11.1: מרחבי מדינה

Last updated
Save as PDF

Page ID: 207643

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

קשורים קשר הדוק ל"מרחבי פאזה "הם" מרחבי מדינה". בעוד שמרחבי פאזה משמשים בדרך כלל עם מערכות רציפות, המתוארות על ידי משוואות דיפרנציאליות, נעשה שימוש במרחבי מצב עם מערכות זמן נפרדות, המתוארות על ידי משוואות הבדל. כאן המערכת הטבעית משוערת על ידי קפיצות ממצב אחד למשנהו, כמתואר בפרק 7, ולא על ידי מעברים חלקים. בעוד ששני סוגי החללים דומים, הם נבדלים זה מזה בדרכים חשובות.

איור\(\PageIndex{1}\). מערכת אקולוגית בערבה המציבה זרע בצבעי סתיו - Bluebird Prairie, המערב התיכון העליון של ארה"ב. אם לא נשרפים, רועים או מכסחים, שטחי עשב יכולים להשאיר שכבה עבה של פסולת המעכבת את צמיחת השנה הבאה.

בהשראת המורכבות של האקולוגיה, והופעל בחלקו על ידי מאמר הפצצה של רוברט מיי משנת 1976, פעל צבא מתמטיקאים במהלך הרבע האחרון של המאה העשרים להבנת המורכבות הללו, תוך התמקדות במערכות זמן דיסקרטיות ובמרחבי מדינה. מרחב מדינה מעניין עד אין קץ הוא המשוואה הלוגיסטית המתעכבת (Aronson et al. 1982), פועל יוצא של המשוואה הלוגיסטית בזמן הדיסקרטי המתוארת בפרק 7.

לפרשנות ביולוגית של המשוואה הלוגיסטית המתעכבת, הבה נבחן את הדוגמה של ביומסה של עשב חי יחד עם פסולת העלים של השנה שעברה. ביומסה בשנה הבאה (N _t+1) קשורה באופן חיובי לביומסה השנה (N _t), אך קשורה באופן שלילי לביומסה מהשנה הקודמת (N _t-1). ככל שיש יותר ביומסה בשנה הקודמת, כך יותר פסולת השנה וההצללה המעכבת של הצמיחה בשנה הבאה גדולה יותר. הקירוב הפשוט ביותר כאן הוא שכל הביומסה מומרת למלטה, חלק קבוע מההמלטה מתפורר מדי שנה, והעיכוב מההמלטה הוא ליניארי. זה לא מציאותי לחלוטין, אבל יש לו את המאפיינים החיוניים לדוגמא. נתוני שדה ומודלים רשמו עיכוב מסוג זה (טילמן וודין, טֶבַע 1991).

תכנית 11.3.JPG

תכנית\(\PageIndex{1}\). תוכנית לחישוב נקודות עוקבות במרחב המצב של המשוואה הלוגיסטית המתעכבת.

למשוואה הבסיסית יש נ ₁ כביומסה חיה ו - N ₂ כפסולת עלים מצטברת. N ₁ ו - N ₂ הם אפוא לא שני מינים שונים, אלא שני קבוצות גיל שונות של מין בודד.

\(N_1\,(t\,+\,1)\,=\,rN_1(t)\,(1\,-\,N_2(t))\)

\(N_2\,(t\,+\,1)\,=\,N_1\,(t)\,+\,pN_2\,(t)\)

האמור לעיל הוא דרך נפוצה לכתוב משוואות הבדל, אך הפחתת N _i מכל צד, חלוקה ב - N _i ויצירת p = 0 לפשטות נותנת את הצורה הסטנדרטית בה השתמשנו.

\(\frac{1}{N_1}\frac{∆N_1}{∆t}\,=\,(r\,-\,1)\,-\,rN_2\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\)

\(\frac{1}{N_2}\frac{∆N_2}{∆t}\,=\,-1\,+\frac{1}{N_2}\,N_1\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\)

שימו לב למשהו חדש. אחד המקדמים, s _2,1, אינו קבוע כלל, אלא הוא הדדי של משתנה דינמי. תוכלו לראות דברים מסוג זה שוב בסוף פרק הטורף-טרף, ולמעשה זו תוצאה נורמלית למדי בעת מיזוג פונקציות (פרק 18) להשגת צורה כללית של קולומוגורוב. אז המשוואה הלוגיסטית המתעכבת היא כדלקמן:

\(\frac{1}{N_1}\frac{∆N_1}{∆t}\,=\,r_1\,+\,s_{1,2}N_2\)

\(\frac{1}{N_2}\frac{∆N_2}{∆t}\,=\,r_2\,+\,s_{2,1}N_1\)

_{איפה ר ₁ = ר -1, ר ₂ = -1, ס _1,2 = − ר, ו ס _{2,1 = 1/ נ 1}.} שימו לב גם ש - r _i עם כתב משנה שונה מ - r ללא כתב משנה.

1.JPG לוגיסטי — איור\(\PageIndex{2}\). *מרחב פאזה לוגיסטי מושהה עם r = 1.9, מתפתל פנימה לעבר שיווי משקל.*

לערכים קטנים של r, ביומסה וראש המלטה לשיווי משקל, כמו בנתיב הספירלי של איור\(\PageIndex{2}\). כאן המערכת מתחילה בסימן הפלוס, בזמן t = 0, עם ביומסה חיה נ ₁ = 0.5 וביומסה של פסולת N _{2 = 0.1}. בשנה שלאחר מכן, בזמן t = 1, הביומסה החיה עולה ל נ ₁ = 0.85 והמלטה ל נ ₂ = 0.5. השנה השלישית, t = 2, ביומסה חיה מעוכבת מעט ל - N ₁ = 0.81 והמלטה מצטברת עד N ₂ = 0.85. לאחר מכן, מתחת לשכבת פסולת כבדה, הביומסה יורדת בחדות ל - N ₁ = 0.22, וכן הלאה לגבי המחזור. שיווי המשקל נקרא "מושך" מכיוון שאוכלוסיות נמשכות לתוכו.

2.JPG לוגיסטי — איור\(\PageIndex{3}\). *מרחב פאזה לוגיסטי מושהה עם r = 2.03, מתפתל לעבר מחזור גבול יציב, כאשר נקודת שיווי המשקל עבור r = 1.9 מוצגת כנקודה.*

עבור ערכים גדולים יותר של r, שיווי המשקל מאבד את יציבותו ושני ערכי הביומסה, צמיחה חדשה ופסולת ישנה, מתנדנדים לצמיתות סביב מרחב המדינה, כמו בנתיב הספירלי של איור. \(\PageIndex{3}\) הנתיב הפנימי ביותר הוא מושך הנקרא "מחזור גבול". אוכלוסיות המתחילות מחוצה לו מסתובבות פנימה, ואוכלוסיות המתחילות בתוכו מסתובבות כלפי חוץ -- למעט אוכלוסיות המאוזנות בצורה מסוכנת בדיוק בנקודת שיווי המשקל הלא יציבה עצמה.

3.JPG לוגיסטי — איור\(\PageIndex{4}\). *מרחב פאזה לוגיסטי מושהה עם שיווי משקל יציב ושלושה מחזורי גבול יציבים עבור r = 1.9 עד r = 2.27, כפי שמסומן.*

עבור ערכים גדולים עוד יותר של r, המערכת נעה פנימה והחוצה מתוהו ובוהו באופן שנראה כאוטי בעצמו. על ידי r = 2.15 באיור\(\PageIndex{4}\), מחזור הגבול הופך מעט מעוות בפינה השמאלית התחתונה שלו. על ידי r = 2.27 זה הפך להיות כל כך, ומשהו מוזר מאוד קרה. בליטה הופיעה בין 0 לכ- 0.5 בציר האנכי, והבליטה הזו הסתבכה עם כל מחזור הגבול, מקופלת על עצמה שוב ושוב. מה שקורה מוצג על ידי הגדלת אזור 1, בתוך הריבוע האדום.

איור \(\PageIndex{5}\) מציג את הריבוע האדום של איור \(\PageIndex{4}\) מוגדל 50 קוטר. העקומה המוטה בצורת U היא ההסתבכות הראשונה של הבליטה, והחלק העיקרי של מחזור הגבול מתגלה כלא עקומה, אלא שתי עקומות מקבילות או אולי יותר. תמונות רצופות של אותה בליטה, מוארכות בהדרגה בכיוון אחד ודחוסות בכיוון השני, מראות כי מחזור הגבול הזה מורכב לאין שיעור. זה, למעשה, אפילו לא עקומה חד-ממדית, אלא "פרקטל", זה גדול מחד ממדי אבל פחות מדו-ממדי!

4.JPG לוגיסטי — איור \(\PageIndex{4}\) *מוגדל 50 קוטר*.

איור \(\PageIndex{6}\) מגדיל את הריבוע האדום של איור\(\PageIndex{5}\), 40 קוטר נוסף, עבור סך של 2000 קטרים. השורה העליונה נראית יחידה, אך הקו השמן התחתון מהאיור \(\PageIndex{5}\) נפתר לשתי שורות, או אולי יותר. למעשה, כל אחד מהקווים הללו, המוגדל מספיק, הופך לקווים מרובים, וחושף פרטים עדינים יותר עד אינסוף! ממקום למקום, זוגות קווים מתקפלים זה לזה בצורות U ויוצרים תמונות עמוקות יותר עד אין קץ של הבליטה המקורית. בספרות המתמטית, סוג זה של מושך מוזר נקרא, למעשה, "מושך מוזר".

5.JPG לוגיסטי — איור \(\PageIndex{5}\) *מוגדל 40 קטרים נוספים*.

דינמיקת אוכלוסיה מוזרה כזו המתרחשת בטבע, עם דפוסים מורכבים לאין שיעור, אינה יכולה להתעורר במרחבי פאזה של מערכות דינמיות למין אחד או שניים המפלסים בזמן רציף, אלא יכולה להתעורר עבור שלושה מינים או יותר בזמן רציף. וכפי שמתואר בפרק 7, הם יכולים להתעורר אפילו למין בודד המקורב בזמן נפרד.

מה שהדגמנו בפרק זה הוא אולי המערכת האקולוגית הפשוטה ביותר עם מושך מוזר שניתן לדמיין במרחב מצב דו מימדי.

איור\(\PageIndex{7}\). נוף של סט מנדלברוט, אשר נקרא האובייקט המורכב ביותר שחזה המוח האנושי. זוהי החלוקה בין שתי התנהגויות שונות במערכת דינמית דו-ממדית מסוימת-אובייקט מורכב לאין שיעור שהוא פחות מ -2-ממדי אך גדול מ -1.9 ממדי. אנו מציגים אותו כאן להנאתכם - לפליאה ולאמנות.