4.3: צמיחה מוגבלת בצפיפות

Last updated
Save as PDF

Page ID: 207454

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

מה לגבי מחוץ לטווח המודל האורתולוגי? חשבו על אותם סוזנים שחורי עיניים, לא רק קרובים מספיק כדי שהמאביקים יוכלו לזרום בצורה שוטפת אחד לשני, אלא גם צפופים כך שהם יתחילו להצל זה על זה, ושורשיהם יתחילו להתחרות על מים וחומרי הזנה. מהו מודל מתאים לכך?

קצב הגידול יהיה תלוי שוב במספר הצמחים, אך כעת צמחים נוספים יפחיתו את קצב הגידול. זה רק אומר סימן מינוס על s.

\(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\, =\,r\,+\,sN\), ס <0

שוב, r הוא מספר הצאצאים שכל אחד יפיק אם הוא לבד בעולם, אבל עם s שלילי, s הוא המספר שכל צמח לא יוכל לייצר עבור כל צמח נוסף שמופיע בסביבתו.

נניח שיש לנו r = 1 ו- s = -1/1000, ואנחנו מתחילים עם שלושה צמחים, אז נ (0) = 3. הנה הקוד, עם השלילי החדש s באדום.

r = 1; s = -0.001; dt = 1; t = 0; N = 3; הדפס (N);

בעוד (t <= 20)

{דנ =( ר+ס* נ) * נ* דט; נ=נ+דנ; t = ט+dt; הדפס (N);}

כעת, מכיוון ש- s שלילי, קצב הגידול \(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\) יירד ככל שהאוכלוסייה תגדל, כך שתוכלו לשער שהקצב יגיע בסופו של דבר לאפס והאוכלוסייה תתיישר. למעשה, זה יורד ל-1000.

איור צמיחה \(\PageIndex{1}\) לוגיסטית (ירוקה) בניגוד לצמיחה אורתולוגית (אדום) וצמיחה מעריכית (כחול).

הערך שבו הוא מתיישר נקרא "שיווי משקל", ערך שבו המערכת הדינמית הופכת לשקטה ומפסיקה להשתנות. במקרה של המשוואה הלוגיסטית, היא נקראת גם "כושר הנשיאה", רמה בה הסביבה אינה יכולה "לשאת" אוכלוסייה גדולה יותר.

אבל למה 1000? איזה ערך \(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\) יגרום לרמת האוכלוסייה לרדת? כאשר N הוא 0, זה אומר "השינוי ב- N הוא אפס." וזה אומר ש-N מפסיק לגדול. וכאשר ∆N הוא אפס, כל המונח משמאל הוא אפס והאלגברה ממשיכה כדלקמן.

\(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\,=\,r\,+\,sN\)

\(0\,=\,r\,+\,sN\)

\(-sN\,=\,r\)

\(N\,=\frac{-r}{s}\)

אז כושר הנשיאה הוא -ר/ש באיור 4.3, -ר/ש = -1/ (-0.001) = 1000. בדיוק איפה שזה נגמר!

זוהי "המשוואה הלוגיסטית" המפורסמת, שפורסמה בשנת 1838 על ידי פייר ורולסט. זה כתוב בדרך כלל

\(\frac{∆N}{∆t}\,=\,rN(1\,-\frac{N}{K})\)

שימו לב שכאשר נ שווה ל ק, הגורם בסוגריים מימין הופך ל -1 − N/N = 1−1 = 0, כך שכל מונח הגידול ∆N /∆t הופך לאפס והאוכלוסייה מפסיקה לגדול. לפיכך K הוא כושר נשיאה, ולכן K = −r/s.

כתרגיל, אולי תרצה תחליף −r/s עבור K במשוואה שלמעלה, ואז פשט ובדוק אם אתה מקבל את הניסוח r + sN.