15.2: תרשים הזרימה של SIR

Last updated
Save as PDF

Page ID: 207872

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

נקודת מוצא סטנדרטית לבחינת תורת המחלה היא "מודל SIR" (איור\(\PageIndex{1}\)). במודל זה אנשים נולדים "רגישים", לתוך התיבה המסומנת \(S\) משמאל. הם עשויים להישאר שם כל חייהם, ולהשאיר את הקופסה רק עם מותם האולטימטיבי - מסומן על ידי החץ האדום המצביע כלפי מטה מהקופסה. התווית \(\delta\,s\) על חץ זה מייצגת את קצב הזרימה מהקופסה - שיעור התמותה של אנשים שמעולם לא חלו במחלה. המודל מניח שיעור תמותה לנפש של \(\delta\) מקרי מוות לאדם ליחידת זמן. אם \(\delta\) = 1/50, אז חמישים מהאוכלוסייה ימותו מדי שנה. הכפלה במספר הפרטים בתיבה,\(S\), נותנת את הזרימה מהקופסה, \(\delta\,S\) יחידים בשנה.

הדרך האחרת היחידה לצאת \(S\) מהקופסה היא לאורך החץ האדום המצביע ימינה, המציין אנשים רגישים שנדבקים ועוברים מהתיבה השמאלית לתיבה האמצעית. (החץ הכחול שמצביע כלפי מעלה מציין אנשים חדשים שנוצרו על ידי לידות, ולא אנשים קיימים שעוברים לתיבה אחרת.) קצב זרימה זה ימינה מסובך יותר, תלוי לא רק במספר האנשים הרגישים בתיבה השמאלית אלא במספר האנשים הנגועים \(I\) בתיבה האמצעית. בתווית שעל החץ המצביע ימינה מחוץ \(S\) לקופסה נמצא מקדם ההדבקה\(\beta\), מספר הפרטים הרגישים שהומרו על ידי כל אדם נגוע ליחידת זמן אם כל הפרטים בכל האוכלוסייה רגישים. זה מוכפל במספר האנשים שיכולים לבצע את ההדבקה\(I\), ואז בהסתברות ש"התפשטות זיהום "תגיע ותדביק מישהו רגיש,. \(S\,/\,(S\,+\,I\,+\,R)\) זה רק היחס בין המספר \(S\) בתיבה למספר בכל התיבות המשולבות, ולמעשה "הנחות" השיעור המרבי\(\beta\). המונח כולו מציין את מספר האנשים ליחידת זמן שעוזבים את \(S\) התיבה משמאל ונכנסים \(I\) לתיבה באמצע.

כל שאר הרמות באיור \(\PageIndex{1}\) דומות. הארסיות המסומלת \(\alpha\) היא שיעור התמותה מאנשים נגועים - אלה שבקופסה. \(I\) התוצאה היא \(\alpha\,I\) מקרי מוות בשנה בקרב אנשים נגועים, המועברים \(I\) מהקופסה הכחולה לתיבה האפורה שמתחתיה. שים לב שאם אנשים נגועים יכולים למות גם מסיבות אחרות, הארסיות בפועל עשויה להיות דומה יותר\(\alpha\,-\delta\), אם כי המצב מסובך על ידי פרטי המחלה. אם מחלה גורמת לקורבנותיה להיות מרותקים למיטה, למשל, שיעור התמותה שלהם מסיבות אחרות כמו תאונות, כמו פגיעה ברכבת, עשוי להיות מופחת. ניתן לטפל בשכלולים כאלה במודלים מפורטים של מחלות ספציפיות, אך עדיף שלא ייחשבו במודל היכרות כזה.

הדרך השנייה לצאת \(I\) מהקופסה הכחולה באמצע הדמות \(PageIndex{1}\) היא על ידי התאוששות, לאורך החץ האדום המוביל \(R\) לתיבה הכחולה מימין. במודל היכרות זה, אנשים שהתאוששו חסינים לצמיתות מפני המחלה, כך שהיציאה היחידה \(R\) מהקופסה היא ממוות - החץ האדום כלפי מטה - כאשר אנשים \(\delta\,R\) שהתאוששו מתים בשנה. שים לב כי אנשים שהחלימו מניחים שהם מחלימים לחלוטין, ואינם סובלים משיעור תמותה גבוה יותר מאשר אנשים רגישים \(S\) בתיבה (לשניהם שיעור תמותה זהה\(\delta\).) שוב, ניתן לטפל בחידושים בהנחה זו במודלים מפורטים יותר של מחלות ספציפיות. החצים הכחולים מייצגים צאצאים שנולדו ושרדו, ולא אנשים שמשאירים קופסה אחת לאחרת. במודל היכרות זה, לכל האנשים יש את אותו שיעור ילודה ב, כך שהידבקות או החלמה אינה משפיעה על השיעור. המספר הכולל של הצאצאים שנולדו ושרדו הוא אפוא\(b\,(S\,+\,I\,+\,R)\). זהו החץ האדום האחרון באיור\(\PageIndex{1}\), הצבת תינוקות מיד לתוך הקופסה של אנשים רגישים.