Skip to main content
Global

10.4: דוגמה למרחב פאזה

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    207602

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    לדוגמה למציאת שיווי משקל ויציבות, שקול שני מינים מתחרים עם קצבי צמיחה פנימיים r 1 = 1.2 ו - r 2 = 0.8. תן לכל מין לעכב את עצמו בצורה כזו ש s 1,1 =−1 ו-s 2,2 =−1, תן למין 2 לעכב את מינים 1 חזק יותר ממה שהוא מעכב את עצמו, עם s 1,2 =−1.2, ולתת למין 1 לעכב את מינים 2 פחות חזק ממה שהוא מעכב את עצמו, עם s 2,1 =−0.5. תנאים אלה מסוכמים בתיבה 10.2.2 לעיון. השאלה היא, מהם שיווי המשקל במערכת התחרותית הספציפית הזו, ומה תהיה יציבותם?

    ראשית, קיים שיווי משקל במקור (0,0) במערכות אלה, כאשר שני המינים נכחדו. זה נקרא לפעמים "שיווי המשקל הטריוויאלי", והוא עשוי להיות יציב או לא. מטבלה 10.2.1, הערכים העצמיים של שיווי המשקל במקור הם r 1 ו- r 2 - במקרה זה 1.2 ו- 0.8. שניהם חיוביים, ולכן מהכללים לערכים עצמיים בתיבה 10.2.1, שיווי המשקל במקור במקרה זה אינו יציב. אם לא קיימים פרטים משני המינים באזור, אף אחד מהם לא יתעורר. אבל אם אנשים מכל אחד מהמינים יגיעו איכשהו לאזור, או אם שני המינים יגיעו, האוכלוסייה תגדל. שיווי משקל זה אינו יציב אפוא. הוא מוצג בתרשים חלל הפאזה של \(\PageIndex{1}\), along with the other שיווי משקל איור במערכת.

    תיבה \(\PageIndex{1}\) calculated results for the sample competitive system

    שיווי משקל קואורדינטות ערכים עצמיים מצב
    מקור (0,0) (1.2,0.8) לא יציב
    ציר אופקי (1.2.0) (-1.2,0.2) לא יציב
    ציר אנכי (0.0.8) (-0.8,0.24) לא יציב
    פנים (0.6,0.5) (-0.123, -0.977) יציב

    בציר האופקי, שבו מין 2 אינו קיים, שיווי המשקל של מינים 1 הוא N' 1 = − r 1/s 1,1 = 1.2. זה כצפוי - זה בדיוק כמו שיווי המשקל של N' = - r/s למין בודד - כי זה אכן מין בודד כאשר מין 2 אינו קיים. באשר ליציבות, ערך עצמי אחד הוא - r 1, שהוא -1.2, שהוא שלילי, כך שהוא לא יגרום לחוסר יציבות. עבור הערך העצמי האחר בשיווי משקל זה, עליך לחשב ש מטבלה 10.2.1. אתה צריך לקבל q =−0.2, ואם אתה מחלק את זה ב-s 1,1, אתה אמור לקבל 0.2. זה חיובי, ולכן על פי כללי הערכים העצמיים בתיבה 10.2.1, שיווי המשקל בציר האופקי אינו יציב. לפיכך, אם מין 1 נמצא בשיווי המשקל שלו ויגיע תוספת של מינים 2, מין 2 יגדל ושיווי המשקל יינטש.

    באופן דומה, על הציר האנכי, בו מין 1 אינו קיים, שיווי המשקל של מינים 2 הוא N 2 = - r 2 /s 2,2 = 0.8. חשב את הערכים העצמיים בשיווי משקל זה מטבלה 10.2.1 ואתה אמור לקבל עמ =−0.24, וחלוקת ב- s 2,2 תן ערכים עצמיים של -0.8 ו- 0.24. עם אחד שלילי והשני חיובי, על פי הכללים של ערכים עצמיים בתיבה 10.2.1 שיווי המשקל על הציר האנכי הוא גם לא יציב.

    לבסוף, עבור שיווי המשקל הרביעי - שיווי המשקל הפנימי שבו שני המינים נמצאים - חשב את a, b ו - c מהטבלה. אתה צריך לקבל א =−0.4, ב =−0.44, ו ג =−0.048. כעת שיווי המשקל הפנימי הוא N' 1 = p/a = 0.6 ו - N' 2 = q/a = 0.5.

    שלב יציב space.JPG
    איור\(\PageIndex{1}\). מרחב שלב לדוגמא לתחרות עם דו קיום יציב המסוכם בתיבות 10.2.2 ו\(\PageIndex{1}\). החצים מחושבים לפי קוד כמו זה של התוכנית\(\PageIndex{1}\), כלולים לעיון.

    אבל האם זה יציב? שימו לב לנוסחה לערכים העצמיים של שיווי המשקל הפנימי בטבלה 10.2.1, במונחים של a, b ו- c. זו פשוט הנוסחה הריבועית! זהו רמז לכך שהערכים העצמיים מוטבעים במשוואה ריבועית, גרזן 2 + bx + c = 0. ואם תתחיל בפרויקט לגזור את הנוסחה לערכים עצמיים בעזרת עיפרון ונייר, תראה שאכן הם כן. בכל מקרה, לפתור את זה בצורה פשוטה יותר מהנוסחה בטבלה, אתה צריך לקבל -0.123 ו -0.977. שניהם שליליים, כך שעל פי הכללים של תיבה 10.2.1 שיווי המשקל הפנימי עבור קבוצת פרמטרים זו יציב.

    כהערה אחרונה, נוכחות השורש הריבועי בנוסחה מצביעה על כך שלערכים עצמיים יכולים להיות חלקים דמיוניים, אם השורש הריבועי מכסה מספר שלילי. כללי הערכים העצמיים בתיבה 10.2.1 עדיין חלים במקרה זה, אך רק על החלק האמיתי של הערכים העצמיים. נניח, למשל, שהערכים העצמיים הם. \(\frac{-1\pm\sqrt{-5}}{2}\,=\,-0..5\pm\,1.118i\) אלה יהיו יציבים מכיוון שהחלק האמיתי, -0.5, הוא שלילי. אבל מסתבר שבגלל שהחלק הדמיוני,\(\pm\,1.118i\), אינו אפס, המערכת תסתובב סביב נקודת שיווי המשקל, כפי שעושות מערכות טורף-טרף.

    בסגירת חלק זה של הדיון, עלינו לציין כי לווקטורים עצמיים ולערכים עצמיים יש יישומים רחבים. אלקטרון orbitals.JPG הם חושפים, למשל, אורביטלים אלקטרונים בתוך אטומים (מימין), יישור של משתנים מרובים בסטטיסטיקה, מצבי רטט של מיתרי פסנתר ושיעורי התפשטות המחלה, ומשמשים לשפע של יישומים אחרים. לשאול כיצד ניתן להשתמש בערכים עצמיים זה קצת כמו לשאול כיצד ניתן להשתמש במספר שבע. אולם כאן אנו פשוט משתמשים בהם כדי להעריך את יציבות שיווי המשקל.

    שלב החלל Code.JPG

    תוכנית תוכנית \(\PageIndex{1}\) לדוגמה ב R כדי ליצור מרחב פאזה של חצים, הצגת המיקומים של ההתחלה והקצוות של החצים, אשר מועברים דרך תוכנית גרפיקה לתצוגה. ההצהרה 'בעוד (1) 'פירושה "בעוד לנצח", והיא רק דרך קלה להמשיך בלולאה עד שהתנאים בתחתית הלולאה מזהים את הסוף ומתפרצים החוצה.