Skip to main content
Global

16.6: מרחב פאזה חד-משאב

  • Page ID
    207486
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    כמה היבטים של תחרות על משאב מתבהרים על ידי התבוננות במרחב הפאזה, כפי שהוצג בפרק 10. שילוב משוואות 16.3.1 ו- 16.3.2 נותן את הדברים הבאים כנקודת מוצא:

    \[\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,m_1(R_{max}\,-\,R_1^{\ast})\,-\,u_1m_1N_1\,-\,u_2m_2N_2\]

    \[\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,m_2(R_{max}\,-\,R_2^{\ast})\,-\,u_2m_2N_2\,-\,u_1m_1N_1\]

    כמו בעבר, \(m_i\) הוא קצב הצמיחה של מינים \(i\) עבור כל רמה של משאב מעל דרישת המשאבים המינימלית שלו\(R_i^{\ast}\), \(u_i\) והוא כמות המשאב הקשורה בכל פרט של מינים\(i\). לעיון, הנה הקצאת פרמטרים במונחים של \(r_i\) ו\(s_{i,j}\).

    \[r_1\,=\,m_1(R_{max}\,−\,R_1^{\ast}),\,\,\,s_{1,1}\,=\,−u_1m_1,\,\,\,s_{1,2}\,=\,−u_2m_2\]

    \[r_2\,=\,m_2(R_{max}\,−\,R_2^{\ast}),\,\,\,s_{2,1}\,=\,−u_1m_1,\,\,\,s_{2,2}\,=\,−u_2m_2\]

    היכן במרחב הפאזה קצב הגידול יהיה 0 לכל מין? עבור מינים 1 זה יהיה איפה

    \(\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,0\,=\,r_1\,+\,s_{1,1}N_1\,+\,s_{1,2}N_2\)

    פתרון עבור \(N_2\) נותן

    \[N_2\,=\,−\frac{r_1}{s_{1,2}}\,-\frac{s_{1,1}}{s_{1,2}}N_1\,\,\,\,\,\leftarrow\,Species\,1\,isocline\]

    מינים 1 increase.JPG

    איור\(\PageIndex{1}\). מין 1 גדל מתחת לאיזוקלין שלו, מוצל בעותקים אפורים של הספרה 1.

    בכל מקום לאורך הקו הזה, אוכלוסיית מינים 1 לא תשתנה, אבל משני צידי הקו היא תשתנה (איור\(\PageIndex{1}\)). נוסחאות לארבעת שיווי המשקל האפשריים ויציבותם נמצאות בטבלה 10.1. היירוט האנכי של האיזוקלין, היכן, נמצא \(N_1\,=\,0\)\(-r_1/s_{1,2}\), והיירוט האופקי, היכן, נמצא\(N_2\,=\,0\). \(-r_1/s_{1,1}\) המדרון הוא\(-s_{1,1}/s_{1,2})\,=\,(u_1m_1)/(u_2m_2)\).

    באופן דומה, הצמיחה של מינים 2 תהיה 0 כאשר

    \(\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,0\,=\,r_2\,+\,s_{2,2}N_2\,+\,s_{2,1}N_1\)

    מינים 2 increase.JPG
    איור\(\PageIndex{2}\). מין 2 גדל מתחת לאיזוקלין שלו, מוצל בעותקים אפורים של הספרה 2.

    פתרון עבור \(N_2\) נותן

    \[N_2\,=\,-\frac{r_2}{s_{2,2}}\,-\frac{s_{2,1}}{s_{2,2}}N_1\,\,\,\,\,\,\leftarrow\,Species\,2\,isocline\]

    שוב, בכל מקום לאורך הקו הזה אוכלוסיית המינים 2 לא תשתנה, אבל משני צידי הקו היא תשתנה (איור\(\PageIndex{2}\)). היירוט האנכי של אותו קו, איפה\(N_1\,=\,0\), הוא\(-r_2/s_{2,2}\), היירוט האופקי, איפה\(N_2\,=\,0\), הוא -\(r_2/s_{2,1}\), והמדרון הוא. \(-s_{2,1}/s_{2,2}\,=\,(u_1m_1)/(u_2m_2)\)

    מקביל isoclines.JPG
    איור\(\PageIndex{3}\). איזוקלינים מקבילים של מינים בודדים. כל מין גדל רק מתחת לאיזוקלין המתאים לו, מוצל באפור עם מספר המינים, 1 או 2.

    שימו לב לכך: מבחינת המשאב, שיפוע האיזוקלין למין 2 זהה לשיפוע של מינים 1 - שניהם שווים ל- ()\(u_1m_1)/(u_2m_2\). מה זה אומר? זה אומר ששני האיזוקלינים מקבילים. וזה, בתורו, אומר ששני המינים אינם יכולים להתקיים יחד לצמיתות.

    האוכלוסיות יכולות להתחלק רק לאחד משלושת האזורים של איור\(\PageIndex{3}\). אם הם מתחילים באזור העליון, הם יורדים עד שהם נכנסים לאזור האמצעי. אם הם מתחילים באזור התחתון, הם גדלים עד שהם נכנסים גם לאזור האמצעי. פעם באזור האמצעי, רק מינים 2 גדלים. זה אומר שאוכלוסיית מינים 1 מונעת שמאלה, לעבר ערכים נמוכים יותר של\(N_1\), בעוד שאוכלוסיית מינים 2 מונעת כלפי מעלה, לעבר ערכים גבוהים יותר של. \(N_2\)

    זרימה על פני שלב space.JPG
    איור\(\PageIndex{4}\). זרימה על פני מרחב הפאזה, כפי שהוסבר בפרק 10, מתכנסת לשיווי משקל יציב שבו מינים 2 אינם כוללים מינים 1. \((r_1\,=\,0.75,\,r_2\,=\,0.52,\,s_{12}\,=\,−1.875,\,s_{21}\,=\,−0.533,\,s_{11}=s_{22}=−1)\).

    דינמיקה זו מופיעה בתרשים הזרימה של איור\(\PageIndex{4}\). המקור (0,0) הוא שיווי משקל לא יציב. במערכת משאבים יחידה זו, כל האוכלוסיות הסמוכות להכחדה, אך לא נכחדו לחלוטין, גדלות עד שהן פוגעות באזור התיכון. לציר האופקי יש שיווי משקל לא יציב נוסף, כאשר מין 1 נמצא בכושר הנשיאה שלו ומין 2 נכחד \((−r_1/s_{1,1},\) 0). כל אוכלוסיות ליד שיווי המשקל הלא יציב הזה מגיעות במהרה לאזור האמצעי. כל האוכלוסיות לא בדיוק באחד משני שיווי המשקל הלא יציבים הללו מתכנסות על הדיסק האדום בציר האנכי, שם מין 2 נמצא בכושר הנשיאה שלו\(K_2\,=\,−r_2/s_{2,2}\), ומין 1 נכחד (0,\(−r_2/s_{2,2}\)). שיווי משקל זה נקרא "מושך עולמי".

    מרחבי פאזה מספקים אפוא מבט נוסף על הדרה תחרותית, שהתיאוריה שלה חלה לפחות על שני מינים המתחרים על משאב יחיד בשיווי משקל.