Skip to main content
Global

17.2: דיאגרמות שלב

  • Page ID
    208035
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    ניתן לדמיין את העקרונות בתרשימי פאזה, כאשר חיצים מראים כיצד אוכלוסיות משתנות. מוקדם יותר, איור 10.11 הראה תחרות חזקה עם דו קיום בשיווי משקל, כפי שיכול להיות אם המין מתחרה על שני משאבים שונים. עם זאת, כל מין מגביל את השני לרמות נמוכות בהרבה ממה שהוא יכול לשמור בעצמו. תחרות חלשה יותר פירושה שכל מין מוגבל פחות כך שכל אחד יכול לשמור על רמות גבוהות יותר, כמו באיור 17.1.2. אתה יכול לדעת שזו תחרות מכיוון ששני הפרמטרים \(s_{1,2}\) \(s_{2,1}\) ושניהם שליליים. זה מוצג במדרונות השליליים של שתי הדיאגרמות בפינה השמאלית העליונה. כושר הנשיאה של כל מין יחד מצטמצם רק במעט מיכולות הנשיאה הבודדות, שיהיו בערך 1.2 עבור מינים 1 החיים לבד וכ -0.8 עבור מינים 2 החיים לבד. (לדוגמה, ממוצע של 1.2 פרטים למ"ר, או 1,200,000 פרטים לקילומטר רבוע אם נמדדים במיליונים). עם זאת, עבור מינים החיים יחד, כושר הנשיאה של כל אחד מהם מופחת מעט, אולי 10 עד 20 אחוזים.

    במקרה זה, אגב, לשני המינים יחד יש אוכלוסייה כוללת גבוהה יותר ממה שהיה קורה אם אחד מהם היה חי לבד. זה נקרא "מניב יתר", והוא נושא חוזר במחקרים על קהילות צמחים.

    איור 17.1.3 מציג מצב דומה, אך כעת עם מונחי האינטראקציה בין המינים \(s_{1,2}\) \(s_{2,1}\) ושניהם חיוביים, המוצגים על ידי המדרונות החיוביים בשתי הדיאגרמות השמאליות העליונות של האיור. זה נראה די דומה לאיור 17.1.2, אבל השניים יחד הם כל אחד בשפע יותר ממה שהם יהיו בנפרד - שיווי המשקל המשותף גדול יותר מיכולות הנשיאה האישיות.

    ניתן לחשב שיווי משקל משותף זה מהפרמטרים \(r_i\) \(s_{i,j}\) והפרמטרים. זה יתרחש כאשר הצמיחה של כל מין מגיעה בו זמנית ל-0. אתה יכול למצוא את הערך המספרי לשיווי משקל זה עם עיפרון ונייר על ידי הגדרת קצב הגידול של המינים הראשונים ל-0, פתרון עבור אוכלוסיות מינים 1, החלפת זה במשוואה עבור מינים 2, ופתרון מתי הצמיחה של אותו מין מגיעה ל-0. לחלופין, אתה יכול להציג את הבעיה לתוכנית מתמטיקה סמלית ולבקש ממנה לפתור את שתי המשוואות בו זמנית. בכל מקרה, היית מתחיל בשני שיעורי הצמיחה מוגדרים לאפס בשיווי משקל,

    \[\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,r_1\,+\,s_{1,1}N_1\,+\,s_{1,2}N_2\,=\,1.2\,-\,1N_1\,+0.1N_2\,=\,0\]

    \[\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,r_2\,+\,s_{2,2}N_2\,+\,s_{2,1}N_1\,=\,0.8\,-\,1N_2\,+0.1N_1\,=\,0\]

    ובסופו של דבר עם \(N_1\) = 1.2929 ו \(N_2\) = 0.929.

    ככל שההדדיות מתחזקות - כלומר האינטראקציות הבין-ספציפיות הופכות לחיוביות יותר - נקודת שיווי המשקל מתרחקת יותר. הוא יכול להיות גדול מאוד, כמו באיור 17.1.4, אך בהדדיות מאופקת, שיווי המשקל הוא סופי וניתן לחישוב מהפרמטרים של המין הבודד.

    מצד שני, כאשר מונחי השיפור בין המינים עדיין חזקים יותר, מתרחשת התפצלות ושיווי המשקל המשותף מפסיק להתקיים כלל. (איור 17.1.5). נקודת שיווי המשקל המחושבת עברה למעשה לאינסוף, או במובן מסוים מעבר לכך, כלומר לא ניתן לחשב את כושר הנשיאה מהפרמטרים של המין והאינטראקציות ביניהם. יש צורך במידע נוסף על המערכת.

    מעבר לכך, ההדדיים יכולים להיות תלויים יותר זה בזה, כך \(r_i\) שהמונחים יהיו קטנים יותר, כמו באיור 17.1.6, או שליליים, כמו באיור 17.1.7. ההדדיות יכולה להיות בלתי מרוסנת גם אם שיעורי \(r_i\) הצמיחה הפנימיים שליליים. מה שעולה הוא סוג של נקודת Allee, בה האוכלוסיות בורחות אם הן מתחילות מעל אותה נקודה, אך יורדות להכחדה אם הן מתחילות מתחת.