Skip to main content
Global

10.1: מבוא פרק

  • Page ID
    207586
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    במודלים של משוואות דיפרנציאליות, דינמיקת האוכלוסייה הבסיסית בין המינים נראית במבט חטוף ב"מרחב פאזה". המושגים והיישומים של מרחבי פאזה עובדו במקור בסוף המאה Curie.JPG התשע עשרה על ידי אנרי פואנקרה ואחרים עבור המערכות הדינמיות של הפיזיקה, אך היסודות המתמטיים חלים גם על תיאוריות האקולוגיה. (משמאל יושב פואנקרה עם מארי קירי בוועידת סולוויי הראשונית בשנת 1911. כנקודת עניין, מארי קירי היא האדם היחיד שזכה פעמיים בפרס נובל למדע - והיא הייתה מועמדת בפעם הראשונה לפני הגנת הדוקטורט שלה!)

    במרחב פאזה עם שני מינים המקיימים אינטראקציה - בתחרות, טריפה או הדדיות - השפע של מין אחד תופס את הציר האופקי וזה של השני תופס את הציר האנכי. זה הופך כל זוג אפשרי של ערכי אוכלוסייה (N 1, N 2) לנקודה במרחב הפאזה.

    שלב החלל 1.JPG
    איור\(\PageIndex{1}\). מסומן גם מרחב פאזה עם שפע של שני מינים ונגזרות כיווניות.

    לדוגמה, שפע ממוצע נמדד של 1.55 פרטים למ"ר עבור מינים 1 ושל 1.1 פרטים למ"ר עבור מינים 2 מתאים לנקודה המסומנת ב- '×' באיור \(\PageIndex{1}\) - 1.55 יחידות מימין בציר האופקי ו -1.1 יחידות במעלה הציר האנכי. אם מין 1 הוא נדיר, ב-0.05 פרטים למ"ר, ומין 2 הוא ב-0.85 פרטים למ"ר, הנקודה היא המסומנת ב-'+ ', ליד שמאל באיור\(\PageIndex{1}\). מרחב פאזה, לעומת זאת, אינו עוסק בגודל האוכלוסיות, אלא באופן שבו האוכלוסיות משתנות לאורך זמן. שינוי \(\frac{dN_1}{dt}\,=\,f_1\,(N_1,\,\,N_2),\frac{dN_2}{dt}\,=\,f_2\,(N_1,\,N_2))\) זה נראה לעין כחצים העולים מכל נקודה.

    שלב החלל 2.JPG
    איור\(\PageIndex{2}\). מרחב פאזה עם שפע של שני מינים ומסלולים לשיווי משקל.

    נניח שבזמן מדידת האוכלוסיות המסומנות על ידי ×, מין 1 יורד מעט ומין 2 גדל יחסית חזק. ירידה עבור מינים 1 פירושה מעבר שמאלה בחלל הפאזה, בעוד שהגדלה עבור מינים 2 פירושה לנוע למעלה, כפי שמוצג בתוספת איור 10.1. כיוון השינוי נטו יהיה אפוא צפון-צפון-מערב. בכיוון ההפוך, עבור האוכלוסיות המסומנות ב-+, אם מין 1 גדל מעט ומין 2 יורד יחסית חזק, כיוון השינוי יהיה דרום-דרום-מזרח.

    חיצים במרחב הפאזה מצביעים לכיוון שינוי האוכלוסייה המיידי. אך ככל שהאוכלוסיות משתנות, גם התנאים האקולוגיים משתנים והנתיבים מתעקלים. איור \(\PageIndex{2}\) מראה בירוק כיצד האוכלוסיות משתנות בדוגמה זו ככל שחולף הזמן. צמד השפע החל מ- × נע למעלה, כאשר מינים 1 יורדים בהתחלה ואז שני המינים גדלים ולבסוף מגיעים למנוחה בנקודה הירוקה, המסמנת יכולת נשיאה משותפת.

    מה- +, לעומת זאת, מינים 2 יורדים באופן אחיד אך מין 1 גדל בהתחלה ואז הופך כיוון. במקרה זה שני המינים נכחדים על ידי הגעתם למקור (0,0). משהו משמעותי מפריד בין + לבין ×.

    שלב החלל 3.JPG
    איור\(\PageIndex{3}\). מרחב פאזה עם שיווי משקל מרובים.

    מה שמפריד ביניהם ניתן לשפוט על ידי חישוב חץ בנקודות רבות לאורך מרחב הפאזה (איור\(\PageIndex{3}\)). בעקבות החצים מכל זוג שפע (N 1, N 2) מתחקה אחר השפע העתידי שיתעורר עם התקדמות הזמן, ומעקב אחר החצים לאחור מראה כיצד האוכלוסיות יכלו להתפתח בעבר. שים לב כי נראה כי החצים נמנעים מהמעגל הפתוח ליד השמאלית התחתונה (בערך 0.5, 0.3). זו נקודת Allee.

    כמה נקודות בחלל הפאזה הן יוצאות דופן: לאורך עקומות מיוחדות מסוימות, החצים מכוונים בדיוק אופקית או אנכית בדיוק. המשמעות היא שאחת משתי האוכלוסיות אינה משתנה - מין 1 אינו משתנה לאורך החצים האנכיים, ומין 2 אינו משתנה לאורך החצים האופקיים. עקומות מיוחדות אלה הן האיזוקלינים - מהשורשים 'iso -,' כלומר 'אותו' או 'שווה', 'ו- '- cline,' כלומר 'שיפוע' או 'כיוון'.)

    שלב החלל 4.JPG
    איור\(\PageIndex{4}\). מרחב פאזה עם שיווי משקל ואיזוקלינים מרובים.

    שני האיזוקלינים של מינים 2 מוצגים באדום באיור\(\PageIndex{4}\), האחד לאורך הציר האופקי והשני עולה ומתעקל ימינה. בציר האופקי, שפע המינים 2 הוא אפס. לכן הוא תמיד יישאר אפס, כלומר הוא לא ישתנה ויהפוך את כל הציר לאיזוקלין. לאורך האיזוקלין האדום השני, החצים יוצאים בדיוק מנקודת האיזוקלין בדיוק ימינה או שמאלה, מכיוון שהמערכת מאוזנת בדיוק כך ששפע המינים 2 לא ישתנה - אין לה תנועה אנכית.

    המצב דומה לשני האיזוקלינים של מינים 1, המוצגים בכחול באיורים \(\PageIndex{4}\) ו \(\PageIndex{5}\) - אחד לאורך הציר האנכי והשני עולה ומתעקל כלפי מעלה. לאורך הקימורים הכחולים, החצים יוצאים בדיוק מנקודת האיזוקלין בדיוק למעלה או למטה. שוב, לאורך האיזוקלין הכחול המערכת מאוזנת בדיוק כך ששפע המינים 1 לא משתנה - אין לה תנועה אופקית.

    שלב החלל 5.JPG
    איור\(\PageIndex{5}\). מרחב פאזה עם שיווי משקל מרובים, איזוקלינים ומסלולים.

    הבנת האיזוקלינים של מערכת עוברת דרכים ארוכות להבנת הדינמיקה של המערכת. כאשר איזוקלין ממין אחד פוגש איזוקלין של השני, אוכלוסיית אף אחד מהמינים משתנה ולכן נוצר שיווי משקל. אלה מסומנים במעגלים. שימו לב שהחצים מתכנסים על העיגולים המלאים (שיווי משקל יציב) ונמנעים בשיקול דעת מהמעגל הפתוח (שיווי משקל לא יציב). ושימו לב שבכל מקום בו אוכלוסייה (N 1, N 2) מתחילה, החצים נושאים אותה לאחת משתי תוצאות (למעט, מבחינה טכנית, החל מנקודת Allee עצמה, שם היא תישאר בעדינות עד שתפריע).

    להמחשה נוספת, ארבע עקומות גידול אוכלוסייה נעוצות בירוק באיור \(\PageIndex{5}\) ומסומנות כ- A, B, C ו- D. כולם מתחילים באחת האוכלוסיות ב -2.0 והשנייה ברמה נמוכה או בינונית. והם פונים לאחד משני שיווי המשקל היציבים, ונמנעים משיווי המשקל הלא יציב שביניהם. אתה יכול לראות את ארבע עקומות הצמיחה הללו המתוות בדרך הרגילה, כשפע מינים לעומת זמן, באיור. \(\PageIndex{6}\) כחול מציין מין 1, ואילו אדום מציין מין 2.

    שלב החלל 6.JPG
    איור \(\PageIndex{5}\) לאורך זמן.