13.3: דוגמנות סטוכסטית

Last updated
Save as PDF

Page ID: 207782

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

התוכנית \(\PageIndex{1}\) מדמה קציר במה שמכונה תשואה בת קיימא מקסימלית. הוא מציג תנודות אקראיות קטנות באוכלוסייה - כל כך קטנות שלא ניתן להבחין בהן בגרף. הסטוכסטיות הקלה גורמת לתוכנית לעבור מסלול שונה בכל פעם שהיא פועלת, עם קורסי זמן שונים בתכלית. אולם באופן בלתי נמנע, האוכלוסיות נסחפות מתחת לנקודת Allee ומתמוטטות במהירות, כמו בהפעלת המדגם של התוכנית המוצגת באיור\(\PageIndex{1}\).

בעידן ההפלגה, בחץ המסומן "A", הדיג היה מאמץ רב אך בעל השפעה נמוכה והדיג נשארו בערך בכושר הנשיאה שלהם. \(K\) "קציר אופטימלי" הוצג לאחר אקולוגיה מתמטית בשילוב עם טכנולוגיית דיזל, והדיג סייע להאכיל את אוכלוסיות בני האדם ובעלי החיים הביתיים הגדלים, כאשר אוכלוסיות הדגים קרובות ל"תשואה בת קיימא מקסימלית ", כצפוי. אך לאורך המאה ^ה -20, כפי שמוצג משני צידי החץ המסומן "B", אוכלוסיות הדגים המשיכו לרדת, ולפני 2015 - בחץ המסומן "C" - מתברר שמשהו אינו כשורה.

# SIMULATE ONE YEAR
#
# This routine simulates a differential equation for optimal harvesting 
# through one time unit, such as one year, taking very small time steps 
# along the way.
#
# The ’runif’ function applies random noise to the population. Therefore it
# runs differently each time and the collapse can be rapid or delayed.
#
# ENTRY: ’N’ is the starting population for the species being simulated.
#        ’H’ is the harvesting intensity, 0 to 1.
#        ’K’ is the carrying capacity of the species in question.
#        ’r’ is the intrinsic growth rate.
#        ’dt’ is the duration of each small time step to be taken throughout
#           the year or other time unit.
#
# EXIT:  ’N’ is the estimated population at the end of the time unit.

SimulateOneYear = function(dt)
{ for(v in 1:(1/dt))                  # Advance the time step.
  { dN = (r+s*N)*N - H*r^2/(4*s)*dt;  # Compute the change.
    N=N+dN; }                         # Update the population value.
  if(N<=0) stop("Extinction");        # Make sure it is not extinct.
  assign("N",N, envir=.GlobalEnv); }  # Export the results.

r=1.75; s=-0.00175; N=1000; H=0;      # Establish parameters.

for(t in 1850:2100)                   # Advance to the next year.
{ if(t>=1900) H=1;                    # Harvesting lightly until 1990.
  print(c(t,N));                      # Display intermediate results.
  N = (runif(1)*2-1)*10 + N;          # Apply stochasticity.
  SimulateOneYear(1/(365*24)); }      # Advance the year and repeat.

תוכנית\(\PageIndex{1}\). תוכנית זו מדמה קציר מקסימלי עם תנודות קטנות באוכלוסיות.

מה קרה? קריסה היא חלק מהדינמיקה של קציר מסוג זה. סטוכסטיות בלתי נמנעת בקציר משתלבת בצורה שלילית עם שיווי משקל לא יציב באוכלוסיית הטרף. בחלק מהריצות הוא מתמוטט בעוד 80 שנה, באחרים זה עשוי לקחת 300. העיתוי אינו צפוי; המאפיין העיקרי הצפוי של הסימולציה הוא שבסופו של דבר המערכת תקרוס.