Skip to main content
Global

15.8: בקשה להתפרצות בפועל

  • Page ID
    207886
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    התפרצות מבשרת רעות של אבולה במערב אפריקה נודעה ברבים בשנת 2014, כאשר שיעור מקרי המוות הוכפל שוב ושוב והכפיל את עצמו. בסתיו של אותה שנה החלו להופיע מקרים ביבשות אחרות.

    אבולה נכנסת ככל הנראה לאוכלוסיות אנושיות מחיות בר כמו עטלפים, בהן היא אינה ארסית במיוחד. עם זאת, הוא לא הסתגל לגוף האדם. היא הופכת למחלה כל כך מפחידה בבני אדם מכיוון שהיא מנצלת כמעט את כל שערי היציאה של הגוף -- לא רק על ידי מציאת מעברים מוגבלים דרכם, אלא על ידי השמדתם לחלוטין. מחלות מסוימות עלולות לגרום להקאה או לשלשולים, למשל, כאמצעי לפתוגן לצאת מתעלת העיכול, אך עם אבולה, מערכות רקמות שלמות נהרסות ונתחי מעיים מלווים את היציאה.

    בזמן ההתפרצות, שניים מאיתנו (CL, SW) לימדו במשותף קורסים בארצות הברית באקולוגיה כמותית ובאקולוגיה של מחלות, תוך שימוש בכלים שהודגמו עד כה בספר זה. רמת פחד שררה במדינה מכיוון שהמחלה הגיעה זה עתה לארה"ב, עם כמה מקרי מוות בבתי חולים בארה"ב. יחד עם התלמידים שלנו, החלטנו להפוך את אבולה למחקר מקרה ליישום משוואות המחלה, תוך יישום העקרונות שבוע אחר שבוע עם התקדמות ההתפרצות. מאות אלפי מקרי מוות ניבאו על ידי ארגוני בריאות. חלק זה מתאר את מה שעשינו ומה גילינו.

    נתונים בזמן אמת. נתונים מארגון הבריאות העולמי (WHO) ומקורות רשמיים אחרים הוצגו בטבלה באתר על אבולה במערב אפריקה, ותוכלו לבחור שם תאריך כדי לראות בדיוק אילו נתונים היו זמינים כשהתחלנו לעקוב אחר ההתפרצות, או בכל זמן שלאחר מכן. האתר רשם הן את מספר האנשים שנדבקו באבולה והן את המספר שמתו, אך בימים הראשונים של ההתפרצות ניחשנו שמספר מקרי המוות יהיה אמין יותר. יתר על כן, העולם הקדיש תשומת לב רבה ביותר למקרי מוות, ולכן שיערנו שמספרים אלה ישפיעו בצורה החזקה ביותר על המאמצים החברתיים להילחם במחלה.

    מקרי מוות באבולה reported.JPG
    איור\(\PageIndex{1}\). מקרי מוות מאבולה שדווחו בזמן שאבולה החלה להופיע מחוץ לאפריקה.

    כך התחלנו עם מקרי מוות מוחלטים, תכננו אותם כמו באיור\(\PageIndex{1}\). מספר מקרי המוות לא רק גדל אלא האיץ, לכאורה במסלול אקספוננציאלי. זמן ההכפלה המחושב היה 31.5 ימים, לא בדיוק מה שמצאו המרכזים האמריקאים לבקרת מחלות (CDC) קודם לכן, אך תוך התכתבות סבירה. הם העריכו 15-20 ימים להכפיל את עצמם במדינה אחת ו 30-40 במדינה אחרת (מלצר ואח '., 2014).

    מקרי מוות באבולה extended.JPG
    איור\(\PageIndex{2}\). מקרי המוות מאבולה התארכו בהתאם לזמני ההכפלה שנראו בתחילת ההתפרצות.

    חישוב מזמני הכפלה אלה והארכה למספר חודשים נוספים מביא למספר מקרי המוות המוצגים באיור\(\PageIndex{2}\). לפני חמישה חודשים עם ההערכות שערכנו במהלך השיעור (עקומה כחולה באיור) ולפני שלושה חודשים עם האומדנים הקודמים (עקומה אדומה), צפוי מספר מקרי המוות לעלות על 100,000.

    אבל יש פגם בגישה זו. כפי שמוצג על ידי החישובים על חיידקים וחישובי דרווין על פילים (פרק 3), לא ניתן להרחיב מודלים של צמיחה אקספוננציאלית רחוק מאוד. הם יכולים להיות מדויקים למדי מספר מוגבל של יחידות זמן בעתיד. אך כאשר הם מיושמים על אוכלוסיות ביולוגיות, מודלים אקספוננציאליים ואורתולוגיים נכשלים בהכרח כאשר הם מורחבים ללא הגבלת זמן. למעשה, השקפה אחת היא שהם לא באמת נכשלים - הם רק מזהירים שמודל צמיחה אחר יחליף אותם לפני שהאוכלוסיות יגדלו מדי.

    שולחן\(\PageIndex{1}\). השלכות של הכפלה בלתי מוגבלת במקרי מוות מאבולה.
    ימים שנים סך כל מקרי המוות
    0 0.00 892
    100 0.27 8,412
    200 0.55 79,335
    300 0.82 74,8267
    400 1.10 7,057,440
    500 1.37 66,563,800
    600 1.64 627,811,000
    700 1.92 5,921,330,000
    710 1.94 7,411,030,000

    למעשה, בהנחה שהכפילות הבלתי מרוסנות של צמיחה מעריכית היא בבחינת הנחה שמחלה תהרוג את העולם כולו, כשהשאלה היחידה היא מתי. הטבלה \(\PageIndex{1}\) מציגה את תוצאות ההכפלה בקצב שמודגם על ידי העקומה הכחולה באיור\(\PageIndex{2}\), המורחבת רחוק יותר. בקצב זה כל האוכלוסייה האנושית תכבה תוך פחות משנתיים!

    מתינות צפויה. כמובן שכל האוכלוסייה האנושית לא תכבה על ידי מחלה הניתנת לניהול. אמצעים דרקוניים יינקטו הרבה לפני - בידוד הנגועים, סגירת גבולות ועוד. למעשה, קצב הצמיחה \(r\) יתמתן על ידי לחץ חברתי שלילי חזק, מונח\(s\).

    מתי יופיע לחץ שלילי כזה בנתונים? האם ניתן היה לראות זאת מוקדם בהתפרצות האבולה, כאשר אנו והתלמידים התחלנו לצפות? מכיוון שמשוואת המחלה הבסיסית שקולה \(rsN\) למודל, חשבנו שמגמות מוקדמות עשויות להופיע אם נבחן את הנתונים במונחים של \(r\) ו\(s\). ניתן לבחון ולשרטט את קצב הגידול האינדיבידואלי במקרי מוות כנגד המספר הכולל של מקרי המוות. \((1/N)dN/dt\) \(N\) זהו איור\(\PageIndex{3}\), עם אותם נתונים כמו איור\(\PageIndex{1}\), שזה עתה נוסח מחדש.

    שינוי אישי במוות rate.JPG
    איור\(\PageIndex{3}\). הנתונים של איור \(\PageIndex{1}\) מומרים לשינוי אינדיבידואלי בשיעור התמותה כפונקציה של מספר מקרי המוות.

    הנתונים מראים לא מעט רעש, אך עם מגמת ירידה ברורה, כאשר השיעור במספר הכולל של מקרי המוות החדשים יורד ככל שמתגברים מקרי המוות. טווחי הנקודות העליונים והתחתונים יורדים (קווים אפורים). הקו הירוק דרך הממוצעים (קו הרגרסיה הפחות מרובע, מוצק, עם \(r\) \(s\) וכפי שמוצג באיור) מקרין קדימה (מקווקו) לכ -12,000 מקרי מוות לפני שההתפרצות תסתיים - טרגדיה אנושית נרחבת, אך הרבה מתחת לתחזיות הפשוטות של איור. \(\PageIndex{2}\)

    אם ירידה זו בשיעור התמותה הייתה אמיתית, סביר להניח שהיא התפתחה מתשומת לב רבה יותר למיתון המחלה - עובדים רפואיים מרחיבים בתי חולים, אוכלוסיות שעסקו בקבורה זהירה יותר, ממשלות מזהירות רק נסיעות מוצדקות וכדומה. כשביצענו את התחזית של 12,000 בסתיו 2014, לא הייתה לנו שום ודאות לגבי מה שיקרה; פשוט הסתכלנו על הנתונים, שהראו צמיחה מעריכית לא חסרת מעצורים, אלא מיתון צמיחה במקום.

    השלב הבא היה לחבר את \(r\) העקומה המותאמת ולהקרין קדימה שישה חודשים או שנה. \(s\) השלכה זו מוצגת באיור\(\PageIndex{4}\). העקומה הירוקה היא ההקרנה מ \(r\,=\,0.028\) ו\(s\,=\,−0.0024\). זה שונה במידה ניכרת משתי העקומות האחרות, מתיישר מוקדם ומגיע לכ -12,000 מקרי מוות. כמו כן באיור שלוש נקודות נוספות של נתונים בפועל, בצהוב, שאינן מתקדמות מספיק כדי לדעת איזו משלוש העקומות - אדום, ירוק או כחול - תהיה האמיתית.

    מקרי מוות באבולה projected.JPG
    איור\(\PageIndex{4}\). מקרי מוות מאבולה מוקרנים על ידי משוואה 5.2 באמצעות פרמטרים של איור\(\PageIndex{3}\).

    אולם תוך מספר שבועות בלבד התברר כי \(r+sN\) העקומה הייתה המדויקת ביותר. בסוף סמסטר החורף (בערך ביום 140 בגרפים) היה ברור שההתפרצות נכנסת לשליטה, וכי מספר מקרי המוות קרוב למדי לתחזית הראשונית שלנו. לאחר מעקב אחר ההתפרצות עם תלמידינו במהלך סמסטרי החורף והאביב, יכולנו לראות עד כמה ההקרנה המוקדמת הזו מדהימה (איור\(\PageIndex{5}\)). קריאת הנתונים בקפידה בתחילת המשבר נתנה השלכה מדויקת של התוצאה, מתוך מודל פשוט אכן!

    זמני הכפלה. דוגמה זו מספקת לנו מקום טוב לשקול מחדש את זמני ההכפלה, שהוצגו עם צמיחה מעריכית. נזכיר כי צמיחה מעריכית היא קו ההפרדה הדק לאין שיעור בין צמיחה לוגיסטית לאורתולוגית, ויש לו את המאפיין של "זמן הכפלה" קבוע. במילים אחרות, יש מרווח זמן ספציפי - קראו לזה טאו (\(\tau\)) - שבמהלכו האוכלוסייה בדיוק מכפילה את עצמה. בצמיחה לוגיסטית זמן ההכפלה יורד כל הזמן, ואילו בצמיחה אורתולוגית הוא גדל כל הזמן. מוקדם יותר הוכח שזמן ההכפלה הוא הלוגריתם הטבעי של 2 חלקי r-\((ln2)/r\), או בערך. \(0.693/r\) זה בשנים אם \(r\) נמדד בשנה, ימים אם ליום, וכן הלאה.

    לפיכך זמן ההכפלה של העקומה האקספוננציאלית של איור\(\PageIndex{1}\), עם\(r\,=\,0.022\), הוא \(0.693/0.022\,=\,31.5\) ימים. לצמיחה הלוגיסטית של איור \(\PageIndex{3}\) אין זמן הכפלה קבוע. עם זאת, בכל עת יהיה "זמן הכפלה מיידי", שיחזיק בערך לזמן קצר. בפרט, סמוך לתחילת ההתפרצות - מתי קרוב ל-0 - קצב הצמיחה \(N\) הוא. \(r+sN\,=\,r+s\,\cdot\,0\,=\,r\) לנתוני האבולה בתחילת ההתפרצות, מצאנו \(r\,=\,0.028\) ו\(s\,=\,0.0024\). זמן הכפלת האבולה, הממוצע על פני המדינות בהן התפשט, החל אפוא \(0.693/r\,=\,0.693/0.028\,=\,25\) בימים. זה עולה בקנה אחד עם הערכות מוקדמות של ארגוני בריאות.

    כשהתחלנו בעקבות ההתפרצות התרחשו כ -4.5 אלף מקרי מוות, כלומר קצב הגידול היה \(r+sN\,=\,0.028−0.0024\,\cdot\,4.5\,=\,0.0172\) וזמן ההכפלה היה \(0.693/0.0172\,=\,40\) ימים.

    זמן ההכפלה המשיך לרדת עד לכיבוש ההתפרצות וכל מקרי המוות מאבולה נפסקו.

    development.JPG בפועל
    איור\(\PageIndex{5}\). התפתחות בפועל של ההתפרצות (נקודות צהובות), נופלת לאורך התחזית מאוקטובר 2014 (עקומה ירוקה).

    אזהרות ושיקולים. היה קצת מזל בתזמון ההקרנה הראשונית שלנו. זמן קצר לאחר שהתחלנו שיעור התמותה ירד, אולי ממאמצים מוגברים בעקבות תשומת לב עזה ברחבי העולם. אילו היינו מבצעים את ההקרנה כעבור כמה שבועות היינו רואים שני מדרונות והיינו צריכים לנחש מה ינצח. מתברר כי המדרון הראשון שרר, וחזר כ -40 יום לאחר ההקרנה הראשונית שלנו. אבל לא הייתה לנו דרך לדעת את זה מהנתונים באותו זמן.

    ניתן לבקר גם את הגישה שלנו מכיוון \(r+sN\) שהמשוואה בה השתמשנו היא הכלאה - משוואה אחת שמנסה לייצג שני דברים שונים, במקרה זה זיהומים ומוות. סביר כאן לבסס את פרמטר השיפור על המספר הכולל של מקרי המוות, שכן מקרי מוות היו הפרמטר לדאגה עולמית. מקרי מוות משפיעים על תשומת הלב החברתית למחלה ועל המאמצים לשלוט בה. עם זאת, איזו תחושה יש באומרו כי מקרי המוות גדלים בקצב\(r\), בהתבסס על המספר הכולל של מקרי המוות עד כה? אבולה יכולה להיות מועברת לאחרים זמן קצר לאחר המוות, אך באופן כללי מקרי מוות אינם גורמים למקרי מוות חדשים. זיהומים גורמים לזיהומים חדשים, אשר בתורם גורמים למקרי מוות חדשים. אם \(N\) מייצג מקרי מוות מוחלטים, נראה שלמשוואות צריך להיות גם \(I\) כדי לייצג זיהומים, וחלק מהזיהומים אמור לגרום למוות-כמו במערכת המשוואות הדו-ממדית הזו.

    \[\frac{dI}{dt}\,=\,\beta\,I\,-\,\gamma\,I\,-\,\alpha\,I\,-\,sNI\]

    \[\frac{dN}{dt}\,=\,\alpha\,I\]

    שני הממדים הם\(I\), מספר הזיהומים הקיימים\(N\), ומספר מקרי המוות המצטבר. זיהומיות היא\(\beta\), קצב ההחלמה מהזיהום הוא \(\gamma\) ושיעור התמותה מהמחלה הוא\(\alpha\). אלה תואמים את הסימון באיור 15.2.1. בנוסף, המונח \(sN\) ממתן את צמיחת הזיהום על ידי ייצוג כל האזהרות והתשתיות המוצבות כנגד המחלה ככל שמספר מקרי המוות גדל.

    אין צורך בגורם כמו \(1−v−p\) המייצג את חלקם של אנשים רגישים בכדי להכפיל את \(\beta\) המונח כאן, מכיוון שגם בשלב המוקדם וגם בהתפרצות השכיחות הייתה נמוכה ולא היה חיסון, כך שכמעט כולם היו רגישים. ועם מחלה זו המתקדמת במהירות האוכלוסייה נותרה כמעט קבועה, ולכן לידות יכולות להיחשב זניחות. משוואה היא אפוא עדיין משוואה פשוטה.

    עם זאת, עד כמה שהיא מפושטת, המשוואה נושאת יותר פרמטרים ממה שניתן לתפוס בנתונים הגולמיים. שיעור התמותה מהמחלה\(\alpha\), שיעור ההחלמה \(\gamma\)\(\beta\), הזיהום ואפילו מספר הזיהומים\(I\), ניתן לגלות רק באמצעות תוכניות מחקר מיוחדות. אבל אפילו בתחילת התפרצות, ואפילו למחלה שאינה מובנת היטב, עשויים להיות מספיק נתונים כדי לקבוע את זמן ההכפלה של מקרי המוות מהמחלה, וכיצד משתנה זמן ההכפלה - מספיק נתונים כדי לקבוע\(s\), \(r\) וגם אם מעט יותר.

    זה בר מזל, מכיוון שניתן לצמצם את המשוואה בממד ולקרב אותה על ידי \(r+sN\) הצורה. ללא מונח השיפור\(sNI\), שני המימדים הם עצמאיים והצמיחה של כל אחד מהם היא אקספוננציאלית, עם \(N\) היותם האינטגרל של. \(I\) מכיוון שהאינטגרל של אקספוננציאלי עדיין אקספוננציאלי, ניתן לקרב את השניים על ידי משוואה אחת של ממד אחד פחות, כאשר מונח השיפור יוחזר. \(sNI\) באופן זה, מקרי מוות מוחלטים הופכים לפונדקאית לגיטימית לזיהומים בהתפרצויות שכיחות נמוכה, כמו בדוגמה הנוכחית של אבולה.

    וכפי שציינו, זה נתן השלכה מדויקת על מהלך מחלת אימה, מתוך מודל פשוט מאוד!