12.4: מרחב פאזה

Last updated
Save as PDF

Page ID: 207853

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

ניתן להבין טוב יותר את הרכיבה במרחב פאזה, שם צפיפות שני המינים מיוצגת כנקודות דו ממדיות.

שלב PP Space.JPG — איור\(\PageIndex{1}\). מרחב שלב טורף -טרף. המעגל מסמן שיווי משקל שבו הצמיחה של הטורף והטרף נעצרת. סימן הפלוס מסמן ערך אוכלוסייה של N ₁ = 1.5, N ₂ = 0.5.

לדוגמה, כפי שהוסבר בפרק 10, אם אוכלוסיית הטרף היא 1.5 ואוכלוסיית הטורפים היא 0.5, האוכלוסייה תהיה 1.5 יחידות מימין בציר האופקי ו-0.5 יחידות למעלה על הציר האנכי, במיקום של סימן פלוס כחול בגרף.

היכן מפסיקה אוכלוסיית הטורפים לגדול? במשוואה

\[\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\]

זה מפסיק לגדול איפה\(0\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\), או\(N_1\,=\frac{-r_2}{s_{2,1}}\). עם \(r_2\) = -0.5 ו \(s_{2,1}\) = 0.5, זהו קו אנכי - האיזוקלין הטורף - ב נ _{1 = 1}, כמו באיור. \(\PageIndex{2}\)

טורף isocline.JPG — איור\(\PageIndex{2}\). *הטורף איזוקלין, שבו אוכלוסיית הטורפים מפסיקה לגדול.*

משמאל לאיזוקלין, הטרף דליל והטורפים יורדים, כפי שמצוין על ידי החצים כלפי מטה. מימין לאיזוקלין, לעומת זאת, הטרף שופע וטורפים יכולים להתגבר, כפי שמצוין על ידי החצים כלפי מעלה.

כמו כן, היכן אוכלוסיית הטרף מפסיקה לגדול? במשוואה

\[\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\]

זה מפסיק לגדול איפה 0 =\(r_1\,+\,s_{1,2}N_2\), כלומר\(N_2\,=\,\frac{-r_1}{s_{1,2}}\). _{עם \(r_1\) = 1 ו \(s_{1,2}\) = -1, זהו קו אופקי - איזוקלין הטרף - ב נ 2 = 1.}

טרף isocline.JPG — איור\(\PageIndex{3}\). *הטרף איזוקלין, שבו אוכלוסיית הטרף מפסיקה לגדול.*

מתחת לאיזוקלין, הטורפים דלילים כך שהטרף יכול לגדול, כפי שמצוין על ידי החצים המצביעים ימינה. מעל האיזוקלין, לעומת זאת, טורפים נמצאים בשפע והטרף פוחת, כפי שמצוין על ידי החצים המצביעים שמאלה. הצבת דמויות \(\PageIndex{2}\) \(\PageIndex{3}\) וביחד נותנת איור\(\PageIndex{4}\), המציג סיבוב בחצים המשולבים.

PP isocline.JPG — איור\(\PageIndex{4}\). *שני האיזוקלינים, עם שתי קבוצות החצים המשולבות, המראים את הרכיבה על אופניים.*

כאן ניתן להסיק את הסיבוב על ידי חשיבה על הדינמיקה של טורף וטרף. הסיבוב מאושש באמצעות טבלה 10.2.1 לחישוב הערכים העצמיים. הערכים העצמיים של שיווי המשקל הפנימי מתגלים כ- 0 ± 0.707\(i\), מספר עם חלקים אמיתיים ודמיוניים כאחד. קיומו של חלק דמיוני, ± 0.707\(i\), מרמז על רכיבה על אופניים. החלק האמיתי, 0, פירושו שערכים עצמיים בלבד אינם יכולים לקבוע את היציבות - הוא יכול להיות יציב, לא יציב או ניטרלי. למעשה, במקרה הספציפי הזה ללא הגבלה עצמית, בחינה מתמטית עמוקה יותר מראה שהיציבות היא ניטרלית. הדינמיקה תסתובב ללא הגבלת זמן, ותשמור על כל מחזור שהוא התחיל בו.

לקיחת כל הנתונים מאיור 12.3.2 והתוויית N ₁ לעומת N ₂ נותן איור. \(\PageIndex{5}\) התהליך מתחיל ביום 0 עם N ₁ = N ₂ = 2. יום אחד לאחר מכן, הטרף ירד ל-N ₁ ≈ 0.5 והטורפים גדלו ל-N ₂ ≈ 2.2, המסומנים בספרה האדומה 1 במחזור. (בסמל '≈', אנו מתכוונים "שווה בערך ל.") יומיים לאחר מכן, הטרף ירד ל-N ₁ ≈ 0.2 והטורפים ירדו ל-N ₂ ≈ 1.0, המסומנים בספרה 3. עם טורפים ברמות נמוכות יחסית, הטרף מתחיל לעלות וארבעה ימים לאחר מכן הגיע ל נ ₁ ≈ 1.0, בעוד שטורפים ירדו עוד יותר ל נ ₂ ≈ 0.3, המסומן בספרה 7. יומיים לאחר מכן, הטרף גדל ל-N ₁ ≈ 3.0 והטורפים גדלו ל-N ₂ ≈ 1.0, המסומנים בספרה 9. לבסוף, יום לאחר מכן המחזור מתחיל לחזור, כפי שמסומן בספרה 10. זוהי דרך נוספת להראות את רכיבה על אופניים של איור 12.3.2.

איור\(\PageIndex{6}\). *המפלס על פני חלל הפאזה.*

באיור \(\PageIndex{6}\) - דיאגרמת זרימה, ניתן למלא את כל חלל הפאזה בחצים כדי להראות כיצד רכיבה על אופניים מתקדמת בכל מקום. הנתיב של איור 12.3.2, המוצג באיור\(\PageIndex{5}\), מכוסה בכחול.