12.3: דגם טורף-טרף
- Page ID
- 207826
עבור הפרקים הבאים נשקול שני מינים, החל טורף אחד טרף אחד. איור \(\PageIndex{1}\) מתאר את המצב הזה, כאשר קו אחד משופע למטה והשני למעלה.
הגרף משמאל מתאר את הטרף, מכיוון שמספרו N 1 מצטמצם כאשר מספר הטורף, N 2, גדל. באופן דומה, הגרף מימין מתאר את הטורף, מכיוון שמספרו, N 2, גדל עם צפיפות טרפו, N 1. משוואות הצמיחה מתגלות על ידי המדרונות והיירוט של שני הקווים.
מכיוון ששניהם קווים ישרים\(y\,=\,mx\,+\,b\), ניתן לרשום את המשוואות פשוט מהגיאומטריה. היירוט משמאל הוא +1 והמדרון הוא -1. היירוט מימין הוא -1/2 והשיפוע שלו הוא +1/2. המשוואות המקבילות של שתי השורות מופיעות מתחת לתרשימים.
ניתן להכליל את המשוואות הספציפיות הללו באמצעות סמלים במקום מספרים בפועל, לכתוב r 1, s 1,2, r 2 ו- s 2,1 ליירוט +1.0 ושיפוע -1.0 משמאל והיירוט -0.5 והמדרון +0.5 מימין, כדלקמן.
\(\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\,\,\,\,\,\,\,with\,r_1\,=\,+\,1.0,\,\,\,s_{1,2}\,=\,-\,1.0\)
\(\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\,\,\,\,\,\,\,with\,r_2\,=\,-\,0.5,\,\,\,s_{2,1}\,=\,+\,0.5\)
רק על ידי רישום צורת הגרפים הגיאומטריים הללו, הופיעו משוואות הטרף הקלאסיות של לוטקה-וולטרה:
\(\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\,\,\,\,\,\,\,with\,r_1\,>\,0,\,\,\,s_{1,2}\,<\,0\)
\(\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\,\,\,\,\,\,\,with\,r_2\,<\,0,\,\,\,s_{2,1}\,>\,0\)
כך נראות המשוואות בספרי לימוד רבים, עם V לצפיפות הטרף ו - P לצפיפות הטורפים:
\(\frac{dV}{dt}\,=\,rV\,-\alpha\,VP\)
\(\frac{dP}{dt}\,=\beta\,VP\,-\,qP\)
וולטרה הגיעה למשוואה בצורה שונה למדי מאיתנו, עם קצב גדילה ר לטרף, מופחת בקצב \(\alpha\) לכל מפגש בין טורף לטרף\(V\,\cdot\,P\), ועם שיעור תמותה טבעי ש לטורפים וקצב גדילה מפצה \(\beta\) לכל מפגש,\(V\,\cdot\,P\), בין טורף לטרף.
כדי לראות את השוויון, חלק את המשוואה הראשונה באמצעות V והשנייה על ידי P, ואז הגדר\(V\,=\,N_1,\,\,P\,=\,N_2,\,\,r\,=\,r_1,\,\,q\,=\,-r_2,\,\,\alpha\,=\,-s_{1,2},\,\,\beta\,=\,s_{2,1}\). ניסוח לוטקה — וולטרה יתגלה רק כמשוואות r+ sN בתחפושת.
איור \(\PageIndex{1}\) חושף את משוואות הטורף-טרף הבסיסיות מהגיאומטריה, החושפות את אחדות משוואות האקולוגיה, כפי שראית בפרק 5. ניתוח זה חשף צורה של משוואה חד ממדית שאינה נחשבת בספרי לימוד אקולוגיים-המשוואה האורתולוגיסטית-ואשר נחוצה להבנת אוכלוסיות אנושיות ואחרות שצומחות במהירות.
עכשיו לנתח את המשוואות האלה קצת. נניח שצפיפות הטורף והטרף הן 1, נניח 1 פרט לדונם (נ 1 = נ 2 = 1). תחליף 1 הן ל- N 1 והן ל- N 2. מהם שיעורי הצמיחה?
\(\frac{1}{1}\frac{dN_1}{dt}\,=\,1.0\,-\,1.0\,\times\,1\,=\,0\)
\(\frac{1}{1}\frac{dN_2}{dt}\,=\,-0.5\,+\,0.5\,\times\,1\,=\,0\)
גידול האוכלוסייה הוא אפס עבור שני המינים, ולכן האוכלוסיות אינן משתנות. זהו שיווי משקל.
ניתן לראות זאת בתרשימים למטה. העובדה ששני שיעורי הצמיחה וגם חוצים את הציר האופקי ב- N 1 = N 2 = 1 (מיקום הנקודות) פירושה שהצמיחה נעצרת עבור שניהם. \(\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\) \(\frac{1}{N_1}\frac{dN_2}{dt}\) זה נקרא שיווי משקל, מצב יציב, או, לפעמים, נקודה קבועה.
אבל מה יקרה אם שתי האוכלוסיות יהיו 2, נניח 2 פרטים לדונם?
קצב גידול הטרף,\(\frac{1}{N_1}\frac{dN_1}{dt}\), שלילי ב-N 2 = 2 (הקו נמצא מתחת לציר האופקי) וקצב גדילת הטורף,\ (\ frac {1} {N_1}\ frac {dN_2} {dt}, חיובי ב-N 1 = 2 (הקו נמצא מעל הציר האופקי). אז אוכלוסיית הטרף תפחת ואוכלוסיית הטורפים תגדל. ניתן לחשב כיצד בדיוק האוכלוסיות יתפתחו לאורך זמן על ידי הכנסת פרמטרים אלה לתוכנית בפרק 8. הנה זה מה שהוא מראה.
לשם השוואה, הנה מה שהראו ניסויים מוקדמים כמו Gause ו- Huffaker לאוכלוסיות של פרוטוזואה, קרדית ומערכות קטנות אחרות באמצע המאה העשרים:
הדינמיקה כאן זהה במידה רבה לאלה המוצגות בגרסה המחושבת של איור \(\PageIndex{2}\) ובגרסה הניסיונית של איור\(\PageIndex{3}\), אך עם סטוכסטיות המונחת על מערכת הניסוי. אולם הנסיינים התקשו להשיג רכיבה על אופניים מתמשכת. בתנאים פשוטים, הטורפים היו מוצאים את הטרף ואוכלים כל אחד מהם, ואז הטורפים עצמם ימותו כולם. רכיבה על אופניים מתמשכת יכולה להיות מושגת על ידי מתן הטרף למקומות לברוח, או להקשות על הטורפים לנוע בסביבה.