I\). .
    قم بالتبسيط. .
    منذ\(\log 10^{10}=10\). .
    اضرب. .
      مستوى الديسيبل للموسيقى القادمة من خلال سماعات الأذن هو\(100\) dB.
    التمارين\(\PageIndex{17}\)

    ما هو مستوى الديسيبل لإحدى غسالات الصحون الهادئة الجديدة بكثافة\(10^{−7}\) الواط لكل بوصة مربعة؟

    إجابة

    تتميز غسالات الصحون الهادئة بمستوى\(50\) ديسيبل.

    التمارين\(\PageIndex{18}\)

    ما هو مستوى الديسيبل لحركة المرور الكثيفة في المدينة بكثافة\(10^{−3}\) الواط لكل بوصة مربعة؟

    إجابة

    مستوى الديسيبل لحركة المرور الكثيفة هو\(90\) dB.

    يتم قياس\(R\) حجم الزلزال بمقياس لوغاريتمي يسمى مقياس ريختر. النموذج هو\(R=\log I\)، أين\(I\) شدة موجة الصدمة. يوفر هذا النموذج طريقة لقياس شدة الزلازل.

    تعريف\(\PageIndex{5}\): Earthquake Intensity

    يتم قياس\(R\) حجم الزلزال من خلال\(R=\log I\)، أين\(I\) هي شدة موجة الصدمة.

    مثال\(\PageIndex{10}\)

    في عام 1906، شهدت سان فرانسيسكو زلزالًا شديدًا بلغت قوته\(7.8\) على مقياس ريختر. تم تدمير أكثر من\(80\)% من المدينة بسبب الحرائق الناتجة. في عام 2014، شهدت لوس أنجلوس زلزالًا معتدلًا تم قياسه\(5.1\) على مقياس ريختر وتسبب في أضرار\(108\) بقيمة مليون دولار. قارن شدة الزلزالين.

    الحل:

    لمقارنة الكثافة، نحتاج أولاً إلى تحويل المقادير إلى شدة باستخدام صيغة اللوغاريتمات. ثم سنقوم بإعداد نسبة لمقارنة الكثافة.

    قم بتحويل المقادير إلى شدة.

    \(R=\log I\)

    زلزال 1906

    \(7.8=\log I\)

    قم بالتحويل إلى الصورة الأسية.

    \(I=10^{7.8}\)

    زلزال 2014

    \(5.1=\log I\)

    قم بالتحويل إلى الصورة الأسية.

    \(I=10^{5.1}\)

    تشكل نسبة الشدة.

    \(\frac{\text { Intensity for } 1906}{\text { Intensity for } 2014}\)

    استبدل القيم.

    \(\frac{10^{7.8}}{10^{5.1}}\)

    قم بالقسمة بطرح الأسس.

    \(10^{2.7}\)

    تقييم.

    \(501\)

    كانت شدة زلزال 1906 حوالي\(501\) أضعاف شدة زلزال 2014.

    التمارين\(\PageIndex{19}\)

    في عام 1906، شهدت سان فرانسيسكو زلزالًا شديدًا بلغت قوته\(7.8\) على مقياس ريختر. في عام 1989، أثر زلزال لوما بريتا أيضًا على منطقة سان فرانسيسكو، وتم قياسه\(6.9\) على مقياس ريختر. قارن شدة الزلزالين.

    إجابة

    كانت شدة زلزال 1906 حوالي\(8\) أضعاف شدة زلزال 1989.

    التمارين\(\PageIndex{20}\)

    في عام 2014، شهدت تشيلي زلزالًا شديدًا بلغت قوته\(8.2\) على مقياس ريختر. في عام 2014، شهدت لوس أنجلوس أيضًا زلزالًا تم قياسه\(5.1\) على مقياس ريختر. قارن شدة الزلزالين.

    إجابة

    كانت شدة الزلزال في تشيلي حوالي\(1,259\) أضعاف شدة الزلزال في لوس أنجلوس.

    يمكنك الوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسة إضافية في تقييم الوظائف اللوغاريتمية ورسمها بيانيًا.

    المفاهيم الرئيسية

    • خصائص الرسم البياني لـ\(y=\log _{a} x\):
    عندما\(a>1\) عندما\(0<a<1\)
    \ («>1\)" >المجال \((0, \infty)\) \ (0<a<1\) ">المجال \((0, \infty)\)
    \ («>1\)" >النطاق \((-\infty, \infty)\) \ (0 <a <1\) ">النطاق \((-\infty, \infty)\)
    \ («>1\)" >\(x\) - الاعتراض \((1,0)\) \ (0<a <1\) ">\(x\) -التقاطع \((1,0)\)
    \ («>1\)" >\(y\) - الاعتراض لا شيء \ (0<a <1\) ">\(y\) -التقاطع لا شيء
    \ («>1\)" >يحتوي على \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\) \ (0<a<1\) ">يحتوي على \((a, 1),\left(\frac{1}{a},-1\right)\)
    \ («>1\)" >التقارب \(y\)-محور \ (0 <a <1\) ">خط التقارب \(y\)-محور
    \ («>1\)" >الشكل الأساسي زيادة \ (0<a<1\) ">الشكل الأساسي تناقص
    يوضح هذا الشكل أنه بالنسبة للعدد الأكبر من 1، يمر المنحنى اللوغاريتمي بالنقاط (1 فوق a، سالب 1)، (1، 0)، (a، 1). يوضح هذا الشكل أنه بالنسبة للعدد الأكبر من 0 وأقل من 1، يمر المنحنى اللوغاريتمي بالنقاط (أ، 1)، (1، 0)، و (1 فوق أ، سالب 1).
    الشكل 10.3.11
    • مستوى الصوت بالديسيبل: يُقاس مستوى الصوت بالديسيبل، الذي يُقاس بالديسيبل\(I\)، بالواط لكل بوصة مربعة هو\(D=10 \log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\).\(D\)
    • شدة الزلزال: يتم قياس\(R\) حجم الزلزال من خلال\(R=\log I\)، أين\(I\) شدة موجة الصدمة.

    مسرد المصطلحات

    دالة لوغاريتمية شائعة
    الدالة\(f(x)=\log x\) هي الدالة اللوغاريتمية الشائعة مع القاعدة\(10\)، أين\(x>0\).

    \(y=\log x\)يعادل\(x=10^{y}\)

    دالة لوغاريتمية
    الدالة\(f(x)=\log _{a} x\) هي الدالة اللوغاريتمية مع القاعدة وأين\(a\)\(a>0,x>0\) و\(a≠1\).

    \(y=\log _{a} x\)يعادل\(x=a^{y}\)

    دالة لوغاريتمية طبيعية
    الدالة\(f(x)=\ln x\) هي الدالة اللوغاريتمية الطبيعية مع القاعدة\(e\)، أين\(x>0\).

    \(y=\ln x\)يعادل\(x=e^{y}\)