Skip to main content
Global

16.8: ניסוח לוטקה-וולטרה

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    207517

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    משוואות תחרות מוצגות בדרך כלל בספרי הלימוד כמודל התחרות לוטקה-וולטרה. זה הופיע לראשונה בספרות האקולוגית בשנות העשרים ומוגדר לא רק מבחינת האינטראקציות בין המינים, אלא גם מבחינת יכולות הנשיאה של המין, כדלקמן.

    צילום מסך 2019-11-09 בשעה 3.52.27 PM.png

    איור\(\PageIndex{1}\). מקרה 1: מין 2 אינו כולל מינים 1. מקרה 2: מין 1 אינו כולל מינים 2. מקרה 3: האחד אינו כולל את השני, תלוי בתנאי ההתחלה. מקרה 4: שני המינים מתקיימים יחד.

    \[\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,r_1(1-\frac{N_1+a_{1,2}N_2}{K_1})\]

    \[\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,r_2(1-\frac{N_2+a_{2,1}N_1}{K_2})\]

    \(K_1\)\(K_2\)והם יכולות הנשיאה של מינים 1 ו-2, בהתאמה. פרמטרים \(a_{1,2}\) \(a_{2,1}\) ומייצגים את ההפרעה של כל מין על השני. אם\(a_{1,2}=2\), למשל, כל פרט ממין 2 מפריע לצמיחתו של מין 1 כאילו היו שני פרטים ממין 1. אם, לעומת זאת\(a_{1,2}=1/2\), נדרשים שני פרטים ממין 2 כדי שתהיה להם אותה השפעה שלילית על צמיחתו של מין 1 כמו פרט אחד ממין 1 עצמו.

    כדי להשוות זאת עם ניסוח RSN, ייצג את משוואות 16.7.1 ו- 16.7.2 עם וכתבי משנה \(i\) \(j\)

    \(\frac{1}{N_i}\frac{dN_i}{dt}\,=\,r_i(1-\frac{N_i+a_{i,j}N_j}{K_i})\)

    ולהכפיל את הצד הימני באמצעות\(r_i\),

    \(\frac{1}{N_i}\frac{dN_i}{dt}\,=\,r_i\,-\frac{r_i}{K_i}N_i\,-\frac{a_{i,j}r_i}{K_i}N_j\)

    זה מראה כי ניסוח לוטקה — וולטרה הוא איזומורפי לניסוח RSN. כל המסקנות לגבי מערכות תחרותיות שנבדקו עד כה חלות גם על ניסוח לוטקה-וולטרה, עם תרגום מתאים של פרמטרים. הפרמטר \(r_i\) זהה הן בניסוח לוטקה-וולטרה והן בניסוח RSN, אבל ו. \(s_{i,i}= −r_i/K_i\) \(s_{i,j}=−a_{i,j}r_i/K_i\)

    היזהר, עם זאת, מהצהרה שצוטטה בהרחבה הנגזרת מניסוח זה המופיעה בכל הספרות האקולוגית וספרי הלימוד. אמירות כמו "דו קיום מחייב שכל מין יעכב את עצמו יותר ממה שהוא מעכב את המינים האחרים" מצויות בשפע בספרי הלימוד ובספרות האקולוגית. למרבה הצער, הצהרות אלה אינן נכונות.

    תיבה \(\PageIndex{2}\)

    דו קיום במודל לוטקה-וולטרה מחייב שכל מין יוכל לעלות מצפיפות נמוכה כאשר המין השני נמצא בשיווי המשקל החד-מיני שלו.

    כדי לראות זאת, בדוק את איור 16.21. כאן מין 1 מעכב את עצמו עם s 11 =−1, בעוד שהוא מעכב את המינים האחרים בצורה חזקה יותר עם s 12 =-1.153. עם זאת יש דו קיום עולמי. ככל הנראה, דו קיום אינו מחייב שכל מין יעכב את עצמו יותר מכפי שהוא מעכב את האחר, כמו בחוכמה המקובלת. הבלבול בספרות עלה ככל הנראה מנוכחותם של מונחי כושר הנשיאה, K 1 ו- K 2, בניסוח לוטקה — וולטרה. מונחים אלה מטשטשים את ההשפעות של מונחי האינטראקציה, 1,2 ו -2,1, כאשר יכולות הנשיאה שונות בין המינים.

    מהי, אם כן, אמירה נכונה לגבי דו קיום? ניתן לשים זאת במונחים של עלייה מצפיפות נמוכה, כפי שמוצג בתיבה\(\PageIndex{2}\). הביטוי המזכה "מצפיפות נמוכה" נדרש, מכיוון שהמין שאינו קיים יכול לעלות מצפיפות גבוהה במערכת ביסטלית, כמו באיור 16.20, ולהעביר אותו למצב השני, למרות שדו-קיום אינו יכול להתרחש.

    דרך נוספת שבה הוסבר דו קיום היא על ידי Vandermeer (1981 Bioscience), המחבר בין דו קיום לסוג מסוים של "מניב יתר", שבו שני יבולים דורשים פחות אדמה לאותה פריון שנתי כאשר גדלים יחד מאשר כאשר הם גדלים זה מזה.

    צילום מסך 2019-11-09 בשעה 3.53.43 PM.png

    איור\(\PageIndex{3}\). דו קיום במונחים של סוג של כניעה יתר (Vandermeer 1981, Bioscience).

    הבדיקה היא האם שיווי המשקל המשותף נמצא מעל קו המחבר את שיווי המשקל של המין היחיד (אפור מקווקו באיור \(\PageIndex{3}\) A) או מתחת לקו (איור \(\PageIndex{3}\) B).

    תצוגה זו נכונה עבור מודלים ששקלנו עם איזוקלינים בקו ישר, אך אינה נכונה עבור מודלים כלליים יותר עם איזוקלינים מעוקלים (איור C, D). \(\PageIndex{3}\) ההצהרה בתיבה\(\PageIndex{2}\), לעומת זאת, נכונה בכל אחד מהמקרים הללו.

    בהתחשב בכל הדברים, במקום להסתמך על כללי אצבע, עדיף להעריך מערכת ישירות, למשל בשיטות של וקטורים עצמיים וערכים עצמיים המתוארים בפרק 10.