18.2: דוגמה של מין אחד

Last updated
Save as PDF

Page ID: 207964

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

כדי לראות את הרעיון הבסיסי, התחל עם מין יחיד. עם פרמטרים משתנים, ניתן לכתוב את גידול האוכלוסייה למין בודד באופן הבא, כאשר קצב הגידול \(r\) ומונח התלות בצפיפות \(s\) תלויים ברמת האוכלוסייה \(N\) ובאופן אופציונלי בזמן\(t\).

\[\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}\,=\,r(N,t)\,+\,s(N,t)N\]

מכיוון שכל דבר יכול להיות מוטבע במונח\(r(N,t)\), או המקביל\(s(N,t)\), המשוואה היא כללית לחלוטין ויכולה לכסות כל מצב אקולוגי עבור מין בודד שעוצב על ידי משוואה דיפרנציאלית. דוגמה בסיסית, שכבר ראית לגידול האוכלוסייה האנושית, היא המקום בו הפרמטרים קבועים בערך לתקופות ארוכות, אך משתנים באירועי "פיצול" מסוימים. הפרמטרים לגידול האוכלוסייה האנושית השתנו בפתאומיות בתחילת העידן המודרני, וכתוצאה מכך דינמיקת האוכלוסייה הכוללת לא הייתה אורתולוגית ולא לוגיסטית, אלא שילוב חלקי של השניים. במקרה זה השניים התמזגו על ידי שינוי הפרמטרים כדלקמן.

\(\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}\,=\begin{cases}-&0.001185\,&+\,0.00684N,\,&\text{when}\,N\leq\,3.28\,\text{billion}\\&0.03077\,&-\,0.00289N,\,&\text{when}\,N\gt\,3.28\,\text{billion}\end{cases}\)

זה הוביל לעקומת גידול האוכלוסייה של איור 6.3, שעיצבה יפה את גידול האוכלוסייה האנושית לאורך מאות שנים.

גידול האוכלוסייה האנושית קרא למיזוג חלקי של הפרמטרים, מכיוון שהפרמטרים השתנו באופן פתאומי למדי ממערך קבוע אחד למשנהו. ניתן גם לערבב את הפרמטרים ברציפות לפרמטרים המשתנים בהדרגה.

לדוגמה, קח משוואה אורתולוגית,\(1/N\,dN/dt\,=\,−2+2N\), ומשוואה לוגיסטית,\(1/N\,dN/dt\,=\,4−2N\), ושקול \(N\) שכן היא נעה בין 0 ל -1. בקש מהמשוואה האורתולוגית להחיל בדיוק כמו \(N\) גישות 0, והמשוואה הלוגיסטית תחול בדיוק כאשר N מגיע ל -1. לאחר מכן תן \(r\) לשנות באופן אחיד מ -2 ל +4 \(s\) ולשנות באופן אחיד מ -2 ל -2 כפי \(N\) שעובר מ -0 ל -1, כדלקמן.

\(r(N,t)\,=6N-2\\s(N,t)\,=-4N+2\)

חיבור זה למשוואה 18.1 נותן

\[\begin{align}\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}&=\,(6N-2)\,+\,(-4N+2)N\\&\,=\,-2\,+\,8N\,-4N^2\\&\,=\,r\,+\,sN\,=s_2N^2\end{align}\]

מיזוג מסוג זה בין אורתולוגיסטי ללוגיסטי פשוט הוסיף מונח אחד נוסף למשוואת גידול האוכלוסייה, מונח \(N^2\) - אחד המונחים שהציע האצ'ינסון (משוואה 4.2). התוצאה מוצגת בתרשים באיור\(\PageIndex{1}\).

equations.JPG אורתולוגי ולוגיסטי — איור\(\PageIndex{1}\). משוואות אורתולוגיות ולוגיסטיות מעורבבות בצורה חלקה.

זה משלב בצורה חלקה את האורתולוגיסט, שיש לו נקודת Allee אך ללא יכולת נשיאה, עם הלוגיסטי, בעל כושר נשיאה ללא נקודת Allee, המספק את שניהם בעקומה המעורבת של איור. \(\PageIndex{1}\) לעקומה יש נקודת Allee בערך \(N\,=\,0.3\) ויכולת נשיאה בערך\(N\,=\,1.7\). השווה זאת עם המיזוג החתיכה המתואר קודם לכן באיור 4.4.