Skip to main content
Global

10.3: משטח המייצר את הזרימה

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    207601

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    חשבו על צורות שעליהן השיש יכול להישאר נייח, אולי מאוזן בצורה מסוכנת, על משטח דו-ממדי מסובך בחלל תלת מימדי, עם פסגות ועמקים במבנה שלהם. איור \(\PageIndex{1}\) מציג שבע תצורות אפשריות עבור שאר נייח.

    שבעה סוגים של equilibria.JPG
    איור\(\PageIndex{1}\). שבעה סוגים של שיווי משקל אפשריים כחלק ממשטחים המגדירים חללי פאזה של שני מינים.

    תצורה A היא פסגה, נקודת שיא ביחס לסביבתה. הוא מתעקל כלפי מטה לכל כיוון. לכן הוא לא יציב - שיש הניצב למעלה יכול להתגלגל לכל כיוון.

    תצורה C היא ההפך, אגן. פני השטח מתעקלים כלפי מעלה לכל כיוון. הוא יציב מכיוון שיש שנח בתחתית מתגלגל לאחור מהפרעה לכל כיוון.

    תצורה B היא כמו שילוב של A ו- C. היא נקראת "אוכף" על צורתה saddle.JPG שהייתה פעם בכל מקום (מימין). הוא מתעקל כלפי מעלה בכיוונים מסוימים ומטה באחרים. שיש שנח במרכזו אינו יציב מכיוון שהוא יכול להתגלגל לכיוונים רבים.

    תצורות D, E ו- F קשורות ל- A, B ו- C, אך הן ברמה בכיוון אחד לפחות. ל"רכס ", תצורה D, יש שיווי משקל לאורך כל החלק העליון שלו. שיש מאוזן שם בצורה מסוכנת ודחוף יכול היה לעבור לשיווי משקל חדש לאורך הרכס, אם הדחיפה הייתה מיושרת בדייקנות אינסופית; אולם כמעט בוודאות השיש היה מתגלגל. לתצורה זו יש אינסוף שיווי משקל - לאורך כל הרכס - אך אף אחד מהם אינו יציב.

    "שוקת", תצורה F, היא ההפך מרכס, עם שיווי משקל לאורך כל הרמות הנמוכות ביותר שלו. שיש שנח שם ודחוף יעבור למצב שיווי משקל חדש בבסיס השוקת. שוב יש אינסוף שיווי משקל - לאורך כל הבסיס - אך אף אחד מהם אינו יציב מכיוון שהשיש נדחף לאורך השוקת אינו חוזר למיקומו הקודם. שיווי המשקל יציבים מבחינה ניטרלית, לעומת זאת, בראייה האקולוגית.

    "אינפרקציה", תצורה E, היא כמו שילוב של D ו- F, שינוי שיפוע והופך לרמה, אך לאחר מכן חוזר לאותו כיוון כמו קודם ולא משתנה למדרון הנגדי. גם לו יש קו מפלס עם מספר אינסופי של שיווי משקל, כולם לא יציבים, עם גולות שמתגלגלות מהדחיפה הקלה ביותר לחצי מהכיוונים האפשריים.

    תצורה G, "רגיל" שטוח לחלוטין, היא אולי הקלה ביותר להבנה. שיש יכול לנוח בכל מקום, ולכן כל נקודה על המשטח השטוח היא שיווי משקל. אך שיש לא יחזור למקומו הקודם אם ידחף אותו, כך ששום שיווי משקל על המשטח השטוח אינו יציב. באקולוגיה מצב זה נקרא לפעמים "יציב ניטרלי"; במתמטיקה זה נקרא "לא יציב".

    בעזרת תמונות תלת מימדיות וכוח קוגניטיבי אנושי, ניתן לדמיין משטח במבט חטוף, כמו באיור 10.1.1, ולשפוט את ההשלכות על אוכלוסיות הגדלות על פי משוואות התואמות לאותו משטח. אתה יכול לראות במבט חטוף אם הוא מתעקל בכל מקום או למטה בכל מקום, אם הוא משלב כיוונים כלפי מעלה ומטה, או אם יש לו נקודות מפלס. אתה יכול לסווג כל שיווי משקל לתצורות של איור\(\PageIndex{1}\). אך כיצד ניתן לכמת את פסק הדין הזה, להפוך אותו לאוטומטי?

    שיטת הווקטורים העצמיים והערכים העצמיים משיגה זאת. חשבו על הקידומת eigen - כמשמעותה "תקין", כמו ב"וקטור נכון "או" ערך נכון". הרעיון יתבהר בקרוב. שיטת הווקטורים העצמיים והערכים העצמיים פותחה בשלבים במשך יותר ממאתיים שנה על ידי כמה מהמוחות המתמטיים הטובים ביותר, וכעת אנו יכולים ליישם אותה בשלמותה על אקולוגיה.

    עמוד138תמונה37443584עמוד138תמונה37443584Slice.JPG
    איור 10.1.1, עם שיפוע המשטח (הנגזרת הראשונה שלו, dy/dx, אמצע) ושינויים במדרון זה (הנגזרת השנייה שלו, d 2 y/dx 2, למטה)

    חשבו על פרוסה חד ממדית דרך פני השטח של איור 10.1.1, העוברת ברציפות בנקודות B, A, C ומעבר לה. זה ייראה כמו החלק העליון של איור \(\PageIndex{2}\) כמו קודם, שיש המאוזן במדויק ב- A יהיה לא יציב, מוכן להתגלגל לכיוון B או C. נקודות שיווי המשקל הן נקודות מפלס בהן השיפוע הוא אפס, כפי שהן על פני איור 10.1.1 מחשבון, זה המקום בו הנגזרת היא אפס, כאשר dy/dx = 0. מדרונות אפס אלה מסומנים בקווים אופקיים ירוקים באיור.

    הגרף האמצעי של איור \(\PageIndex{2}\) מראה סימן של הנגזרת, dy/dx, פלוס או מינוס. פונקציית הסימן בציר האנכי, sgn (u), שווה לאפס אם u הוא אפס אך שווה לפלוס או מינוס אחד אם u חיובי או שלילי, בהתאמה. האם שיווי משקל נמצא בשוקת או בפסגה נקבע על פי האופן שבו המדרון משתנה בדיוק בנקודת שיווי המשקל. מחשבון, כלומר הנגזרת השנייה,\(\frac{d^2y}{dx^2}\), רישום שינויים בנגזרת הראשונה, dy/dx - בדיוק כפי שהנגזרת הראשונה מתעדת משתנה במשטח עצמו.

    הסימן של הנגזרת השנייה מוצג בחלק התחתון של איור\(\PageIndex{2}\). בכל מקום שהמדרון גדל בנקודת שיווי משקל - כלומר, משתנה משיפוע למטה משמאל לשיפוע למעלה מימין - זהו אגן. בכל מקום בו הוא יורד בנקודת שיווי משקל - משתנה משיפוע למעלה משמאל לשיפוע למטה מימין - זו פסגה. אם נקודת שיווי משקל יציבה או לא, ניתן לקבוע באופן מתמטי רק מהסימן של הנגזרת השנייה של פני השטח באותה נקודה!

    זה קל אם יש רק מין אחד, כמו במודלים של פרקים קודמים, עם כיוון אחד בלבד שיש לקחת בחשבון. אבל זה הופך להיות מסובך כאשר שני מינים או יותר מתקשרים, שכן מספר אינסופי של כיוונים הופכים לזמינים.

    altחלקי deriv.JPG
    איור נגזרות \(\PageIndex{3}\) חלקיות, וקטורים עצמיים ויציבות.

    נראה כי תצורה תהיה אגן אם פני השטח מתעקלים כלפי מעלה בשני הכיוונים x ו- y, כמו בתצורה C של איור\(\PageIndex{1}\). אבל תסתכל על שלושת החלקים של הדמות\(\PageIndex{3}\). חלק א 'הוא משטח עם שוקת מיושרת עם הצירים.

    במבט לאורך ציר ה- x - שיהיה ציר N 1 המציג את שפע המינים 1 - המשטח מתעקל משני צידי המינימום שלו (עקומה לבנה). עם זאת, הסתכלות לאורך ציר y - ציר N 2 המציג את שפע המינים 2 - מגלה שהוא בדיוק ברמה בכיוון זה (קו ירוק), כלומר שיווי המשקל אינו יציב.

    אבל נניח שאותו משטח מסובב 45 מעלות, כמו בחלק ב 'של הדמות. המשטח מתעקל כלפי מעלה לא רק לאורך ציר ה- x (עקומה לבנה) אלא גם לאורך ציר y (עקומה ירוקה). עם זאת, פני השטח זהים. בניגוד למה שניתן היה לצפות, עיקול כלפי מעלה בשני הכיוונים x ו- y לא אומר שהתצורה היא אגן! הבנת המבנה פירושה להסתכל בכיוונים הנכונים לאורך פני השטח, לא רק לאורך הצירים.

    זה מה שעושים ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים. הם מתיישרים עם הצירים ה"מתאימים" למשטח, כפי שמודגם בחלק ג. לא משנה עד כמה המשטח מעוות, מוטה או משתנה ביחס לצירים, הווקטורים העצמיים מסתדרים עם הצירים ה"נכונים "של פני השטח, והערכים העצמיים מודדים אם השיפוע גדל או יורד לאורך הצירים הללו בשיווי משקל.

    תיבה \(\PageIndex{1}\) rules of eigenvalues for hill-climbing systems

    1. אם כל הערכים העצמיים שליליים, שיווי המשקל יציב.
    2. אם ערך עצמי כלשהו חיובי, שיווי המשקל אינו יציב.
    3. אם חלק מהערכים העצמיים או כולם הם אפס וכל הערכים העצמיים הנותרים הם שליליים, אין מספיק מידע בערכים העצמיים כדי לדעת אם שיווי המשקל יציב או לא. יש צורך במבט מעמיק יותר על המערכת.

    בקיצור, אם כל הערכים העצמיים חיוביים, שיווי המשקל הוא אגן, כמו באיורים 10.1.1C ו- \(\PageIndex{1}\) C. אם כל הערכים העצמיים שליליים, שיווי המשקל הוא פסגה, כמו באיורים 10.1.1A ו- A\(\PageIndex{1}\). ואם הערכים העצמיים הם של סימנים מעורבים, או אם חלקם אפס, אז נקבל אחת מהתצורות האחרות. (ראה תיבה\(\PageIndex{1}\))

    Mountain.JPGהוא משפיע על כוח הכבידה. מערכות דינמיות יכולות לעשות את ההפך - הן יכולות לטפס לרמה הגבוהה ביותר ביישוב. לדוגמה, הברירה הטבעית מתוארת בדרך כלל כטיפוס על "פסגות כושר" על "נופים אדפטיביים" מופשטים. כמובן, עבור משטחים מתמטיים ולא רכסי הרים אמיתיים, זו רק נקודת מבט. האם מערכת מטפסת למעלה או מחליקה למטה תלויה באופן שרירותי בשאלה אם המשטח המתמטי מודבק בסימן פלוס או מינוס במשוואות.
    איור\(\PageIndex{2}\), שיווי משקל במערכת טיפוס גבעות יציב אם המדרון יורד (סימן שלילי) ולא עולה (סימן חיובי). מכיוון שהאינטואיציה האנושית חלה כל כך טוב על גולות המתגלגלות מגבהים ומתיישבות לרדודים, בחרנו להסביר זאת באופן אינטואיטיבי כך תחילה, אך חשוב להבין את שתי הדרכים.

    מסתבר שניתן לקבוע את הצירים המתאימים בכל נקודת שיווי משקל - הווקטורים העצמיים - Matrix.JPG בדיוק מארבעה מספרים בלבד, וכמה השיפוע גדל או יורד בכל נקודת שיווי משקל - הערכים העצמיים - ניתן לקבוע בו זמנית מאותו ארבעה מספרים. אלו הן ארבע הנגזרות החלקיות במה שמכונה "המטריצה ההסיאנית" של פני השטח, או, באופן שווה ב"מטריצה היעקובית "של משוואות גידול האוכלוסייה. הבנה של מטריצות אלה ויישומיהן התפתחה במתמטיקה במהלך שתי המאות האחרונות.

    על ידי השקעת מאמץ ותשומת לב תוכלו לעבד את הערכים העצמיים באופן מתמטי בעזרת עיפרון ונייר. עם זאת, סביר להניח שתשתמש במחשבים כדי להעריך את הערכים העצמיים של מערכות אקולוגיות. ניתן לעשות זאת באמצעות סמלים מופשטים בחבילות מחשב כמו Mathematica או Maxima, או מספרית בשפות תכנות כמו R. עבור מערכות סטנדרטיות של שני מינים, עבדנו על כל שיווי המשקל והערכים העצמיים המתאימים להם. אלה נרשמים בטבלה \(\PageIndex{1}\) בסימון מתמטי ובתוכנית \(\PageIndex{1}\) כקוד, ומזהים את שיווי המשקל והיציבות עבור כל מערכות הטריפה, ההדדיות והתחרות המיוצגות על ידי הנוסחאות של שני המינים, המועתקות לטבלה לצורך הפניה.

    שולחן\(\PageIndex{1}\). נוסחאות של שני מינים

    מיקום שיווי משקל ערכים עצמיים

    מקור

    (שני המינים נכחדו)

    		 (0,0) \((\,r_1,\,r_2)\)

    ציר אופקי

    (מינים 1 ב- K 1)

    		 \(-\frac{r_1}{s_{1,1}}\,\,0\) \(-r_1,\,\frac{q}{s_{1,1}}\,)\)

    ציר אנכי

    (מינים 2 ב- K 2)

    		 \(0,\,-\frac{r_2}{s_{2,2}}\) \(-r_2\,\frac{p}{s_{2,2}}\)

    פנים

    (דו קיום)

    		 \(\frac{p}{a}\,,\,\frac{q}{a}\) \(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

    עם

    א = ס 1,2 שניות 2,1 − ס 1,1 שניות 2,2

    ב = ר 1 שניות 2,2 (ס 2,1 −ס 1,1) + ר 2 שניות 1,1 (ס 1,2 −ס 2,2 )

    ג = −pq

    עמ = ר 1 שניות 2,2 −ר 2 שניות 1,2

    ש = ר 2 שניות 1,1 −ר 1 שניות 2,1

    במשוואות האקולוגיות לשני מינים המקיימים אינטראקציה,

    \(\frac{1}{N_1}\,\frac{dN_1}{dt}\,=\,r_1\,+\,s_{1,1}N_1\,+\,s_{1,2}N_2\)

    \(\frac{1}{N_2}\,\frac{dN_2}{dt}\,=\,r_2\,+\,s_{2,2}N_1\,+\,s_{2,1}N_1\)

    היכן

    N 1, N 2 הם שפע האוכלוסייה של מינים 1 ו -2

    r 1, r 2 הם קצבי צמיחה מהותיים

    s 1,1, s 2,2 מודדים את השפעות המינים על עצמם

    s 1,2, s 2,1 למדוד השפעות בין מינים

    p = r1* s22 -r2* s12; # חישוב משנה שימושי

    q = r2* s11 -r1* s21; # נוסחאות.

    א = s12* s21 -s11* s22;

    ב = ר1* s22* (s21-s11) +ר2* s11* (s12-S22);

    c = -p*q; # חשב את שיווי המשקל.

    x00=0; y00=0; # (במקור)

    x10 = -r1/s11; y10 = 0; # (על ציר ה- x)

    x01=0; y01=-r2/s22; # (על ציר ה- y)

    x11=p/a; y11 = q/a; # (בפנים)
    v00= r1; w00=r2; # לחשב את המקביל

    v10=-r1; w10 = q/s11; # ארבעה זוגות של ערכים עצמיים

    v01=-r2; w01 = p/s22; # (חלק אמיתי בלבד).

    v11 =( -b-Sqrt (b ^ 2-4* a* c))/(2* א);

    w11 =( -B+מ"ר (b ^ 2-4* א* ג))/(2* א);

    תכנית\(\PageIndex{1}\). הקוד המקביל לטבלה\(\PageIndex{1}\), לשימוש בתוכנות מחשב. Sqrt (w) היא פונקציה שנכתבה במיוחד המחזירה 0 אם w הוא שלילי (מחזירה את החלק האמיתי של המספר המורכב 0 +\(\sqrt{w}\,i\)).

    הנוסחאות בטבלה \(\PageIndex{1}\) פועלות עבור כל מודל RSN דו-מינים-כלומר, כל מודל של הצורה \(\frac{1}{N_i}\frac{dN_i}{dt}\,=\,r_1\,+\,s_{i,i}N_i\,+\,s_{i,j}N_j\) עם מקדמים קבועים-אך יש לגזור נוסחאות עבור מודלים אחרים בנפרד, מחבילת תוכנה או משיטות הבאות למטריצות יעקוביות.

    תיבה \(\PageIndex{2}\) parameters for a sample Competitive system

    \(r_1\,=\,1.2\) \(r_2\,=\,0.8\) קצב צמיחה אינטריניזי
    \(s_{1,1}\,=\,-1\) \(s_{2,2}\,=\,-1\) תנאים מגבילים את עצמם
    \(s_{1,2}\,=\,-1.2\) \(s_{2,1}\,=\,-0.5\) תנאים מגבילים צולבים