15.5: משוואת I

Last updated
Save as PDF

Page ID: 207904

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

נפשט את מודל ה- SI עוד למודל "אני", הניסוח האפידמיולוגי הבסיסי ביותר. ניתן לעשות זאת על ידי התחשבות באוכלוסייה קבועה, כאשר לידות תמיד תואמות מקרי מוות. כדי להשיג זאת, מונח הלידה,\(b(S +I)\), יכול להיות שווה למונח המוות,\(\delta\,(S + I)\), נתינה

\[ \begin{align*} \frac{dS}{dt}\, &=\delta\,(S+I)\,-\beta\,I\frac{S}{S+I}\,-\delta\,S \\[4pt] \frac{dI}{dt}\, &=\beta\,I\frac{S}{S+I}\,-\alpha\,I \end{align*}\]

עם זאת, מכיוון שהאוכלוסייה הכוללת - קוראים לזה \(N\) - קבועה, אין \(S\) צורך במשוואות כלל. זה תמיד שווה לכלל האוכלוסייה \(N\) מינוס המספר הנגוע:\(S\,=\,N\,−\,I\). אתה יכול לשכוח \(S\) מהמשוואה ולהחליף \(S\,=\,N\,−\,I\) \(I\) במשוואה. זה נותן

\[ \begin{align} \frac{dI}{dt} &=\beta\,I\frac{N-1}{(N-1)+I}\,-\alpha\,I \\[4pt] \dfrac{dI}{dt} &=\beta\,I\frac{N-I}{N}\,-\alpha\,I \\[4pt] \dfrac{dI}{dt} &=\beta\,I(1-\frac{I}{N}\,)\,-\alpha\,I \\[4pt] \dfrac{1}{I}\frac{dI}{dt} &=\beta\,(1-\frac{I}{N}\,)\,-\alpha \end{align}\]

זו ההתחלה של מודל ה- I. זה צריך קצת יותר עבודה לפני שתמשיך עם הניתוח שלה, אבל קודם כמה טרמינולוגיה נוספת:

הַדבָּקָה: מונח המיושם ברגע שפתוגן תפס במארח.
מַחֲלָה: מונח המיושם לעתים קרובות כאשר זיהום מתחיל לייצר תסמינים אצל מארח.
שכיחות: מספר הזיהומים החדשים או מקרי המחלה המופיעים באוכלוסייה ליחידת זמן. מתבטא לעתים קרובות כשבריר מכלל האוכלוסייה.
שכיחות: המספר הכולל של זיהומים או מקרי מחלה הקיימים באוכלוסייה. מתבטא לעתים קרובות כשבריר מכלל האוכלוסייה.

בהתחשב במינוח זה, הבה נכניס את מודל ה- I לצורת שכיחות, כשבריר מכלל האוכלוסייה. במקרה זה, השכיחות היא רק p = I/N. התחל מאיפה שהפסקנו, עם

\[\frac{1}{I}\frac{dI}{dt}\,=\beta\,(1-\frac{I}{N}\,)\,-\alpha\]

להכפיל באמצעות\(I\),

\[\frac{dI}{dt}\,=\beta\,I(1-\frac{I}{N}\,)\,-\alpha\,I\]

לחלק על ידי\(N\),

\[\frac{d \frac{I}{N}}{dt} = \beta I(1-\frac{I}{N}) -\alpha I\]

שכיחות תחליף

\[\frac{dp}{dt}\,=\beta\,p(1-p)\,-\alpha\,p\]

ולבסוף, לחלק על ידי\(p\),

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=\beta\,p(1-p)\,-\alpha\]

עכשיו לחשוב על \((1−p)\) המונח. "אחד פחות השכיחות" מייצג את חלק האוכלוסייה הרגיש למחלה. אך לחלק מסוים מהאוכלוסייה עשויה להיות חסינות טבעית למחלה, וייתכן כי חלק אחר חוסן בהצלחה נגד המחלה. הבה נקרא לשבר זה v ונגרע אותו גם מהשבר הרגיש, ולבסוף נותנים

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=\beta(1-v-p)\,-\alpha\]

וואו, זה המודל הסופי של I - מקום ההתחלה לניתוח!

תוכלו לראות בפרק הקרוב כי משוואה\ ref {15.5.12} זהה למודל של הרס בתי גידול שבו צמחים הם איזומורפיים ל"זיהומים" של הנוף, וכי הרס בתי גידול, אשר "מגן" על הנוף מפני זיהום על ידי צמחים, הוא איזומורפי לחיסון.

להלן המשוואה עם הסברים מונחים לפי מונח:

\[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}\,=\beta(1-v-p)\,-\alpha\]

\(\frac{dp}{dt}\Rightarrow\,\,\)גידול יחסי בשכיחות בתנאים השוררים בזמן \(t\)

\(\beta\Rightarrow\,\,\)מספר זיהומים חדשים הנגרמים על ידי כל אדם נגוע בכל יחידת זמן באוכלוסייה לא נגועה לחלוטין.

\(v\Rightarrow\,\,\)הסתברות להיתקל באדם שאינו יכול להידבק.

\(p\Rightarrow\,\,\)הסתברות להיתקל באדם נגוע.

\(\alpha\Rightarrow\,\,\)חלק מהאנשים הנגועים שאבדו ליחידת זמן.

זכור כי זהו קירוב אוכלוסייה קבוע. בכל פעם שאדם מת מהמחלה, אדם רגיש חדש נכנס לאוכלוסייה.