Skip to main content
Global

15.7:15.7 שוב דגם ה- rSn

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    207902

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    בואו נחזור למסגרות זמן קצרות יותר ללא אבולוציה. שימו לב שהשכיחות \(p\) משתנה עם הזמן ככל שהמגיפה מתפשטת\(\beta\), אך\(\alpha\), \(v\) ונשארת קבועה. אז מתחיל עם

    \[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=\beta(1-v-p)\,-\alpha\]

    סידור מחדש של תנאים,

    \[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=(\beta(1-v)-\alpha)-\beta\,p\]

    והחלפה, \(r\,=\,\beta(1\,-\,v)\,−\,\alpha,\,s\,=\,−\beta\,,\,and\,N\,=\,p\)

    \[\frac{1}{N}\,\frac{dN}{dt}\,=\,r\,+\,sN\]

    וואלה, מודל ה- I האפידמיולוגי מתגלה רק כמודל האקולוגיה הסטנדרטי בתחפושת אחרת! אך כעת, עם מנגנונים כלולים (זיהומיות, ארסיות, חיסון), ניתן להגיע למסקנות עמוקות יותר.

    בהגעה למודל הסטנדרטי הזה, למשל, קבענו s שווה ל -\(\beta\). מכיוון \(\beta\) שהוא חיובי, מונח התלות בצפיפות \(s\) הוא שלילי, שלילי \(s\) מרמז על צמיחה לוגיסטית (חיובי \(s\) הוא אורתולוגי), כלומר \(N\) יגיע ליכולת נשיאה - שיווי משקל, מצב יציב. אבל כדי להגיע למודל הסטנדרטי, קבענו \(N\) שווה ל\(p\), ולכן מכיוון \(N\) שמגיע לשיווי משקל במודל הסטנדרטי, השכיחות \(p\) תגיע לשיווי משקל \(I\) במודל.

    ללא ניתוח נוסף ניתן אפוא להסיק כי מחלה לא בהכרח תדביק אוכלוסייה שלמה, אלא ששכיחותה תשתנה כאשר היא תגיע לכושר נשיאה, שווה ערך ל -\(r/s\). תחליף לאחור \((r\,=\,\beta\,(1\,−\,v)\,−\,\alpha\,and\,s\,=\,−\beta\,)\) ותמצא את כושר הנשיאה של המחלה:

    \[\hat{p} = 1 − \frac{α}{b} − v \]

    הכובע הקטן על גבי \(p\) הוא רק תזכורת לכך שזו לא השכיחות המשתנה\(p\), אלא הערך הקבוע של שכיחות שיווי המשקל,\(\hat{p}\).

    תחשוב על הגישה ב 15.6, אשר השתמשו\(R_0\). הנה דרך נוספת להשיג את התוצאה. מכיוון \(v\) ששיעור האוכלוסייה המחוסנת מופיע במשוואה עם סימן מינוס, כלומר ככל שהשיעור המחוסן גדול יותר, כך שכיחות שיווי המשקל נמוכה יותר\(\hat{p}\). למעשה, הגדרה \(\hat{p}\,=\,0\) ופתרון\(v\), מתי\(v\,=\,1\,−\,\alpha\,/\beta\), השכיחות \(p\) תהיה אפס והמחלה תימחק. (למעשה, עבור מרווח טעות, מתי\(v\,\ge\,1\,−\,\alpha\,/\beta\).