5.3: פתרון אקספוננציאלי

כדי לחשוב על זה באופן מתמטי, הגדר תחילה s לאפס, כלומר אין תלות בצפיפות. לאחר מכן משוואת הדיפרנציאל מצטמצמת ל- dN/dt = r, ואם אתה מחליף s במשוואה למעלה ב- 0 אתה מקבל את זה:

\[N(t)\,=\frac{1}{(\frac{0}{r}\,+\frac{1}{N_0})\,e^{-rt}\,-\frac{0}{r}}\]

\[\,=\frac{1}{\frac{1}{N_0}\,e^{-rt}\,}\]

\[\,=\,N_0e^{rt}\]

מדד המשמש לעתים קרובות לצמיחה מעריכית, ושאותו נשתמש בהמשך ספר זה, הוא "זמן הכפלה" - הזמן שחייב לחלוף כדי שהאוכלוסייה תכפיל את עצמה. לצמיחה מעריכית, זה תמיד אותו הדבר, לא משנה כמה גדולה או קטנה האוכלוסייה. לצמיחה מעריכית, המשוואה לעיל היא

\[N(t)\,=\,N_0\,e^{rt}\]

נ ₀ היא האוכלוסייה ההתחלתית בזמן 0, נ (ט) היא האוכלוסייה בכל עת t, ו ר הוא קצב הגידול הקבוע - "קצב הגידול הטבעי הפנימי". כמה זמן, τ, יחלוף לפני שהאוכלוסייה תכפיל את עצמה? בשלב מסוים t, האוכלוסייה תהיה N (t), ובזמן מאוחר יותר t + τ, האוכלוסייה תהיה N (t + τ). השאלה שיש לענות עליה היא זו: עבור מה τ היחס בין שתי האוכלוסיות הללו יהיה 2?

\[\frac{N(t\,+\,τ)}{N(t)}\,=\,2\]

החלפת הצד הימני של משוואת הצמיחה האקספוננציאלית נותנת

\[\frac{N_0\,e^{r\,(t\,+\,τ)}}{N_0\,e^{rt}}\,=\,2\]

הגורם N0 מבטל, ולקיחת לוגריתמים טבעיים משני הצדדים נותנת

\[\ln \frac{e^{r(t\,+\,τ)}}{e^{rt}}\,=\,\ln \,2\]

מכיוון שיומן היחס הוא ההבדל בין היומנים, זה מניב

\[\\ln \,e^{r(t\,+\,τ)}\,-\,\ln \,e^{rt}\,=\,\ln \,2\]

^{מכיוון שלוגריתמים ואקספוננציאלים הם תהליכים הפוכים - כל אחד מבטל את השני - הלוגריתם הטבעי של e x הוא פשוט x.} זה נותן

\[r(t\,+\,τ)\,-\,rt\,=\,\ln \,2\]

\[r\,τ\,=\,\ln \,2\]

ולבסוף, זמן ההכפלה τ הוא

\[τ\,=\frac{\ln \,2}{r}\]

במילים אחרות, זמן ההכפלה לצמיחה מעריכית, כאשר r חיובי ו ס הוא 0, הוא רק הלוגריתם הטבעי של 2 (0.69314718...) חלקי קצב הצמיחה r.