13.2: טריפה מבוקרת במודע

Last updated
Save as PDF

Page ID: 207765

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

שקול טריפה על ידי בני אדם שאינה כפופה לדינמיקה המחזורית של אינטראקציות טורפות טבעיות - טרף, אלא נשלטת במודע כדי לספק תשואות יציבות ואמינות - מהדיג בעולם, למשל. איך זה ניסיון?

נזכיר גידול אוכלוסייה לוגיסטי, כאשר המונח האקולוגי \(s\) שלילי. איור \(\PageIndex{1}\) מציג את קצב הגידול האינדיבידואלי בציר האנכי ואת צפיפות האוכלוסייה בציר האופקי, כפי שראית בעבר. צמיחה אינדיבידואלית פירושה אותו דבר כמו צמיחה לנפש, או צמיחה יחסית, או אחוז צמיחה אם מוכפל ב 100. הכוונה היא ליישם זאת על אוכלוסיות טרף הגדלות לוגיסטית.

13 111.jpg — איור\(\PageIndex{1}\): גידול אוכלוסייה לוגיסטי, קצב אישי.

עם זאת, קצב הגידול של כלל האוכלוסייה הוא שמעניין את הטרפה המבוקרת - לא בשיעור הגידול לנפש - מכיוון שמדובר בשבריר מכלל האוכלוסייה שיש לקחת. אז הציר האנכי צריך להראות \(dN/dt\) ולא\(1/N\,dN/dt\). התחל עם קצב הצמיחה האינדיבידואלי, שמגיע למקסימום שלו \(r\) ככל \(N\) שמתקרב ל-0. כאן האוכלוסייה מייצרת מעט מאוד פרטים מכיוון שהאוכלוסייה עצמה כמעט ואינה קיימת.

\[\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}\,=\,r\,+\,sN\]

המטרה היא למקסם את קצב גידול האוכלוסייה כך שניתן יהיה לקחת את מספר הטרף הגדול ביותר. כדי למצוא את המספר הזה, הכפל את שני צידי המשוואה לעיל במספר הפרטים,\(N\), כדי לקבל את קצב הגידול של האוכלוסייה כולה - במילים אחרות, כדי לקבוע כמה פרטים יתווספו לאוכלוסייה ביחידת זמן. התוצאה היא

\[\frac{dN}{dt}\,=\,rN\,+\,sN^2\]

לגידול האוכלוסייה כולה,\(dN/dt\), יש צורה של פרבולה הפוכה, המוצגת באיור\(\PageIndex{2}\), שכן \(s\) היא שלילית. גידול האוכלוסייה הוא הנמוך ביותר כאשר האוכלוסייה קטנה מאוד, קרוב ל -0, או כשהיא גבוהה, בסמוך לכושר הנשיאה שלה,\(−r/s\). הוא מגיע לקצב הצמיחה המרבי שלו באמצע הדרך, במחצית כושר הנשיאה,\((−r/s)\,/\,2\). כך שאם האוכלוסייה נשמרת במחצית מכושר הנשיאה שלה, היא תגדל הכי מהר וניתן "לקצור" את הכמות הגדולה ביותר בכל שנה.

13 2 .jpg — איור\(\PageIndex{2}\): גידול אוכלוסייה לוגיסטי, שיעור אוכלוסייה.

מהו השיעור המקסימלי הזה? כדי למצוא אותו, החלף מחצית מכושר הנשיאה\(−r/(2s)\), שכן \(N\) במשוואה לעיל, נותן

\[ \begin{align*} \frac{dN}{dt}\Biggr\vert_{max} &= r\left(-\frac{r}{2s}\right)\,+\,s\left(-\frac{r}{2s}\right)^2 \\[4pt] &= -\frac{r^2}{2s}\,+\,s\frac{r^2}{4s^2} \\[4pt] &=\,-\frac{r^2}{4s} \end{align*}\]

אז בתיאוריה זו האוכלוסייה גדלה במהירות הגבוהה ביותר בקצב\(−r^2/(4s)\), ומייצרת את המספר הגדול ביותר של פרטים חדשים אם היא נמשכת למחצית מכושר הנשיאה שלה. זה נקרא "התשואה המרבית בת קיימא".

13 222.jpg — איור \(\PageIndex{3}\) *דיג אז ועכשיו.*

13 333.jpg — איור \(\PageIndex{3}\) *דיג אז ועכשיו.*

תן לנו להציג עוצמת קציר,\(H\). כאשר \(H\) הוא אפס, אין קציר, וכאשר \(H\) הוא 1, הקציר הוא בקצב בר קיימא מקסימלי. בין לבין זה פרופורציונלי.

\[\frac{dN}{dt}\,=\,(rN\,+\,sN^2)\,+\,H\frac{r^2}{4s}\]

\(\frac{dN}{dt}\,\Rightarrow\)קצב גידול האוכלוסייה נטו: מספר הפרטים ליחידת זמן, בהתחשב בלידות, מקרי מוות וציד

\((rN\,+\,sN^2)\,\Rightarrow\)שיעור התוספת: מספר הפרטים שנולדו ליחידת זמן פחות אלה שמתים מסיבות שאינן ציד

\(H\frac{r^2}{4s}\,\Rightarrow\)שיעור ההסרה: מספר האנשים שנתפסו ליחידת זמן

אם דייגים בודדים שולטים (איור\(\PageIndex{3}\), משמאל), \(H\) יהיה קטן. זה מושך את העקומה למטה, כמו באיור\(\PageIndex{4}\), מוריד מעט את כושר הנשיאה ומשאיר מעט פחות דגים בים. הוא גם מציג נקודת Allee, אם כי נקודה זו נמצאת הרבה מתחת לשיווי המשקל ולכן אינה מהווה סכנה משמעותית.

אבל עם דיג ממוקד וממוכן יותר ויותר (איור\(\PageIndex{3}\), מימין), H מתקרב ל-1 והעקומה נמשכת יותר למטה (איור\(\PageIndex{5}\)). כושר הנשיאה מצטמצם במידה ניכרת והאוכלוסייה מייצרת אנשים חדשים בקצב גדול. ונקודת Allee נמשכת קרוב לכושר הנשיאה, ומציגה סכנה שתנודות בלתי צפויות באוכלוסייה עלולות לדחוף את האוכלוסייה מתחת לנקודת Allee ולמוטט את הדיג.

לבסוף, עם ציד או דיג בתשואה המרבית בת קיימא, נקודת Allee חופפת את כושר הנשיאה ולמעשה מחסלת אותה (איור\(\PageIndex{6}\)). זה מציג קונפליקט דינמי מכיוון שיש מצב יציב מימין אך לא יציב משמאל, מה שהופך את זה לבלתי נמנע שהאוכלוסייה תיפול מתחת לנקודת Allee ותתמוטט. התשואה המקסימלית אינה בת קיימא!